Polynôme de Bell

Par exemple, nous avons :

${\displaystyle B_{6,2}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5})=6x_{5}x_{1}+15x_{4}x_{2}+10x_{3}^{2}}$

car il y a :

• 6 partitions d'un ensemble à 6 éléments de la forme 5 + 1 ;
• 15 partitions de la forme 4 + 2 ;
• 10 partitions de la forme 3 + 3.

De même :

${\displaystyle B_{6,3}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})=15x_{4}x_{1}^{2}+60x_{3}x_{2}x_{1}+15x_{2}^{3}}$

car il y a :

• 15 partitions d'un ensemble à 6 éléments de la forme 4 + 1 + 1 ;
• 60 partitions de la forme 3 + 2 + 1 ;
• 15 partitions de la forme 2 + 2 + 2.

${\displaystyle B_{n+1}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n+1})=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}B_{n-k}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n-k})\,x_{k+1}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}B_{k}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{k})\,x_{n-k+1}}$

avec B₀ = 1.

${\displaystyle B_{n,k}(1,1,\dots ,1)={\begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix}}}$

${\displaystyle B_{n}(1,1,\dots ,1)=B_{n}}$

${\displaystyle B_{n,k}(0!,1!,\dots ,(n-k)!)={\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle B_{n,k}(1!,2!,\dots ,(n-k+1)!)=\left\lfloor {\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\rfloor }$

${\displaystyle B_{n}(0,1,\dots ,n-1)=(n-1)!}$ pour n ≥ 1.

${\displaystyle B_{n}(0!,1!,\dots ,(n-1)!)=n!}$

${\displaystyle B_{n}(-0!,-1!,\dots ,-(n-1)!)=0}$

• ${\displaystyle B_{n,1}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=x_{n}}$
• ${\displaystyle \forall k>1,B_{n,k}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n-k+1},x_{n-k+2},\dots ,x_{n})=B_{n,k}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n-k+1})=B_{n,k}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n-k+1},0,\dots ,0)}$
• ${\displaystyle B_{n}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n-1},x_{n})=B_{n}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n-1},0)+x_{n}}$

${\displaystyle B_{n}(x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2},\dots ,x_{n}+y_{n})=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}B_{n-k}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n-k})B_{k}(y_{1},y_{2},\dots ,y_{k})}$

avec B₀ = 1.

Soit f une fonction infiniment dérivable en un point a et de réciproque f ^-1, alors :

${\displaystyle y_{n}=\sum _{k=1}^{n}[f]_{x=a}^{(k)}B_{n,k}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n-k+1})\Leftrightarrow x_{n}=\sum _{k=1}^{n}[f^{-1}]_{x=f(a)}^{(k)}B_{n,k}(y_{1},y_{2},\dots ,y_{n-k+1})}$[1]

En prenant f (x) = e^x (soit f ^–1(x) = ln(x)) infiniment dérivable en 0, on a :

• ${\displaystyle [f]_{x=0}^{(k)}=1}$
• ${\displaystyle [f^{-1}]_{x=f(0)}^{(k)}=(-1)^{k-1}(k-1)!}$

d’où :

${\displaystyle y_{n}=\sum _{k=1}^{n}B_{n,k}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n-k+1})\Leftrightarrow x_{n}=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}(k-1)!B_{n,k}(y_{1},y_{2},\dots ,y_{n-k+1})}$

soit :

${\displaystyle x_{n}=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}(k-1)!B_{n,k}[B_{1}(x_{1}),B_{2}(x_{1},x_{2}),\dots ,B_{n-k+1}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n-k+1})]}$

En prenant f (x) = x^α avec α ≠ 0 (soit f ^–1(x) = x^1/α) infiniment dérivable en 1, on a :

• ${\displaystyle [f]_{x=1}^{(k)}=\alpha ^{\underline {k}}}$
• ${\displaystyle [f^{-1}]_{x=f(1)}^{(k)}=\left({\frac {1}{\alpha }}\right)^{\underline {k}}}$

avec .^k la factorielle décroissante, d’où :

${\displaystyle y_{n}=\sum _{k=1}^{n}\alpha ^{\underline {k}}B_{n,k}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n-k+1})\Leftrightarrow x_{n}=\sum _{k=1}^{n}\left({\frac {1}{\alpha }}\right)^{\underline {k}}B_{n,k}(y_{1},y_{2},\dots ,y_{n-k+1})}$

${\displaystyle \forall (a,b)\in \mathbb {N} ^{2},\sum _{k=1}^{n}a^{\underline {k}}B_{n,k}(b^{\underline {1}},b^{\underline {2}},\dots ,b^{\underline {n}})=(ab)^{\underline {k}}}$[2]

avec .^k la factorielle décroissante.

