Parallaxe

La parallaxe diurne ou parallaxe géocentrique d’un astre est l’angle sous lequel on verrait, depuis cet astre, le rayon terrestre (r) aboutissant au lieu d’observation (A). Cet angle est négligeable pour les étoiles. En revanche, c’est de lui qu’il s’agit quand on parle de la parallaxe d’un astre du Système solaire.

Pour un lieu d'observation (A), la parallaxe est maximum lorsque l’astre est à l’horizon (angle ATP de 90º) : c'est la parallaxe horizontale. Cette dernière atteint elle-même sa valeur maximale pour un lieu situé à l’équateur (le rayon de la Terre étant plus grand à l'équateur) : c'est la parallaxe horizontale équatoriale. Les calculs de parallaxe sont souvent ramenés à une parallaxe horizontale équatoriale[1]. Par exemple, la parallaxe horizontale équatoriale du Soleil vaut 8,794″. Le rapport de la parallaxe horizontale équatoriale moyenne du Soleil et de la parallaxe horizontale d’un astre fournit une valeur approchée de la distance d’un astre du Système solaire, en unités astronomiques.

Parallaxe diurne : deux observateurs se placent en deux points A et B de la Terre les plus éloignés possible et notent la configuration des étoiles entourant l’astre observé. Ils peuvent ainsi calculer les angles BAP et ABP, puis en déduire la parallaxe qui permettra d’obtenir la distance TP.

Parallaxe solaire

Données clés

Unités SI	radian (rad)
Autres unités	seconde d'arc (′′)
Dimension	1 (grandeur sans dimension)
Nature	Grandeur scalaire extensive
Symbole usuel	${\displaystyle \pi _{\odot }}$
Lien à d'autres grandeurs	${\displaystyle \pi _{\odot }=\arctan {\frac {R_{T}}{A}}}$

La parallaxe horizontale équatoriale moyenne du Soleil[2] ou, plus simplement, la parallaxe solaire (en anglais : solar parallax) est une constante astronomique du Système astronomique d'unités de l'Union astronomique internationale (IAU).

Elle est définie comme l'angle plan sous-tendu par le rayon équatorial de la Terre à une distance d'une unité astronomique de longueur[3] qui, depuis 2012, est une unité conventionnelle de longueur égale à 149 597 870 700 mètres.

La parallaxe solaire est couramment notée π_⊙, notation composée de la lettre π minuscule de l'alphabet grec, initiale du grec παράλλαξη, suivie, à droite et en indice, de ⊙, symbole astronomique du Soleil.

La parallaxe solaire s’exprime par l’équation résultant simplement de la figure ci-dessus :

${\displaystyle \pi _{\odot }=\arctan {\frac {R_{T}}{A}}}$

où :

• ${\displaystyle R_{T}}$ est le rayon équatorial de la Terre ;
• ${\displaystyle A}$ est l'unité de distance.

La valeur recommandée de la parallaxe solaire est de 8,794143 secondes d'arc[4] :

${\displaystyle \pi _{\odot }=8{,}794143''}$

Diverses méthodes ont été mises en œuvre pour mesurer cette grandeur[5].

La parallaxe annuelle, parallaxe héliocentrique ou parallaxe stellaire d’une étoile est l’angle sous lequel on verrait, depuis cette étoile (E), le demi-grand axe de l’orbite de la Terre (R).

Parallaxe annuelle. L’objet dont on veut mesurer la distance est observé deux fois à six mois d’intervalle. Grâce à la configuration des étoiles en arrière-plan, on peut calculer les angles ABE et BAE, puis en déduire la parallaxe θ. On a alors la relation D = R / θ (θ en radians).

Ellipses parallactiques.

Une ellipse parallactique (en anglais : parallactic ellipse) est la trajectoire apparente que semble décrire une étoile vue de la Terre, en raison du mouvement annuel de la Terre autour du Soleil.

La forme de l'ellipse parallactique s'étend du cercle, pour une étoile située au pôle de l'écliptique, au segment de droite, pour une étoile située sur le plan de l'écliptique.

Sa dimension diminue avec la distance à l'étoile.

En histoire de l'astronomie, l'existence des ellipses parallactiques est une preuve de l'héliocentrisme[10].

