Points et parties remarquables de la frontière d'un convexe

Notons ${\displaystyle C}$ le convexe, ${\displaystyle c}$ le sommet considéré, ${\displaystyle E}$ l'espace affine ambiant et ${\displaystyle d}$ sa dimension. On munit ${\displaystyle E}$ d'une structure euclidienne.

Notons ${\displaystyle S_{c}}$ la partie de ${\displaystyle E}$ formée des vecteurs ${\displaystyle s}$ vérifiant la condition suivante :

${\displaystyle \forall x\in C,<s|x>\leq <s|c>}$.

Lorsque s n'est pas nul cette condition s'interprète géométriquement : elle signifie que l'hyperplan passant par ${\displaystyle c}$ et perpendiculaire à ${\displaystyle s}$ est d'appui en ${\displaystyle c}$, le vecteur ${\displaystyle s}$ pointant du côté opposé à celui du convexe. L'intersection des hyperplans d'appui c'est donc l'ensemble des ${\displaystyle c+u}$ où ${\displaystyle u}$ est perpendiculaire à tous les éléments de ${\displaystyle S_{c}}$ ; en plus concis c'est ${\displaystyle c+S_{c}^{\perp }}$.

Dire que ${\displaystyle c}$ est un sommet, c'est dire que cette intersection est réduite à ${\displaystyle \{c\}}$, ce qui revient à dire que ${\displaystyle S_{c}^{\perp }}$ se réduit à ${\displaystyle \{0\}}$, ou encore que l'espace vectoriel engendré par ${\displaystyle S_{c}}$ est égal à ${\displaystyle E}$ tout entier. On peut donc sélectionner un ${\displaystyle d}$-uplet de vecteurs ${\displaystyle (s_{1},...,s_{d})}$ dans ${\displaystyle S_{c}}$ qui constitue une base de ${\displaystyle E}$.

Notons ${\displaystyle v=s_{1}+\cdots +s_{d}}$. Alors pour tout ${\displaystyle x}$ dans ${\displaystyle C}$ :

${\displaystyle <v|x>=<s_{1}|x>+\cdots +<s_{d}|x>\leq <s_{1}|c>+\cdots +<s_{d}|c>=<v|c>}$

ce qui prouve déjà que l'hyperplan ${\displaystyle H}$ passant par ${\displaystyle x}$ et perpendiculaire à ${\displaystyle v}$ est d'appui en ${\displaystyle c}$ ; de plus, si ${\displaystyle x}$ est un point de ${\displaystyle H\cap C}$, l'inégalité qui précède est une égalité. C'est donc nécessairement que toutes les inégalités ${\displaystyle <s_{i}|x>\leq <s_{i}|c>}$ sont elles-mêmes des égalités (${\displaystyle 1\leq i\leq d}$). Puisque ${\displaystyle (s_{1},...,s_{d})}$ est une base de ${\displaystyle E}$, on en déduit que ${\displaystyle x=c}$, ce qui prouve que ${\displaystyle H}$ ne contient aucun point du convexe en dehors de ${\displaystyle c}$.

On reprend les notations introduites à la démonstration précédente.

Remarquons d'abord que pour tous réels strictement positifs ${\displaystyle \alpha _{1},...,\alpha _{d}}$, le vecteur ${\displaystyle \alpha _{1}s_{1}+...+\alpha _{d}s_{d}}$ est dans ${\displaystyle S_{c}}$ et que l'ensemble de ces vecteurs est évidemment un ouvert, ce dont on déduit que ${\displaystyle S_{c}}$ est d'intérieur non vide. C'est donc aussi le cas de son translaté ${\displaystyle c+S_{c}}$.

Considérons maintenant un vecteur ${\displaystyle y}$ de ${\displaystyle c+S_{c}}$ ; posons ${\displaystyle y=c+s}$, avec ${\displaystyle s}$ dans ${\displaystyle S_{c}}$. Pour ${\displaystyle x}$ dans ${\displaystyle C}$, examinons le produit scalaire ${\displaystyle <x-c|y-c>=<x-c|s>=<s|x>-<s|c>\leq 0}$ (où l'inégalité finale provient de la définition même de ${\displaystyle S_{c}}$).

