Ordre moyen d'une fonction arithmétique

En théorie des nombres, un ordre moyen d'une fonction arithmétique f est une fonction «simple» $g$ approchant $f$ en moyenne.

Plus précisément un ordre moyen de $f$ est une fonction $g$ réelle ou complexe, si possible continue et monotone, telle qu'on ait :

\sum _{k=1}^{n}f(k)\quad {\underset {n\to +\infty }{\sim }}\quad \sum _{k=1}^{n}g(k)

Autrement dit, les moyennes arithmétiques de $f$ et $g$ entre 1 et $n$ sont des fonctions asymptotiquement équivalentes. Une telle fonction $g$ n'est bien entendu pas unique.

Exemples

Un ordre moyen du plus grand diviseur impair de $n$ est 2 $n$ /3
Un ordre moyen de ${\text{d}}(n)$ , nombre de diviseurs de $n$ , est $\ln(n)$
Un ordre moyen de $\sigma (n)$ , somme des diviseurs de $n$ , est ${\frac {\pi ^{2}}{6}}n$

"Courbe" de la somme des diviseurs

\sigma (n)

, avec l'ordre moyen

n\pi ^{2}/6

en rouge, n+1 correspondant aux nombres premiers en vert, et 2n correspondant aux nombres parfaits en jaune.

Un ordre moyen de $\varphi (n)$ , indicatrice d'Euler de $n$ , est ${\frac {6}{\pi ^{2}}}n$ [1]
Un ordre moyen de $r(n)$ , nombre de façon d'exprimer $n$ comme somme de deux carrés, est $\pi$
Un ordre moyen de $\omega (n)$ , nombre de facteurs premiers distincts de n, est $\ln(\ln(n))$
Un ordre moyen de $\Omega (n)$ , nombre de facteurs premiers de $n$ , est $\ln(\ln(n))$
Le théorème des nombres premiers équivaut au fait que la fonction de von Mangoldt, $\Lambda (n)$ , a pour ordre moyen 1, et au fait que la fonction de Möbius, $\mu (n)$ , a pour ordre moyen 0.

Meilleur ordre moyen

Cette notion peut être présentée à l'aide de l'exemple du nombre de diviseurs. De la formule de Dirichlet [2] :

\sum _{n\leqslant x}{\text{d}}(n)=x\ln x+(2\gamma -1)x+o(x)

( $\gamma$ est la constante d'Euler-Mascheroni) et de la formule de Stirling :

\sum _{n\leqslant x}\ln n=x\ln x-x+o(x),

on tire la relation asymptotique

\sum _{n\leqslant x}({\text{d}}(n)-(\ln n+2\gamma ))=o(x),

tandis que

\sum _{n\leqslant x}({\text{d}}(n)-\ln n)=O(x),

ce qui suggère que $\ln n+2\gamma$ est un meilleur choix d'ordre moyen pour ${\text{d}}(n)$ que simplement $\ln n$ .

Références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Average order of an arithmetic function » (voir la liste des auteurs).

P.J.G.L. Dirichlet, Über die Bestimmung der mittleren Werthe in der Zahlentheorie, Abh. Kön. Preuß. Akad. (1849), 69-83, page 64(cette propriété est essentielle dans la démonstration du théorème de Cesàro).
Gérald Tenenbaum, Introduction à la théorie analytique et probabiliste des nombres, Belin, 2008, chap. 1.3 (« Sur les ordres moyens »)

(en) G. H. Hardy et E. M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers (1^re éd. 1938) [détail des éditions], 2008, p. 347–360
(en) Gérald Tenenbaum, Introduction to Analytic and Probabilistic Number Theory, CUP, coll. « Cambridge studies in advanced mathematics » (n^o 46), 1995 (ISBN 0-521-41261-7), p. 36–55

Article connexe

Identités liées aux sommes de diviseurs

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[1] P.J.G.L. Dirichlet, Über die Bestimmung der mittleren Werthe in der Zahlentheorie, Abh. Kön. Preuß. Akad. (1849), 69-83, page 64(cette propriété est essentielle dans la démonstration du théorème de Cesàro).

[2] Gérald Tenenbaum, Introduction à la théorie analytique et probabiliste des nombres, Belin, 2008, chap. 1.3 (« Sur les ordres moyens »)