Orthogonalisation simultanée

Contrairement à d'autres, cette preuve d'existence ne produit pas la base en question.

Notons le produit scalaire ${\displaystyle (x,y)\mapsto x.y\,}$ et la norme euclidienne associée ${\displaystyle x\mapsto \|x\|^{2}.}$

• Comme E est de dimension finie, la sphère unité ${\displaystyle S=\{x\in E\mid \|x\|=1\}}$ est compacte d'après le théorème de Borel-Lebesgue. La fonction ${\displaystyle f:x\mapsto q(x)/\|x\|^{2}}$ est continue sur S. Elle y est donc majorée et atteint cette borne en un certain point e.
• Comme f est homogène de degré 0, e réalise aussi un maximum de f sur l'ouvert E\{0}.
• Si ϕ est la forme polaire associée à q, on a : ${\displaystyle q(e+x)-q(e)=2\phi (e,x)+q(x).}$ La différentielle de q en e est alors la partie linéaire du terme de droite : ${\displaystyle Dq_{e}(x)=2\phi (e,x).}$
• Comme e est un extremum pour f, la différentielle de f en e est nécessairement nulle, soit${\displaystyle 0=Df_{e}(x)={\frac {2\phi (e,x)\|e\|^{2}-2q(e)(e.x)}{\|e\|^{4}}}}$ou${\displaystyle 2\phi (e,x)=2q(e)(e.x)}$ donc pour tout ${\displaystyle x\in E}$, ${\displaystyle e.x=0}$ entraîne ${\displaystyle \phi (e,x)=0}$.
• On achève la preuve par récurrence sur la dimension de l'espace E. En dimension 1, c'est évident. Supposons la propriété vraie en dimension n – 1. La droite dirigée par e est supplémentaire de son orthogonal :${\displaystyle E=\langle e\rangle \bigoplus \langle e\rangle ^{\perp }}$car le produit scalaire est une forme symétrique définie positive. L'hypothèse de récurrence donne une base ${\displaystyle (u_{2},...,u_{n})}$ de ${\displaystyle \langle e\rangle ^{\perp }}$ orthonormée pour le produit scalaire, orthogonale pour ϕ. Par construction :
  • ${\displaystyle e.u_{i}=0}$ et donc aussi ${\displaystyle \phi (e,u_{i})=0}$ pour ${\displaystyle i=2,\ldots ,n}$
  • ${\displaystyle \|e\|=1.}$

La base ${\displaystyle (e,u_{2},...,u_{n})}$ répond donc à la question.