Vue la caractérisation variationnelle de la projection sur un convexe fermé, on en conclut que ${\displaystyle c}$ est la projection ${\displaystyle p_{\overline {C}}(y)}$ de ${\displaystyle y}$ sur le convexe fermé ${\displaystyle {\overline {C}}}$.

Prenons alors une partie dénombrable dense ${\displaystyle A}$ de ${\displaystyle E}$. Pour tout sommet ${\displaystyle c}$ du convexe, ${\displaystyle A}$ rencontre ${\displaystyle c+S_{c}}$ (puisque celui-ci est d'intérieur non vide) tandis que ${\displaystyle p_{\overline {C}}}$ prend la valeur ${\displaystyle c}$ en tout point de ${\displaystyle c+S_{c}}$ : dès lors la restriction de ${\displaystyle p_{\overline {C}}}$ à ${\displaystyle A}$ prend elle-même la valeur ${\displaystyle c}$. Cette application définie sur un ensemble dénombrable prenant tout sommet pour valeur, on conclut alors que l'ensemble des sommets est au plus dénombrable.

Pour la première proposition, soit ${\displaystyle c}$ extrémal. Considérons un segment ${\displaystyle ]x,y[}$ dans ${\displaystyle C}$ contenant ${\displaystyle c}$. Comme ${\displaystyle C\setminus \{c\}}$ est convexe, l'une au moins de ses extrémités n'est pas dans cet ensemble, donc est égale à ${\displaystyle c}$. Mais un point de l'intérieur d'un segment ne peut être égal à une extrémité que si le segment est un singleton, donc ${\displaystyle x=y=c}$.

Pour la deuxième proposition, soit ${\displaystyle F}$ une face exposée et ${\displaystyle H}$ un hyperplan d'appui avec ${\displaystyle F=H\cap C}$. Soit maintenant ${\displaystyle ]x,y[}$ un segment ouvert qui rencontre ${\displaystyle C\setminus F}$ —et donc H— tout en étant tracé dans ${\displaystyle C}$, qui se situe d'un seul côté de ${\displaystyle H}$ : c'est forcément que ce segment est tout entier dans ${\displaystyle H}$, donc aussi ses extrémités qui sont donc bien dans ${\displaystyle F}$.

Pour le troisième énoncé, soit ${\displaystyle F}$ une face de dimension ${\displaystyle d-1}$, ${\displaystyle H}$ l'hyperplan affine enveloppe affine de ${\displaystyle F}$ et ${\displaystyle c}$ un point de l'intérieur relatif de ${\displaystyle F}$ (c'est-à-dire de son intérieur dans ${\displaystyle H}$). Notons ${\displaystyle F'=H\cap C}$, si bien que ${\displaystyle F\subset F'}$, et montrons l'inclusion réciproque ; dans cette intention prenons ${\displaystyle c'\in F'}$. Alors le segment ${\displaystyle [c,c']}$ est à extrémités dans ${\displaystyle C}$ et, parce que ${\displaystyle c}$ est dans l'intérieur relatif de ${\displaystyle F}$, le segment ouvert correspondant contient des points de ${\displaystyle F}$. L'extrémité finale ${\displaystyle c'}$ de ce segment est donc aussi dans ${\displaystyle F}$. Vérifions ensuite que ${\displaystyle H}$ est un hyperplan d'appui. Si ce n'était pas le cas, il existerait deux points ${\displaystyle a}$ et ${\displaystyle b}$ de ${\displaystyle C}$ de part et d'autre de ${\displaystyle H}$ (au sens strict). Le segment ${\displaystyle [a,b]}$ serait alors un segment à extrémités hors de ${\displaystyle F}$ dont l'intérieur, à l'endroit où il intersecte ${\displaystyle H}$, rencontre ${\displaystyle F'}$ qu'on sait égal à ${\displaystyle F}$. Or ceci est interdit par la définition d'une face. On a finalement bien écrit ${\displaystyle F}$ sous la forme ${\displaystyle F=F'=H\cap C}$ avec ${\displaystyle H}$ hyperplan d'appui, prouvant qu'elle est exposée.

