Platitude locale

En topologie, une branche des mathématiques, la platitude locale est une propriété que peut posséder une sous-variété d'une variété topologique de plus grande dimension. Dans la catégorieCatégorie (mathématiques) des variétés topologiques, les sous-variétés localement plates jouent un rôle similaire aux sous-variétés plongées de la catégorie des variétés lisses. La platitude locale et la topologie des "ridge networks" (en) sont d'une importance capitale dans l'étude des structures froissées (en) et en génie mécanique.

Supposons avoir une variété N de dimension D plongée dans une variété M de dimension n (avec d < n). Soit ${\displaystyle x\in N}$. On dit que N est localement plate au point x s'il existe un voisinage ${\displaystyle U\subset M}$ de x tel que la paire d'espaces ${\displaystyle (U,U\cap N)}$ soit homéomorphe à la paire ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} ^{d})}$, avec l'inclusion classique de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ en tant que sous-espace de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. C'est-à-dire qu'il existe un homéomorphisme de ${\displaystyle U\to \mathbb {R} ^{n}}$ tel que l'image de ${\displaystyle U\cap N}$ coïncide avec ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$.

La définition ci-dessus suppose que, si M possède une frontière, alors x n'est pas un point de la frontière de M. Si x est un point de la frontière de M alors la définition ci-dessus serait modifiée comme ce qui suit. On dit que N est localement plate à un point x de la frontière de M s'il existe un voisinage ${\displaystyle U\subset M}$ de x tel que la paire d'espaces ${\displaystyle (U,U\cap N)}$ est homéomorphe à la paire ${\displaystyle (\mathbb {R} _{+}^{n},\mathbb {R} ^{d})}$, où ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{n}}$ est un demi-espace classique et ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ inclus en tant que sous-espace standard de sa frontière. Pour plus de détails, nous pouvons poser ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{n}=\{y\in \mathbb {R} ^{n}\colon y_{n}\geq 0\}}$ et ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}=\{y\in \mathbb {R} ^{n}\colon y_{d+1}=\cdots =y_{n}=0\}}$.

On dit que N est localement plate dans M si N est localement plate à chaque point ${\displaystyle x\in M}$. De la même manière, une application ${\displaystyle \chi \colon N\to M}$ est localement plate, même si elle n'est pas un plongement, si pour tout point ${\displaystyle x\in N}$ il existe un voisinage U tel que son image ${\displaystyle \chi (U)}$ est localement plate dans M.

La platitude locale d'un plongement implique de forte propriétés qui ne sont pas partagées par tous les plongements. Le mathématicien Morton Brown prouva en 1962 que si d = n − 1, alors N est "collared"; c'est-à-dire qu'il a un voisinage qui est homéomorphe à N × [0,1] avec N lui-même correspondant à N × 1/2 (si N est à l'intérieur de M) ou N × 0 (si N est dans la frontière de M).