Point d'arrêt (mécanique des fluides)

En aérodynamique le corps n'existe qu'au travers des conditions qu'il impose à l'écoulement. Le point d'arrêt est donc un point de l'écoulement et non du corps. Il correspond à une singularité liée aux symétries qui peuvent être de deux types :

• une symétrie de révolution (par exemple liée à un objet sphérique) qui entraîne la présence d'un point singulier au voisinage de l'intersection du corps et de l'axe de symétrie : le point d'arrêt ;
• une symétrie plane (par exemple un cylindre infini perpendiculaire à l'écoulemnt) qui entraîne la présence d'une ligne singulière : la ligne d'arrêt. Dans ce cas la représentation du problème dans un plan fait que la ligne se réduit à un point et l'on parle abusivement de « point d'arrêt ».

Dans le cas de deux plans de symétrie perpendiculaires (par exemple un ellipsoïde) chaque plan génère une ligne de singularité de la composante de l'écoulement qui lui est perpendiculaire ; l'intersection des deux lignes constitue le point d'arrêt. Tout corps régulier peut être représenté localement par un ellipsoïde (plutôt que par le plan tangent, les courbures jouant un rôle en aérodynamique).

Le plan est une géométrie qui entraîne les effets précédents :

• ligne d'arrêt pour un écoulement en incidence (un seul plan de symétrie) ;
• point d'arrêt pour un écoulement normal au plan (axe de symétrie).

Le point d'arrêt est un point à vitesse nulle. En effet :

• la symétrie du problème (liée aux symétries de l'objet) impose la symétrie de la solution (de l'écoulement). ${\displaystyle \textstyle V(x,z=0)=V(-x,z=0)}$, ${\displaystyle \textstyle z=0}$ définissant la ligne d'arrêt (normale, suivant le problème, à la droite tangente ou au plan tangent à la surface au point d'arrêt) et ${\displaystyle \textstyle x=0}$ (ou ${\displaystyle \textstyle r=0}$) définissant le point d'arrêt. Donc ${\displaystyle \textstyle V(x=0+,z=0)=-V(x=0-,z=0)}$, ${\displaystyle \textstyle 0+}$ et ${\displaystyle \textstyle 0-}$ désignant le voisinage mathématique de 0 ;
• la continuité (conservation de la masse) impose la dérivabilité de ${\displaystyle \textstyle V(x,z)}$ en tout point (on exclut les ondes de choc) et en particulier V est continue en ${\displaystyle \textstyle (0,0)}$.

${\displaystyle \textstyle V}$ est une fonction continue symétrique autour de l'origine : elle est donc nulle en 0. ${\displaystyle \textstyle V=0}$ au point d'arrêt est donc la conséquence de la symétrie, dans le cadre des équations (Navier-Stokes ou Euler) qui imposent la continuité de V. On remarque que ceci n'impose pas la continuité de sa dérivée, ce qui est effectivement le cas de tous les écoulements de point d'arrêt qui ont une accélération non nulle. C'est la raison pour laquelle le plan n'est pas une bonne approximation locale d'une surface en aérodynamique.

Au point d'arrêt, la vitesse du fluide est nulle et toute l'énergie cinétique de ce fluide est transformée en énergie de pression de façon isentropique.

L’application du théorème de Bernoulli indique que la pression statique est la plus forte lorsque la vitesse est nulle. Dans le cas d’un écoulement incompressible, cela signifie que le coefficient de pression ${\displaystyle C_{p}}$ au point d’arrêt est égal à ${\displaystyle 1}$.

En effet, pour les gaz, la variante adimensionnelle de l’équation de Bernoulli s’écrit :

${\displaystyle C_{p}=1-C_{v}^{2}}$

C_p étant le coefficient de pression et C_v étant le coefficient de vitesse. Par définition, le coefficient de vitesse C_v vaut :

${\displaystyle C_{v}={\frac {v}{v_{\infty }}}}$, ${\displaystyle v}$ étant la vitesse locale et ${\displaystyle v_{\infty }}$ la vitesse à l’infini loin du corps.

Lorsque l’on pose ${\displaystyle v=0}$ (donc ${\displaystyle C_{v}=0}$) dans cette équation, on observe que ${\displaystyle C_{p}=1}$.