La mesure de la parallaxe annuelle constitue l'une des méthodes existantes pour déterminer la distance d'un astre.

Cette méthode est adaptée aux étoiles les plus proches, dont la distance est proportionnelle à la cotangente de l’angle de parallaxe, soit approximativement l’inverse de cet angle ; entre la distance D de l’étoile au Soleil — exprimée en parsecs — et la valeur θ de sa parallaxe annuelle — exprimée en secondes d'arc — existe la relation θ = 1 / D.

Friedrich Wilhelm Bessel utilisa cette méthode pour la première fois en 1838 pour la binaire 61 du Cygne.

Avec l’usage de cette méthode de mesure de distance, une unité de longueur spécifique fut définie : le parsec, qui est la distance d’un astre dont la parallaxe annuelle est d’une seconde d’arc (toutes les parallaxes annuelles sont inférieures à la seconde d’arc - la fraction ¹⁄₃₆₀₀ d’un degré -, et sont habituellement exprimées en millisecondes d’arc).

Cette unité facilite les calculs ; par exemple, pour Proxima Centauri, l’étoile la plus proche du Système solaire, la parallaxe est de 760 millisecondes, ce qui correspond à une distance est de ¹⁄_0,760 = 1,32 pc.

À la fin des années 1980, les parallaxes annuelles d’environ 8 000 étoiles avaient été obtenues à partir de mesures directes (parallaxes trigonométriques), les mesures effectuées à partir des instruments construits à la surface de la Terre étant affectés d’imprécisions liées aux perturbations atmosphériques.

Lancé en 1989 le satellite d’astrométrie européen Hipparcos, a mesuré les parallaxes annuelles d’environ 100 000 étoiles avec une précision d'une milliseconde d'arc (1 mas ou 0,001″).

En juin 2022 a été publié le troisième catalogue de la sonde Gaia, Gaia DR3, qui comporte la mesure de parallaxe de plus d'un milliard d'étoiles, 1% des étoiles de la voie lactée, à une précision de quelques dizaines de microseconde d'arc (10 µas ou 0,00001")[11].

Un certain nombre de parallaxes d’étoiles plus lointaines sont déterminées par l’analyse spectroscopique de leur rayonnement. Cette analyse spectrale permet, à l'aide du diagramme de Hertzsprung-Russell, d’estimer leur magnitude absolue, et donc leur distance à partir de leur magnitude apparente ; cette méthode est désignée par parallaxe spectroscopique ou parallaxe photométrique.

Ces dénominations ne sont que des abus de langage, cette méthode imprécise n’ayant aucun rapport avec celles décrites précédemment (pour les étoiles proches, des différences de l’ordre de 20 % entre parallaxe trigonométrique et parallaxe spectroscopique ne sont pas rares).

Dans le procès de Galilée, l’Inquisiteur St Robert Bellarmin (mort au moment du procès de 1633) fit l’objection que, si la Terre se mouvait, on devrait observer une parallaxe (selon la définition ci-dessus). Mais aucune parallaxe n’ayant été mesurée, ce fait devenait un argument contre l’héliocentrisme. Galilée répondit que les étoiles étaient trop lointaines pour que la parallaxe puisse être vue et mesurée avec les instruments d’alors.

Tycho Brahe avait également employé cet argument en faveur de l’immobilité de la Terre, mais il avait fait sur l’éloignement des plus proches étoiles une hypothèse très en dessous de la réalité, confirmant en fait l’argument de Galilée[12].

Durant l'année 1751, Joseph Jérôme Lefrançois de Lalande situé à Berlin et Nicolas-Louis de Lacaille situé au Cap entreprennent une série de mesures synchrones qui permettront de déterminer avec une relative précision la parallaxe de la Lune. Ils mesurent à des jours fixés la hauteur de la Lune quand celle-ci passe au méridien. La différence de longitude entre ces deux villes est assez faible pour que l'on puisse supposer que la position de la Lune n'a pas significativement changé. La réunion de ces deux mesures permet de déterminer la parallaxe lunaire au moment de l'observation. Lalande trouve ainsi une parallaxe moyenne[13] de 57 minutes et 26 secondes[14].

Le principe en est expliqué par Lalande dans son traité d'astronomie[15].

