Paire duale

Soient ${\displaystyle X}$ et ${\displaystyle Y}$ deux espaces vectoriels sur un même corps commutatif ${\displaystyle K}$. Soit ${\displaystyle X^{*}}$ le dual algébrique de ${\displaystyle X}$ et ${\displaystyle Y^{*}}$ celui de ${\displaystyle Y}$ (tout au long du présent article on suppose l'axiome du choix vrai).

Définition (forme bilinéaire non dégénérée) : Soit ${\displaystyle B:X\times Y\to K}$ une forme bilinéaire. Elle induit deux applications linéaires

• ${\displaystyle X\to Y^{*};x\mapsto B(x,\cdot )}$
• ${\displaystyle Y\to X^{*};y\mapsto B(\cdot ,y)}$

L'application bilinéaire ${\displaystyle B}$ est dite :

• non dégénérée à gauche si ${\displaystyle X\to Y^{*}}$ est injective,
• non dégénérée à droite si ${\displaystyle Y\to X^{*}}$ est injective,
• non dégénérée si ${\displaystyle B}$ est non dégénérée à gauche et à droite.

Définition (paire duale) : Soient ${\displaystyle X}$ et ${\displaystyle Y}$ deux espaces vectoriels sur un même corps commutatif ${\displaystyle K}$. Soit ${\displaystyle B:X\times Y\rightarrow K}$ une forme bilinéaire. On dit alors que X et Y sont mis en dualité par ${\displaystyle B}$. Si de plus ${\displaystyle B}$ est non dégénérée :

• ${\displaystyle X}$ et ${\displaystyle Y}$ sont dits être en dualité (ou encore être mis en dualité séparante),
• on écrit ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ au lieu de ${\displaystyle B}$,
• le triplet ${\displaystyle (X,Y,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$ est dit être une paire duale[1],
• l'application bilinéaire ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ est dit être un appariement dual.

Deux éléments ${\displaystyle x\in X}$ et ${\displaystyle y\in Y}$ sont orthogonaux si

${\displaystyle \langle x,y\rangle =0}$.

Deux ensembles ${\displaystyle M\subseteq X}$ et ${\displaystyle N\subseteq Y}$ sont orthogonaux si toute paire d'éléments de ${\displaystyle M}$ et ${\displaystyle N}$ sont orthogonaux.

Définition (paire duale forte) : Soit ${\displaystyle (X,Y,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$ une paire duale. L'appariement dual ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ induit deux applications

• ${\displaystyle X\to Y^{*};x\mapsto \langle x,\cdot \rangle }$
• ${\displaystyle Y\to X^{*};y\mapsto \langle \cdot ,y\rangle }$

La paire duale ${\displaystyle (X,Y,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$ est dite forte[2] (et l'appariement dual dit fort) lorsque ces deux dernières applications sont surjectives. Une paire duale qui n'est pas forcément forte (c.-à-d. d'appariement dual pas forcément fort) est dite faible.

Remarque : En utilisant le fait que l'injection naturelle ${\displaystyle J:X\to X^{**}}$ de ${\displaystyle X}$ dans son bidual algébrique ${\displaystyle X^{**}}$ est surjective si et seulement si ${\displaystyle X}$ est de dimension finie[3], il est aisé de démontrer qu'une paire duale est forte si et seulement si ${\displaystyle X}$ et ${\displaystyle Y}$ sont de dimension finie. Selon le contexte, cette dernière (proto-)définition de paire duale forte peut être modifiée (en considérant la surjectivité vers certains sous-espaces de ${\displaystyle X^{*}}$ et ${\displaystyle Y^{*}}$) pour rendre compte de propriétés plus subtiles d'une paire duale donnée (cf. exemple 3 ci-dessous).

Exemple 1 : Soit ${\displaystyle X}$ un espace vectoriel (ou bien un module sur un anneau) et ${\displaystyle X^{*}}$ son dual algébrique. Considérons l'application bilinéaire

${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle :X^{*}\times X\rightarrow K:(f,x)\mapsto \langle f,x\rangle$ :=f(x)}

correspondant l'accouplement de dualité entre ${\displaystyle X^{*}}$ et ${\displaystyle X}$. Il lui correspond deux applications linéaires