Par définition, le coefficient de pression ${\displaystyle C_{p}}$ au point de stagnation est donné par :

${\displaystyle C_{p}={p-p_{\infty } \over q_{\infty }}}$

où :

${\displaystyle p}$ est la pression statique au point où la mesure est effectuée ;

${\displaystyle p_{\infty }}$ est la pression statique loin du corps testé ;

${\displaystyle q_{\infty }}$ est la pression dynamique loin du corps testé.

c’est-à-dire :

${\displaystyle C_{p}={p-p_{\infty } \over \textstyle {\frac {1}{2}}\rho _{\infty }v_{\infty }^{2}}}$

donc pour ${\displaystyle C_{p}=1}$, la pression locale ${\displaystyle p}$ vaut ${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{2}}\rho _{\infty }v_{\infty }^{2}+p_{\infty }}$

Le coefficient de pression au point d’arrêt égale 1[1].

Cela signifie qu'au point d’arrêt, la pression statique locale (nommée Pression d'arrêt) vaut la somme de la pression statique à l’infini (pression ambiante ou atmosphérique) et de la pression dynamique ${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{2}}\rho _{\infty }v_{\infty }^{2}}$.

La pression dynamique est ainsi nommée parce qu'elle est la surpression due au mouvement relatif du corps par rapport au fluide.

À l'amont de certains corps 2D présentés en travers d'un écoulement de fluide on constate l'existence d'une ligne d'arrêt de ${\displaystyle C_{p}}$ unitaires.

La galerie d'images ci-dessous montre la distribution des coefficients de pression sur un certain nombre de corps. L'écoulement sur tous ces corps venant de la gauche, on doit rechercher le ${\displaystyle C_{p}}$ au point d'arrêt à l’extrême gauche des courbes du ${\displaystyle C_{p}}$.

Les mécaniciens des fluides sont tellement conscients que le ${\displaystyle C_{p}}$ au point d'arrêt est unitaire qu'ils ne le dessinent pas toujours (comme sur la courbe rouge de la deuxième image)[Note 1] :

• 
  Distribution des pressions (Cp) sur la sphère à plusieurs nombres de Reynolds, d'après Achenbach.
• 
  Distribution des ${\displaystyle C_{p}etC_{v}}$ autour du dirigeable Akron.
• 
  Distribution des ${\displaystyle C_{p}}$ dans le plan de symétrie d'un berline routière DrivAer Fastback.
• 
  Distribution des pressions sur le cône d'Apollo (module de commande) à l'incidence zéro.

Idées fausses sur la surpression autour du point d’arrêt

• Outre les limitations énoncées ci-dessus, le fait que la pression dynamique au point d’arrêt vaut ${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{2}}\rho _{\infty }v_{\infty }^{2}}$ ne permet pas de dire que toute la face avant d’un disque exposé frontalement, par exemple, est soumise à cette pression dynamique unitaire[5]. Bien au contraire, à l’approche du corps, l’écoulement s'auto-organise et trouve de lui-même des voies de contournement de ce corps. On constate alors que la vitesse des particules qui se présentent face au disque est augmentée d’une composante radiale (parallèlement aux rayons du disque) d’autant plus forte que ces particules sont plus proches des bords du disque. En conséquence (et en application du Théorème de Bernoulli) la distribution des coefficients de pression sur le disque (image ci-contre) diminue à mesure que l’on s’approche de la circonférence du disque, pour devenir même négatif avant le franchissement de cette circonférence (franchissement où la vitesse locale est très accélérée).

En vertu de quoi, si le ${\displaystyle C_{x}}$ du disque est proche de l’unité, ce n’est pas parce qu’un ${\displaystyle C_{p}}$ unitaire s’applique à toute sa face avant[Note 3], mais c’est parce que sa face avant apporte un ${\displaystyle C_{x}}$ de 0,75 et que sa face arrière apporte un ${\displaystyle C_{x}}$ de 0,37 (valeurs généralement retenues, le ${\displaystyle C_{x}}$ du disque étant de 1,12).

Les mêmes considérations valent pour la distribution des ${\displaystyle C_{p}}$ sur la face avant du cylindre à tête plate (image ci-dessous où les ${\displaystyle C_{p}}$ sont représentés vectoriellement). Sur cette image, on note que les ${\displaystyle C_{p}}$ deviennent brusquement négatifs au franchissement de l'arête puis restent négatifs ensuite sur l'avant de la partie strictement cylindrique :

• 
  Distribution des pressions sur le cylindre à tête plate exposé axialement dans un écoulement.

• Une autre idée fausse est celle qui consiste à penser que toute la face avant d'un corps (un véhicule automobile, par exemple) est soumise peu ou prou à la pression dynamique ${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{2}}\rho _{\infty }v_{\infty }^{2}}$. Au contraire, l'écoulement s'organise de lui-même et accélère pour contourner le corps (si l'on considère que le corps est arrêté et que c'est le fluide qui est en mouvement). En application du théorème de Bernoulli, cette accélération fait baisser notablement la pression (image de la berline jaune déjà montrée), de sorte qu'un partie importante de l'avant d'un véhicule est très contre-intuitivement aspirée vers l'avant. Dans les faits, la partie avant d'une berline correctement profilée n'est responsable que d'une très faible partie de son ${\displaystyle C_{x}}$.

