Point de Lebesgue

Plus précisément, on dit que x est un point de Lebesgue de f ∈ L¹(ℝⁿ) si

${\displaystyle \lim _{r\rightarrow 0^{+}}{\frac {1}{\lambda \left(B\left(x,r\right)\right)}}\int _{B(x,r)}|f(t)-f(x)|\mathrm {d} \lambda (t)=0,}$

où B(x, r) désigne la boule de ℝⁿ centrée en x et de rayon r > 0 et λ désigne la mesure de Lebesgue.

Le théorème de différentiation de Lebesgue affirme que si f ∈ L¹(ℝ) alors presque tous les points de ℝ sont des points de Lebesgue. Autrement dit l'ensemble des points x ∈ ℝ qui ne sont pas des points de Lebesgue est négligeable.

Une application directe du théorème précédent est une généralisation du premier théorème fondamental de l'analyse :

Si f ∈ L¹(ℝ) et ${\displaystyle F(x)=\int _{-\infty }^{x}f(t){\rm {d}}\lambda (t)}$ alors, en tout point de Lebesgue de f donc presque partout, F est dérivable et F'(x) = f(x).

Walter Rudin, Analyse réelle et complexe [détail des éditions]