Perte de charge

En mécanique des fluides, la perte de charge correspond à la dissipation, par frottements, de l’énergie mécanique d’un fluide en mouvement[1].

Le plus souvent, le terme de perte de charge est utilisé pour quantifier la perte de pression au sein d'une canalisation générée par les frottements du fluide sur celle-ci.

Une perte de charge s'exprime donc en pascal (ΔP), ou en mètre (ΔH). Ces deux notations sont strictement équivalentes avec la relation :

$\Delta P=\rho g\Delta H$

avec :

ΔP : perte de charge en Pascal

ΔH : perte de hauteur équivalente en mètre (hauteur de colonne fluide équivalente)

ρ : masse volumique en [kg/m³]

g : accélération de pesanteur en [m $s^{-2}$ ]

Les équations des pertes de charge distinguent :

les pertes de charge régulières ;
les pertes de charge singulières.

Pour calculer la perte de charge globale d'un circuit, il faut donc additionner les pertes de charge régulières et les pertes de charge singulières :

$\Delta P_{TOTAL}=\Delta P_{reguliere}+\Delta P_{singuliere}$

Définition

Lorsque l'on est en présence de frottements, le théorème de Bernoulli ne s'applique plus et la charge n'est plus constante dans le circuit. On parle alors de perte de charge.

Pour les fluides incompressibles, on utilise alors le théorème de Bernoulli généralisé, incluant un terme de perte de charge, qui s'écrit :

{\frac {v_{1}^{2}}{2g}}+z_{1}+{\frac {p_{1}}{\rho g}}={\frac {v_{2}^{2}}{2g}}+z_{2}+{\frac {p_{2}}{\rho g}}+\Delta H

avec

$v$ - vitesse du fluide [m/s]
$g$ - accélération de la pesanteur [m s⁻²]
$z$ - Altitude [m]
$p$ - Pression [Pa]
$\rho$ - masse volumique du fluide [kg m⁻³]
$\Delta H$ - Perte de charge [m]

Dans le cas d'un fluide incompressible, si la section du tuyau est constante, alors la vitesse est également constante. L'altitude z étant imposée par l'installation de la canalisation, on voit que la perte de charge se traduit par une diminution de pression.

Une relation plus générale s'écrira :

{\frac {v_{1}^{2}}{2g}}+z_{1}+{\frac {p_{1}}{\rho g}}={\frac {v_{2}^{2}}{2g}}+z_{2}+{\frac {p_{2}}{\rho g}}+{\frac {\Delta \mathrm {P} }{\rho g}}

où

\Delta \mathrm {P} =\rho \cdot g\cdot \Delta H

Les pertes de charge régulières

Les pertes de charge régulières sont générées par le frottement du fluide sur la paroi interne de la conduite tout au long de son passage.

Elles dépendent de :

la longueur de la conduite (L en mètre) ;

la rugosité relative de la conduite ;

la vitesse du fluide en circulation dans la canalisation (V en m/s).

Équation de Darcy-Weisbach

Les pertes de charge régulières sont le plus souvent calculées à partir de l'équation de Darcy-Weisbach[2]:

\Delta H=\Lambda \,{\frac {\mathrm {L} }{\mathrm {D_{h}} }}\,{\frac {v^{2}}{2\,g}}

avec :

Λ - coefficient de perte de charge (sans unité)
v - vitesse moyenne du fluide dans le tuyau (m/s)
L - longueur du tuyau (m)
D_h - diamètre hydraulique (m), défini par $\mathrm {D_{h}} ={\tfrac {4\mathrm {S} }{\mathrm {P_{m}} }}$
S étant la section du tuyau et P_m le périmètre mouillé
g - accélération de la pesanteur (m/s²).

La valeur du coefficient Λ se trouve dans des abaques spécifiques, appelées le diagramme de Moody ou la Harpe de Nikuradze, pour chaque configuration de canalisation. Il s'agit le plus souvent de graphiques exprimant la valeur de Λ en fonction du nombre de Reynolds de l'écoulement, pour différentes valeurs de rugosité relative. L'ouvrage de référence utilisé par les hydrauliciens est la « memento des pertes de charge par I.E IDEL'CIK ». [1]

En utilisant les unités données ci-dessus, la perte de charge est une hauteur, le plus souvent transformée en hauteur d'eau équivalente. En multipliant cette hauteur, le terme de droite de l'équation, par la masse volumique du fluide ρ (en kg/m³) et par $g$ , on obtient la pression équivalente (en Pa ou N/m²). D'où la formule générale :

\rho \cdot g\cdot \Delta H=\Delta \mathrm {P} =\Lambda \,\cdot {\frac {\mathrm {L} }{\mathrm {D_{h}} }}\,\cdot {\frac {\rho \cdot v^{2}}{2\,}}

Nous retrouvons la formule citée dans l'introduction.

