Optimisation topologique

Le problème général d'optimisation topologique est posé comme

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Trouver}}\quad &\min _{\rho }{\mathcal {J}}(u(\rho ),\rho )\\{\text{sujet à}}\quad &G_{0}(\rho )=\int _{\Omega }\rho {\text{d}}V-V_{\text{max}}\leq 0\\&G_{i}(\rho )\leq 0\quad (i\geq 1)\end{aligned}}}$

où

• La variable de conception (design) ${\displaystyle \rho$ :\Omega \rightarrow [0,1]} est la densité du matériau. 1 signifie présence de matériau et 0 signifie absence de matériau. La variable d'état ${\displaystyle u(\rho )}$ est la solution à une équation différentielle qui modélise le phénomène en jeu, selon le design ${\displaystyle \rho }$ (généralement les équations d'élasticité);
• ${\displaystyle {\mathcal {J}}}$ est la fonctionnelle coût. Elle représente une quantité d'intérêt qu'on veut minimiser ou maximiser (généralement la flexibilité ou la rigidité);
• ${\displaystyle \Omega }$ est l'espace de conception, c'est-à-dire l'ensemble des points qui sont sujets à l'optimisation;
• Les contraintes ${\displaystyle G_{i}}$ permettent d'imposer des particularités à la forme finale. Par exemple, ${\displaystyle G_{0}}$ impose une contrainte sur la quantité maximale ${\displaystyle V_{\text{max}}}$ de matériau à avoir.

Interpolation des modules de Young ${\displaystyle E}$ et ${\displaystyle E_{\text{min}}}$ selon la densité du matériau par la méthode SIMP. La courbe est tracée pour différentes valeurs du paramètre de pénalisation ${\displaystyle p}$.

Résoudre ce problème vise à déterminer une répartition optimale du matériau dans l'espace de conception ${\displaystyle \Omega }$. Le module de Young ${\displaystyle E}$ est la propriété qui quantifie la capacité d'un matériau à se déformer. Cette caractéristique doit être interpolée selon la densité ${\displaystyle \rho }$ (les endroits où il y a présence de matériau sont rigides, contrairement à ceux où il y a du vide). Par exemple, l'approche SIMP (Solid Isotropic Material with Penalization) utilise une loi de puissance pour déterminer le module de Young selon la densité en un point:

${\displaystyle E(\rho )=E_{\text{min}}+\rho ^{p}(E-E_{\text{min}})}$

Le paramètre ${\displaystyle p}$ (typiquement[2] ${\displaystyle p=3}$) pénalise les valeurs entre 0 et 1 pour obtenir un résultat binaire. ${\displaystyle E_{\text{min}}}$ est pris très près de 0 pour représenter le vide, mais non nul pour éviter les termes nuls dans la matrice de résolution de la méthode des éléments finis.

D'autres approches sont utilisées[5], comme la méthode RAMP, qui passe par une interpolation rationnelle.

L'annulation du gradient en un point est une condition nécessaire à l'optimalité dans un problème sans contrainte. La dérivée au sens de Gateaux permet de calculer le gradient d'une fonctionnelle dans une direction ${\displaystyle \delta }$:

${\displaystyle d{\mathcal {J}}(\rho$ ;\delta )=\lim _{t\rightarrow 0}{\frac {{\mathcal {J}}(\rho +t\delta )-{\mathcal {J}}(\rho )}{t}}=(\nabla {\mathcal {J}}(\rho ),\delta )}

Une solution analytique à ce problème est difficile à obtenir. Les méthodes numériques d'optimisation comme la descente du gradient utilisent ${\displaystyle \nabla {\mathcal {J}}}$ pour obtenir des designs presque optimaux. Les contraintes peuvent être prises en compte dans ces algorithmes en utilisant diverses techniques de pénalisation.

• Optimisation (mathématiques)
• Optimisation de forme
• Biomimétique
• Impression 3D

• Topopt Research Group, site d'un groupe de recherche universitaire très complet sur l'optimisation topologique.
• Topostruct, logiciel gratuit d'optimisation topologique.
• Inspire, logiciel commercial d'optimisation de structures, en particulier par optimisation topologique
• Animations d'optimisation topologique
• TOPOPTIM, procédure d'optimisation topologique implémentée dans le code éléments finis CAST3M
• OptiStruct, logiciel commercial d'optimisation de structures, en particulier par optimisation topologique

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