Nombre métallique

Le nombre d'or permettant d'exprimer le terme général des suites ${\displaystyle (u_{n})}$ vérifiant la récurrence linéaire définissant la suite de Fibonacci ${\displaystyle u_{n+2}=u_{n+1}+u_{n}}$, il a été proposé d'appeler nombres métalliques les nombres permettant d'exprimer, pour un nombre entier p, le terme général des suites ${\displaystyle (u_{n,p})}$ vérifiant la récurrence linéaire :

${\displaystyle u_{n+2,p}=pu_{n+1,p}+u_{n,p}.}$

Par définition, le p-ième nombre métallique, noté ${\displaystyle \varphi _{p}}$, est l'unique solution positive de l'équation caractéristique de la récurrence : ${\displaystyle x^{2}=px+1}$.

Si une telle suite tend vers l'infini, ${\displaystyle \varphi _{p}}$ est la limite du rapport ${\displaystyle u_{n+1}/u_{n}}$ .

Pour p = 2; le métal proposé a été l'argent. Le cuivre (situé au-dessus de l'or et de l'argent dans le tableau périodique), a été proposé pour le nombre suivant (ou le bronze) puis le nickel[1]^,[2]^,[3].

• En tant que solution positive de l'équation du second degré ${\displaystyle x^{2}=px+1}$, on obtient l'expression analytique du nombre métallique d'indice p:

${\displaystyle \varphi _{p}={\frac {p+{\sqrt {p^{2}+4}}}{2}}}$.

• En réécrivant l'équation sous la forme

${\displaystyle x=p+{1 \over x}}$

on en déduit son développement en fraction continue :

${\displaystyle \varphi _{p}=p+{\cfrac {1}{p+{\cfrac {1}{p+{\cfrac {1}{p+{\cfrac {1}{p+\ddots \,}}}}}}}}=[p;p,\dots ]}$.

• En réécrivant l'équation sous la forme ${\displaystyle x={\sqrt {1+px}}}$

on en déduit sa forme en radical imbriqué infini

${\displaystyle \varphi _{p}={\sqrt {1+p{\sqrt {1+p{\sqrt {1+p{\sqrt {1+\cdots }}}}}}}}}$.

• Le p-ième nombre métallique est également donné par une intégrale :

  ${\displaystyle \varphi _{p}=\int _{0}^{p}{\left({x \over {2{\sqrt {x^{2}+4}}}}+{{p+2} \over {2p}}\right)}\,\mathrm {d} x.}$

Les trois premiers rectangles métalliques.

Le p-ième nombre métallique est le rapport entre la longueur et la largeur d'un rectangle tel que si on lui ôte p carrés de taille maximale, on obtient un rectangle semblable à celui de départ.

On obtient en effet la relation ${\displaystyle {\frac {l}{L-pl}}={L \over l}}$ qui donne ${\displaystyle x^{2}=px+1}$ si on pose ${\displaystyle x=L/l}$.

Une autre généralisation de la récurrence linéaire double ${\displaystyle u_{n+2}=u_{n+1}+u_{n}}$ étant la récurrence k-uple ${\displaystyle u_{n+p}=u_{n+1}+u_{n+2}+...+u_{n+p-1}}$, il a été aussi proposé d'appeler nombres métalliques les nombres permettant d'exprimer le terme général des suites ${\displaystyle (u_{n})}$ vérifiant cette récurrence [4]^,[5]^,[6]. Par conformité avec les appellations données dans l'encyclopédie des suites entières (OEIS), nous désignerons ces nombres par constantes de p-nacci.

Par définition, chaque constante, notée ${\displaystyle \alpha _{p}}$ dans [4], est l'unique solution positive de l'équation caractéristique de la récurrence : ${\displaystyle x^{p}=1+x+..+x^{p-1}}$ (attention, avec cette numérotation, le nombre d'or est ${\displaystyle \alpha _{2}}$, ${\displaystyle \alpha _{1}}$ étant égal à 1).

En utilisant la formule des suites géométriques, on obtient que ${\displaystyle \alpha _{p}}$ est l'unique solution positive autre que 1 de l'équation de degré p + 1 : ${\displaystyle x^{p+1}-2x^{p}+1=0}$, équation qui peut s'écrire aussi : ${\displaystyle x=2-{\frac {1}{x^{p}}}}$ .

Cette suite croit strictement de 1 jusqu'à sa limite égale à 2.

Un encadrement simple est [4]:

${\displaystyle 2-{\frac {1}{2^{p-1}}}\leqslant \alpha _{p}\leqslant 2-{\frac {1}{2^{p}}}}$.

Un développement asymptotique est [4]:

${\displaystyle \alpha _{p}=2-{\frac {1}{2^{p}}}-{\frac {p}{2^{2p+1}}}+o\left({\frac {1}{2^{p}}}\right)}$.

• Nombre d'argent
• Nombre plastique
• Vera W. de Spinadel