Cas général

${\displaystyle B_{n,k}(\alpha \beta x_{1},\alpha \beta ^{2}x_{2},\dots ,\alpha \beta ^{n-k+1}x_{n-k+1})=\alpha ^{k}\beta ^{n}B_{n,k}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n-k+1})}$

Cas particuliers

${\displaystyle B_{n,k}(\alpha x_{1},\alpha x_{2},\dots ,\alpha x_{n-k+1})=\alpha ^{k}B_{n,k}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n-k+1})}$

${\displaystyle B_{n,k}(\alpha x_{1},\alpha ^{2}x_{2},\dots ,\alpha ^{n-k+1}x_{n-k+1})=\alpha ^{n}B_{n,k}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n-k+1})}$

Cas général

${\displaystyle B_{n}(\alpha \beta x_{1},\alpha \beta ^{2}x_{2},\dots ,\alpha \beta ^{n}x_{n})=\beta ^{n}\sum _{k=1}^{n}\alpha ^{k}B_{n,k}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n-k+1})}$

Cas particuliers

${\displaystyle B_{n}(\alpha x_{1},\alpha x_{2},\dots ,\alpha x_{n})=\sum _{k=1}^{n}\alpha ^{k}B_{n,k}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n-k+1})}$

${\displaystyle B_{n}(\alpha x_{1},\alpha ^{2}x_{2},\dots ,\alpha ^{n}x_{n})=\alpha ^{n}B_{n}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})}$

Autre expression

${\displaystyle B_{n}(\alpha x_{1},\alpha x_{2},\dots ,\alpha x_{n})=\sum _{k=1}^{n}\alpha ^{\underline {k}}B_{n,k}[B_{1}(x_{1}),B_{2}(x_{1},x_{2}),\dots ,B_{n-k+1}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n-k+1})]}$

avec .^k la factorielle décroissante.

Pour des suites x_n, y_n, n = 1, 2, …, on peut définir un produit de convolution par :

${\displaystyle (x\diamondsuit y)_{n}=\sum _{j=1}^{n-1}{n \choose j}x_{j}y_{n-j}}$

(les bornes de sommation étant 1 et n − 1, et non 0 et n).

Soit ${\displaystyle x_{n}^{k\diamondsuit }}$ le n-ème terme de la suite ${\displaystyle \displaystyle \underbrace {x\diamondsuit \cdots \diamondsuit x} _{k\ \mathrm {facteurs} }}$

Alors :

${\displaystyle B_{n,k}(x_{1},\dots ,x_{n-k+1})={x_{n}^{k\diamondsuit } \over k!}}$

La formule de Faà di Bruno peut être énoncée à l'aide des polynômes de Bell de la manière suivante :

${\displaystyle {d^{n} \over dx^{n}}f(g(x))=\sum _{k=1}^{n}f^{(k)}(g(x))B_{n,k}\left(g'(x),g''(x),\dots ,g^{(n-k+1)}(x)\right)}$

De même, on peut donner une version de cette formule concernant les séries formelles : supposons que

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{a_{n} \over n!}x^{n}}$ et ${\displaystyle g(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{b_{n} \over n!}x^{n}}$

Alors :

${\displaystyle g(f(x))=\sum _{n=1}^{\infty }{\sum _{k=1}^{n}b_{k}B_{n,k}(a_{1},\dots ,a_{n-k+1}) \over n!}x^{n}}$

Les polynômes de Bell complets apparaissent dans l’exponentielle d’une série formelle (en) :

${\displaystyle \exp \left(\sum _{n=1}^{\infty }{a_{n} \over n!}x^{n}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{B_{n}(a_{1},\dots ,a_{n}) \over n!}x^{n}}$

Pour une variable aléatoire réelle dont le moment d’ordre r existe, on a :

${\displaystyle m_{r}=B_{r}(\kappa _{1},\kappa _{2},\dots ,\kappa _{r})}$

avec m_r le moment ordinaire d’ordre r et κ₁, κ₂, …, κ_r les cumulants d’ordre 1 à r.

Pour toute suite a₁, a₂, a₃, … de scalaires, soit :

${\displaystyle p_{n}(x)=\sum _{k=1}^{n}B_{n,k}(a_{1},\dots ,a_{n-k+1})x^{k}}$

Cette suite de polynômes est de type binomial (en), c'est-à-dire qu'elle satisfait l'identité binomiale suivante :

${\displaystyle p_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}p_{k}(x)p_{n-k}(y)}$

pour n ≥ 0.

En fait, on a également la réciproque :

Théorème

Toutes les suites de polynômes de type binomial peuvent s’exprimer sous la forme faisant intervenir les polynômes de Bell.

Si nous posons

${\displaystyle h(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{a_{n} \over n!}x^{n}}$

en considérant cette série comme une série formelle, alors pour tout n :

${\displaystyle h^{-1}\left({d \over dx}\right)p_{n}(x)=np_{n-1}(x)}$