Passons à la quatrième proposition. Soit ${\displaystyle ]x,y[}$ un segment ouvert dans ${\displaystyle C}$ rencontrant ${\displaystyle F_{1}}$. A fortiori ce segment rencontre ${\displaystyle F}$, qui est une face de ${\displaystyle C}$, donc ses extrémités sont dans ${\displaystyle F}$. Puisque les faces sont convexes par définition, tout le segment ${\displaystyle [x,y]}$ est dans ${\displaystyle F}$. On a alors un segment dans ${\displaystyle F}$ dont un point de l'intérieur rencontre ${\displaystyle F_{1}}$ ; puisque ${\displaystyle F_{1}}$ est une face de ${\displaystyle F}$ ses deux extrémités sont dans ${\displaystyle F_{1}}$.

Reste l'énoncé relatif à la partition par les intérieurs relatifs des faces. On va le montrer par récurrence sur la dimension du convexe, l'initialisation étant évidente (cas d'un point). Supposons donc le vrai pour les convexes de dimension strictement inférieure à ${\displaystyle k}$ et soit ${\displaystyle C}$ un convexe de dimension ${\displaystyle k}$.

• La non-vacuité des intérieurs relatifs des faces provient de la condition de non-vacuité exigée des faces elles-mêmes.

• Pour ce qui est de la réunion des intérieurs relatifs, soit ${\displaystyle c}$ un point de ${\displaystyle C}$. Si ${\displaystyle c}$ est dans l'intérieur relatif de ${\displaystyle C}$, en remarquant que ${\displaystyle C}$ est lui-même une face, on a exhibé une face dont l'intérieur relatif contient ${\displaystyle c}$. Si ${\displaystyle c}$ est sur la frontière, soit ${\displaystyle F}$ une face exposée contenant ${\displaystyle c}$. Par l'hypothèse de récurrence, ${\displaystyle c}$ appartient à l'intérieur relatif d'une des faces de ${\displaystyle F}$, qui est elle-même par l'énoncé précédent une face de ${\displaystyle C}$.

• Vérifions enfin que deux intérieurs relatifs de faces sont soit égaux soit disjoints. Soit donc ${\displaystyle F_{1}}$ et ${\displaystyle F_{2}}$ deux faces de ${\displaystyle C}$ dont les intérieurs relatifs se rencontrent ; notons ${\displaystyle c}$ un point de leur intersection et ${\displaystyle G_{1}}$ et ${\displaystyle G_{2}}$ leurs enveloppes affines respectives. On va dans un premier temps montrer que ${\displaystyle G_{1}=G_{2}}$ ; puisque ces sous-espaces affines passent tous deux par ${\displaystyle c}$, il suffit pour ce faire de s'assurer qu'ils ont même direction. Soit ${\displaystyle u}$ un vecteur dans la direction de ${\displaystyle G_{1}}$ ; comme ${\displaystyle c}$ est dans l'intérieur relatif de ${\displaystyle F_{1}}$, à condition de prendre ${\displaystyle \alpha }$ assez petit, les deux points ${\displaystyle c+\alpha u}$ et ${\displaystyle c-\alpha u}$ sont tous deux dans ${\displaystyle F_{1}}$ donc dans ${\displaystyle C}$, tandis que le segment ouvert qui les joint passe par ${\displaystyle c}$ qui est dans ${\displaystyle F_{2}}$. Comme ${\displaystyle F_{2}}$ est une face, les extrémités de ce segment sont aussi dans ${\displaystyle F_{2}}$ et ${\displaystyle u}$ appartient bien à la direction de ${\displaystyle G_{2}}$. En échangeant les rôles de ${\displaystyle G_{1}}$ et ${\displaystyle G_{2}}$ on prouve l'égalité. Une fois cette étape passée, en reprenant le même argument qu'à la troisième proposition, on vérifie que ${\displaystyle F_{1}=G_{1}\cap C}$, et de même pour ${\displaystyle F_{2}}$. Ceci prouve que ${\displaystyle F_{1}=F_{2}}$ et a fortiori que les intérieurs relatifs de ces deux faces sont égaux.