Point singulier d'une courbe

Les courbes algébriques planes peuvent être définies comme étant un ensemble de points ${\displaystyle (x,y)}$ qui satisfont une équation de la forme :

${\displaystyle f(x,y)=0,}$

où ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }$ est une fonction polynomiale .

Si ${\displaystyle f}$ est développée sous la forme :

${\displaystyle f=a_{0}+b_{0}x+b_{1}y+c_{0}x^{2}+2c_{1}xy+c_{2}y^{2}+\dots \,}$

et si l'origine (0, 0) est sur la courbe, alors ${\displaystyle a_{0}=0}$.

Si ${\displaystyle b_{1}\neq 0}$, alors le théorème des fonctions implicites garantit qu'il existe une fonction lisse ${\displaystyle h}$ telle que la courbe soit de la forme ${\displaystyle y=h(x)}$ près de l'origine. De même, si ${\displaystyle b_{0}\neq 0}$, alors il existe une fonction lisse ${\displaystyle k}$ telle que la courbe soit de la forme ${\displaystyle x=k(y)}$ près de l'origine.

Dans les deux cas, il existe une fonction lisse sur ${\displaystyle \mathbb {R} }$ qui définit la courbe au voisinage de l'origine. Remarquons qu'à l'origine,

${\displaystyle b_{0}={\partial f \over \partial x},\,b_{1}={\partial f \over \partial y},}$

en sorte que la courbe est non singulière à l'origine si au moins l'une des dérivées partielles de ${\displaystyle f}$ est non nulle en ce point. Plus généralement, les points singuliers sont les points sur la courbe où les deux dérivées partielles sont nulles :

${\displaystyle f(x,y)={\partial f \over \partial x}={\partial f \over \partial y}=0.}$

, dont une référence était (en) Harold Hilton, Plane Algebraic Curves, Oxford, 1920 (lire en ligne), « Chapter II: Singular Points ».

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