${\displaystyle X^{*}\rightarrow X^{*}}$

${\displaystyle X\rightarrow X^{**}}$

La première application ${\displaystyle X^{*}\rightarrow X^{*}}$ est l'identité sur ${\displaystyle X^{*}}$ (et est donc injective). La seconde application ${\displaystyle X\rightarrow X^{**}}$ est l'injection naturelle de ${\displaystyle X}$ dans son bidual algébrique ${\displaystyle X^{**}}$. Cette dernière application est injective car ${\displaystyle X^{*}}$ sépare les points de ${\displaystyle X}$, i.e. pour tout ${\displaystyle x\in E\backslash \{0\}}$ il existe ${\displaystyle f\in E^{*}}$ t.q. ${\displaystyle f(x)\neq 0}$ (ceci est dû à l'axiome du choix). Ce faisant, ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ est non dégénérée et est un appariement dual, dit appariement naturel (ou appariement dual canonique ou encore crochet de dualité), entre ${\displaystyle X}$ et son dual algébrique ${\displaystyle X^{*}}$.

Exemple 2 : Soit ${\displaystyle (X,Y,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$ une paire duale. Alors le triplet ${\displaystyle (Y,X,\langle \cdot ,\cdot \rangle ')}$ est une paire duale où ${\displaystyle \langle y,x\rangle ':=\langle x,y\rangle }$.

Exemple 3 : Soit ${\displaystyle E}$ un e.v.t. localement convexe sur un corps commutatif ${\displaystyle K}$ et soit ${\displaystyle E'}$ son dual topologique. Considérons l'application bilinéaire

${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle :E'\times E\rightarrow K;(f,x)\mapsto \langle f,x\rangle$ :=f(x)}

correspondant à l'accouplement de dualité entre ${\displaystyle X'}$ et ${\displaystyle X}$. À l'application bilinéaire ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ correspondent deux applications

${\displaystyle \iota :E'\rightarrow E^{*};f\mapsto \langle f,\cdot \rangle }$

${\displaystyle J:E\rightarrow (E')^{*};x\mapsto \langle \cdot ,x\rangle }$

La première est l'inclusion canonique de ${\displaystyle E'}$ en ${\displaystyle E^{*}}$. Donnons à ${\displaystyle E'}$ la topologie ${\displaystyle \beta (E',E)}$. Puisqu'à ${\displaystyle x\in E}$, l'application linéaire ${\displaystyle J(x)\in (E^{'})^{*}}$ est ${\displaystyle \sigma (E',E)}$-continue et que la topologie ${\displaystyle \beta (E',E)}$ est plus fine que celle ${\displaystyle \sigma (E',E)}$, ${\displaystyle J(x)}$ repose en ${\displaystyle E''}$ le bidual topologique de l'espace localement convexe ${\displaystyle E}$. En considérant les co-restrictions

${\displaystyle \iota :E'\rightarrow E^{'};f\mapsto \langle f,\cdot \rangle }$

${\displaystyle J:E\rightarrow E'';x\mapsto \langle \cdot ,x\rangle }$

on voit alors que ${\displaystyle \iota }$ est l'identité sur ${\displaystyle E'}$ (i.e. est un isomorphisme) et que ${\displaystyle J}$ est l'inclusion naturelle de ${\displaystyle E}$ dans son bidual topologique ${\displaystyle E''}$ (ce qui est injectif par le théorème de Hahn-Banach sur les espaces localement convexes). Il suit que le triple ${\displaystyle (E',E,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$ est une paire duale. En particulier, cette paire duale sera forte si l'injection naturelle ${\displaystyle J:E\rightarrow E''}$ est surjective (i.e. si ${\displaystyle E}$ est semi-réflexif).

Exemple 4 : Un espace de suites ℓp ${\displaystyle E}$ et son beta-dual (en) ${\displaystyle E^{\beta }}$ associés à l'application bilinéaire définie par

${\displaystyle \langle x,y\rangle$ :=\sum _{i=0}^{\infty }x_{i}y_{i}\quad x\in E,y\in E^{\beta }}

forme une paire duale.

Exemple 5 : Soit ${\displaystyle M}$ une variété lisse et réelle de dimension finie ${\displaystyle n}$. Soit ${\displaystyle \Omega _{c}^{k}(M)}$ l'espace des ${\displaystyle k}$-formes différentielles réelles à support compact sur ${\displaystyle M}$. Soit

${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle$ :\Omega _{c}^{k}(M)\times \Omega _{c}^{n-k}(M)\to \mathbb {R} ;(\alpha ,\beta )\mapsto \langle \alpha ,\beta \rangle :=\int _{M}\alpha \wedge \beta }

Alors le triple ${\displaystyle (\Omega _{c}^{k}(M),\Omega _{c}^{n-k}(M),\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$ est une paire duale.

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• Dual d'un espace vectoriel topologique
• Ensemble polaire
• Topologie duale (en)

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