Coefficient de frottement dans le cas d'un régime laminaire

Dans le cas d'un écoulement de Poiseuille, l'approximation conventionnelle du coefficient de frottement[3] est définie par :

\Lambda ={\frac {64}{\mathrm {Re} }}

Cette relation est applicable pour des nombres de Reynolds allant de zéro à 2 300.

Il est possible d'adapter cette formule selon la forme du tuyau[4].

Coefficient de frottement dans le cas d'un régime turbulent

De façon générale, le coefficient de frottement peut être déterminé à l'aide de l'équation de Colebrook. Celle-ci se présente sous la forme d'une équation implicite :

${\frac {1}{\sqrt {\Lambda }}}=-2\log({\frac {2.51}{Re{\sqrt {\Lambda }}}}+{\frac {\epsilon }{3.71D}})$

Cette équation peut être exprimée selon si l'écoulement est turbulent lisse ou rugueux.

L'équation de Prandtl[5] est valable pour un écoulement turbulent lisse (Prandtl-Von Karman, 1934) :

{\frac {1}{\sqrt {\Lambda }}}=2\ \log(\mathrm {Re} {\sqrt {\Lambda }})-0{,}8

Pour des nombres de Reynolds allant de 4 000 à 100 000 on peut utiliser la corrélation de Blasius (1911) :

\Lambda =0{,}3164\cdot \mathrm {Re} ^{-0{,}25}

Pour les nombres de Reynolds allant de 2 300 à 4 000, il convient de prendre une valeur moyenne entre celles fournies par les deux formules ou d'utiliser un abaque, par exemple donné dans le mémento des pertes de charge I.E IDEL'CIK traduit du russe par Mme M. MEURY^{[réf. non conforme]}.

Les pertes de charge singulières

Les pertes de charge singulières sont essentiellement dues aux accidents de canalisation, c'est-à-dire toute modification géométrique de la conduite. On peut y compter les changements de direction (coudes, raccords en T), les variations de section, les vannes ou robinets, des appareils de mesure.

Les pertes de charge singulières se produisent quand il y a perturbation de l'écoulement normal, décollement du fluide des parois et formation de tourbillons aux endroits où il y a changement de section ou de direction de la conduite.

La formule utilisée est :

$\Delta \mathrm {P} =\Lambda \,\cdot {\frac {\rho \cdot v^{2}}{2\,}}$

avec :

ΔP : perte de charge singulière en Pascal

Λ : coefficient de perte de charge singulière

ρ : masse volumique du fluide [kg/m3]

v : vitesse du fluide [m/s]

Tout comme pour les pertes de charge régulières, la valeur du coefficient Λ se détermine à l'aide d'abaques. Il existe un abaque pour chaque type de perte de charge singulière. L'ouvrage de référence est le memento des pertes de charge I.E IDEL'CIK traduit du russe par Mme M. MEURY.[1]

Solution logicielle

De nombreux logiciels permettent de modéliser des pertes de charge pour toutes les formes de canalisation et d'écoulement. Il s'agit de simulation à une dimension (1D) : le logiciel ne fait qu'utiliser les abaques et les formules citées ci-dessus.

Pour des écoulement plus complexes, de la simulation numérique 3D peut être utilisée.

Notes et références

I.E. Idel'cik, Mémento des pertes de charges : Coefficients de pertes de charge singulières et de pertes de charge par frottement, Eyrolles, novembre 1986, 3^e éd., 504 p. (ISBN 2-212-05900-0)
Ion Paraschivoiu, Michel Prud'homme, Luc Robillard et Patrick Vasseur, Mécanique des fluides, Montréal, Presses internationales Polytechnique, 2003, 450 p. (ISBN 2-553-01135-0), p. 324
(en) Krzysztof Dutkowski, « Experimental investigations of Poiseuille number laminar flow of water and air in minichannels », International Journal of Heat and Mass Transfer, vol. 51, n^os 25-26,‎ 2008, p. 5983–5990
Facteur de frottement dans les tuyauteries
(en) Ning Hsing Chen, « An Explicit Equation for Friction Factor in Pipe », American Chemical Society,‎ 1979

Voir aussi

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[1] I.E. Idel'cik, Mémento des pertes de charges : Coefficients de pertes de charge singulières et de pertes de charge par frottement, Eyrolles, novembre 1986, 3^e éd., 504 p. (ISBN 2-212-05900-0)

[Paraschivoiu-2] Ion Paraschivoiu, Michel Prud'homme, Luc Robillard et Patrick Vasseur, Mécanique des fluides, Montréal, Presses internationales Polytechnique, 2003, 450 p. (ISBN 2-553-01135-0), p. 324

[3] (en) Krzysztof Dutkowski, « Experimental investigations of Poiseuille number laminar flow of water and air in minichannels », International Journal of Heat and Mass Transfer, vol. 51, n^os 25-26,‎ 2008, p. 5983–5990

[4] Facteur de frottement dans les tuyauteries

[5] (en) Ning Hsing Chen, « An Explicit Equation for Friction Factor in Pipe », American Chemical Society,‎ 1979