Relation existant entre la parallaxe horizontale p, la parallaxe de hauteur p' et la distance apparente au zénith z

Il établit d'abord[16] la relation qui existe entre la parallaxe horizontale p (celle que l'on cherche à déterminer) et la parallaxe de hauteur p' (angle TLO sur le dessin). Dans le dessin ci-contre, la loi des sinus permet d'établir l'égalité de rapport.

${\displaystyle {\frac {OT}{d}}={\frac {\sin(THO)}{\sin(TOH)}}={\frac {\sin(TLO)}{\sin(TOL)}}}$.

L'angle THO correspond à la parallaxe p, l'angle TLO est la parallaxe de hauteur p', l'angle TOH est droit et le sinus de l'angle TOL est identique au sinus de l'angle z (distance apparente au zénith). On obtient donc l'égalité de rapport

${\displaystyle {\frac {\sin(p)}{\sin(p')}}={\frac {1}{\sin(z)}}}$.

Comme les angles p et p' sont très petits, le rapport des sinus est égal au rapport des angles

${\displaystyle p={\frac {p'}{\sin(z)}}}$.

Mesure de la parallaxe de la Lune entre Berlin et Le Cap

Il explique ensuite comment les deux mesures au Cap et à Berlin[17] permettent de déterminer une valeur de p. L'observation de la Lune à Berlin (point B) permet de définir la parallaxe de hauteur ${\displaystyle p_{b}}$ , la distance apparente au zénith ${\displaystyle z_{b}}$ et la latitude ${\displaystyle \ell _{b}}$. Des mêmes mesures sont entreprises au Cap (point C). La règle précédente permet d'écrire

${\displaystyle p={\frac {p_{b}}{\sin(z_{b})}}={\frac {p_{c}}{\sin(z_{c})}}={\frac {p_{b}+p_{c}}{\sin(z_{b})+\sin(z_{c})}}}$.

L'angle mesuré étant plus grand, les erreurs relatives de mesure diminuent[18]. Il reste à déterminer la valeur ${\displaystyle p_{b}+p_{c}}$. Dans le quadrilatère TBLC, la somme des angles vaut 4 droits donc

${\displaystyle \ell _{b}+\ell _{c}+p_{b}+p_{c}=z_{b}+z_{c}}$

On obtient alors la formule

${\displaystyle p={\frac {z_{b}+z_{c}-\ell _{b}-\ell _{c}}{\sin(z_{b})+\sin(z_{c})}}}$

Ce principe doit cependant être corrigé par le fait que la terre n'est pas sphérique. Il faut donc modifier les mesures de distance apparente au zénith et tenir compte du fait que les distances TC et TB ne sont pas égales. Ainsi pour calculer la distance TL. Lalande observe[19] que selon la loi des sinus

${\displaystyle \sin(p_{b})={\frac {TB\sin(z_{b})}{TL}}}$

${\displaystyle \sin(p_{c})={\frac {TC\sin(z_{c})}{TL}}}$

Puis remarquant que, pour des petits angles, le sinus de la somme est égal à la somme des sinus,

${\displaystyle \sin(p_{b}+p_{c})={\frac {TB\sin(z_{b})+TC\sin(z_{c})}{TL}}}$

Soit pour la distance Terre-Lune

${\displaystyle TL={\frac {TB\sin(z_{b})+TC\sin(z_{c})}{\sin(p_{b}+p_{c})}}={\frac {TO}{\sin {p}}}}$

ce qui fournit une valeur de parallaxe compensée au point d'observation O

${\displaystyle p={\frac {TO(z_{b}+z_{c}-\ell _{b}-\ell _{c})}{TB\sin(z_{b})+TC\sin(z_{c})}}}$

• Parallaxe chronométrique
• Défilement parallaxe

• Notices d'autorité :

  • Bibliothèque nationale de France (données)
  • Bibliothèque du Congrès
  • Bibliothèque nationale d’Israël
• Notices dans des dictionnaires ou encyclopédies généralistes :

  • Encyclopædia Britannica
  • Gran Enciclopèdia Catalana
  • Store norske leksikon
• (en) Site de ESA : permet de mesurer le progrès apporté par l’automatisation des mesures de parallaxe par satellite.
• (en) Glossaire de l’astronomie fondamentale (NFA) de l’Union astronomique internationale.
• (en) Hipparcos et les Pléiades

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