Distribution des pressions devant et sur un corps hémisphéro-cylindrique.

Sur l'image ci-contre donnant la distribution des ${\displaystyle C_{p}}$ sur un corps hémisphéro-cylindrique, on voit le même phénomène d'aspiration sur une bonne partie de l'hémisphère (de fait le ${\displaystyle C_{x}}$ de pression d'un tel corps hémisphéro-cylindrique est relativement faible : 0,01[6]).

Le même phénomène d'aspiration vers l'avant n'existe cependant pas pour l'avant de la partie strictement cylindrique du cylindre à tête plate (image ci-dessus) puisque cette partie cylindrique ne possède pas de surfaces faisant face à l'avant et capables de transformer la forte dépression visible sur l'image en aspiration vers l'avant.

Idées vraies sur la surpression autour du point d’arrêt

• La pression au point d'arrêt est la plus forte de toutes les pressions créées par l'écoulement d'un fluide sur un corps. C'est cette surpression qui maintient gonflés les parapentes durant leur vol[Note 4]^,[Note 5]. La vidéo ci-contre fait la preuve de cette prééminence de la pression au point d'arrêt sur toutes les autres pressions autour d'un corps.

• La vidéo ci-contre montre une expérience effectuée dans une soufflerie artisanale. Un disque étanche est présenté frontalement au courant d’air (qui vient de la gauche). Sur ce disque a été fixé un cône en film de plastique souple, la pointe de ce cône ayant été découpée. Au début de l’expérience, le cône est écrasé. À quelques plis près, en ce début de l’expérience, le courant d’air rencontre donc un disque ; le maximum de pression totale crée par l’écoulement sur un disque se trouve en son centre : c’est cette pression totale qui va pénétrer par sa pointe découpée dans l’enveloppe écrasée du cône et la gonfler. Pendant ce gonflage, le cône de film souple prend des formes biscornues mais le maximum de pression totale reste toujours près du centre (où se situe à peu près l’entrée d’air du cône), ce qui permet l’achèvement du gonflage contre le vent.

Lorsque le cône a pris sa forme (qu’il est gonflé), il est aisé de faire un bilan des pressions sur et dans le cône : la pression totale qui est captée par l’entrée d’air et qui s’est établie à l’intérieur du cône est supérieure à toutes les pressions existant à l’extérieur du cône. Ceci suffit à maintenir le cône parfaitement gonflé (si une zone de pression plus forte que la pression au point d’arrêt existait à l’extérieur du cône, elle écraserait le film du cône, lequel perdrait ainsi sa forme).

L’image déjà montrée plus haut de la capsule Apollo exposée pointe en avant dévoile la distribution des pressions à sa surface. Le cône de cette capsule est assez proche du cône en film souple de cette expérience.

Enfoncement dynamique (dû au vent) au point d'arrêt d'un ballon à gaz.

Des lattes (ou baleines) renforcent la zone de point d'arrêt des dirigeables

Enfoncement dynamique autour du point d'arrêt du ballon à gaz Jean-Bart

• La surpression interne qui gonfle les ballons à gaz ou les ballons dirigeables (et qui maintient les formes de corps de moindre traînée de ces derniers) est très peu élevée (de 1 à 4 millièmes de la pression atmosphérique). En conséquence, si la vitesse d'un dirigeable est trop importante (ou le vent météo trop fort sur un ballon à gaz ou une montgolfière maintenu(e) au sol), la pression dynamique ${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{2}}\rho _{\infty }v^{2}}$ (si ${\displaystyle v}$ est la vitesse de l'air sur l'engin) va écraser son enveloppe dans la zone du point d'arrêt (ce phénomène s'appelle "enfoncement dynamique")[7].

On en voit deux exemples sur les images ci-contre à droite (sur un ballon sphérique) et ci-dessous à gauche (où le vent enfonce l'enveloppe du ballon sphérique à gaz Jean-Bart autour de son point d'arrêt).
Pour éviter de tels enfoncements dynamiques, les dirigeables présentent souvent un réseau de lattes (ou baleines) pour renforcer leur avant[8]. Si l'on fait le calcul, on trouve que, sans lattes, une surpression interne de 3 hectopascal autorise une vitesse/air de 22,3 m/s, soit ~ 80 Km/h.

• Écoulement de Hiemenz

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