Opérateur de position de Newton-Wigner

En théorie quantique relativiste, l'opérateur de position de Newton-Wigner est un opérateur de position introduit en 1949 par Théodore Dudell Newton et Eugene Wigner pour tenter de décrire la position de particules massives relativistes de spin arbitraire.

Le problème de la localisation

Dans quelle mesure est-il possible de parler de la localisation d'une « particule » quantique dans une région de l'espace (et dans le temps) ?

Dans le cadre de la mécanique quantique non-relativiste, on dispose d'un opérateur position $\ {\hat {\mathrm {r} }}\$ hermitien qui permet de préciser de façon cohérente la notion de localisation d'une particule[1].

En physique relativiste, les transformations de Lorentz mélangent les coordonnées d'espace et de temps. En mécanique quantique relativiste, si le vecteur position classique était associé à un opérateur position quantique "à la Heisenberg", il devrait aussi exister un opérateur temps. Or, un vieil argument de Pauli suggère[2] qu'il n'existe pas d'opérateur temps hermitien en mécanique quantique[3]. La solution usuelle consiste à abandonner a priori la notion d'opérateur position en passant à la théorie quantique des champs définie sur l'espace-temps.

L'opérateur position de Newton-Wigner (1949)

En 1949, Newton et Wigner ont réussi à construire un nouvel « opérateur position » pour les particules massives relativistes de spin arbitraire. Moyennant quelques hypothèses générales raisonnables, ils ont créé un opérateur non-local dans l'espace physique. Les « états localisés » associés à cet opérateur ne sont pas des distributions de Dirac. L'état localisé autour de l'origine possède à grande distance une décroissance exponentielle avec une échelle caractéristique égale à la longueur d'onde de Compton de la particule massive. De plus, ces états localisés ne sont pas invariants par transformation de Lorentz.

La construction de Newton-Wigner s'étend aux particules de masse nulle de spin 0 (décrites par l'équation de Klein-Gordon) et de spin 1/2 (décrites par l'équation de Dirac), mais pas au photon, de spin 1.

Bibliographie

T. D. Newton and E. P. Wigner ; Localized States for Elementary Systems, Review of Modern Physics 21 (1949), 400-406. pdf.

Notes

Lorsque la particule est dans un état $|\,\psi \,\rangle$ $\text{[math]}$ , on peut par exemple calculer :
- la position moyenne, donnée par : $\langle \,\psi \,|\ {\hat {\mathrm {r} }}\ |\,\psi \,\rangle$ ;
- l'écart quadratique moyen $\Delta \mathrm {r}$ autour de cette position moyenne (dispersion), défini par :
$\Delta \mathrm {r} ^{2}\ =\ \langle \,\psi \,|\ {\hat {\mathrm {r} }}^{2}\ |\,\psi \,\rangle \ -\ \langle \,\psi \,|\ {\hat {\mathrm {r} }}\ |\,\psi \,\rangle ^{2}$ La particule quantique est d'autant mieux localisée que cette dispersion est petite. La mécanique quantique n'interdit d'ailleurs pas de la prendre nulle, auquel cas la localisation spatiale est parfaitement réalisée. (Il y a alors une dispersion maximale en quantité de mouvement pour satisfaire les inégalités de Heisenberg.)
Un auteur a récemment remis en cause la validité du raisonnement de Pauli ; cf. e.g. : quant-ph/9908033 ; quant-ph/0111061 ; quant-ph/0303106.
En mécanique hamiltonienne, temps et énergie sont conjugués : le hamiltonien est le "générateur infinitésimal" des translations dans le temps. Par analogie avec le couple position/impulsion satisfaisant $[{\hat {\mathrm {x} }}^{i},\,{\hat {\mathrm {p} }}_{j}]=i\ \hbar \ {\hat {\mathrm {\delta } }}_{j}^{i}$ , on serait alors amené à écrire : $[{\hat {\mathrm {H} }},{\hat {\mathrm {t} }}]=(\pm )\ i\ \hbar \ {\hat {\mathrm {1} }}$ . De ce fait, l'opérateur temps deviendrait réciproquement le générateur infinitésimal des translations en énergie, et le spectre d'énergie serait le continuum $\mathbb {R}$ entier, ce qui signifie que l'énergie ne serait plus bornée inférieurement. Or la mécanique quantique a précisément été inventée pour rendre compte de la stabilité des atomes, et notamment de l'existence d'un état fondamental d'énergie finie.

Articles connexes

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[1] Lorsque la particule est dans un état $|\,\psi \,\rangle$ , on peut par exemple calculer :
la position moyenne, donnée par : $\langle \,\psi \,|\ {\hat {\mathrm {r} }}\ |\,\psi \,\rangle$ ;

l'écart quadratique moyen $\Delta \mathrm {r}$ autour de cette position moyenne (dispersion), défini par :
$\Delta \mathrm {r} ^{2}\ =\ \langle \,\psi \,|\ {\hat {\mathrm {r} }}^{2}\ |\,\psi \,\rangle \ -\ \langle \,\psi \,|\ {\hat {\mathrm {r} }}\ |\,\psi \,\rangle ^{2}$ La particule quantique est d'autant mieux localisée que cette dispersion est petite. La mécanique quantique n'interdit d'ailleurs pas de la prendre nulle, auquel cas la localisation spatiale est parfaitement réalisée. (Il y a alors une dispersion maximale en quantité de mouvement pour satisfaire les inégalités de Heisenberg.)

[2] sition moyenne, donnée par : $\langle \,\psi \,|\ {\hat {\mathrm {r} }}\ |\,\psi \,\rangle$ ;

[3] 'écart quadratique moyen $\Delta \mathrm {r}$ autour de cette position moyenne (dispersion), défini par :

[2] Un auteur a récemment remis en cause la validité du raisonnement de Pauli ; cf. e.g. : quant-ph/9908033 ; quant-ph/0111061 ; quant-ph/0303106.

[3] En mécanique hamiltonienne, temps et énergie sont conjugués : le hamiltonien est le "générateur infinitésimal" des translations dans le temps. Par analogie avec le couple position/impulsion satisfaisant $[{\hat {\mathrm {x} }}^{i},\,{\hat {\mathrm {p} }}_{j}]=i\ \hbar \ {\hat {\mathrm {\delta } }}_{j}^{i}$ , on serait alors amené à écrire : $[{\hat {\mathrm {H} }},{\hat {\mathrm {t} }}]=(\pm )\ i\ \hbar \ {\hat {\mathrm {1} }}$ . De ce fait, l'opérateur temps deviendrait réciproquement le générateur infinitésimal des translations en énergie, et le spectre d'énergie serait le continuum $\mathbb {R}$ entier, ce qui signifie que l'énergie ne serait plus bornée inférieurement. Or la mécanique quantique a précisément été inventée pour rendre compte de la stabilité des atomes, et notamment de l'existence d'un état fondamental d'énergie finie.