Polynôme de Bernstein-Sato

En mathématiques, le polynôme de Bernstein-Sato est une construction mathématique qui facilite l'étude de certaines intégrales ou opérateurs différentiels[1]^,[2]. Il tient son nom des mathématiciens Joseph Bernstein et Mikio Satō, qui l'ont découvert en 1971 et 1972[3]^,[4]. Ce polynôme joue un rôle important dans l'étude des équations aux dérivées partielles et est intimement lié à la construction des D-modules[5]. Enfin, il permet de démontrer la régularité de certaines constructions de physique quantique des champs[6]^,[7].

Histoire

L'introduction des polynômes de Bernstein-Sato était initialement motivée par un problème posé par Israel Gelfand au congrès international des mathématiciens de 1954, à Amsterdam : si $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ est une fonction analytique réelle, alors on peut construire pour tout complexe $s$ l'objet $f_{+}^{s}(x)={\boldsymbol {1}}_{f(x)>0}f(x)^{s}$ . En tant que fonction, $f_{+}^{s}$ est continue selon $x$ et analytique en $s$ , là où $s$ est de partie réelle positive. Gelfand demande alors : peut-on prolonger analytiquement $f_{+}^{s}$ à tout le plan complexe ?

C'est pour répondre à cette question que Sato a introduit le polynôme $b$ , dont Bernstein a montré l'existence en général[8].

La construction a depuis été étendue à des variétés algébriques générales[9] et plusieurs algorithmes sont connus pour déterminer les polynômes de Bernstein-Sato dans des cas d'intérêt[10]^,[11].

Définition

Fibration de Bernstein

On se place dans l'algèbre de Weyl $A_{n}(k)$ , la sous-algèbre de $\operatorname {Hom} _{k}(k[x_{1},\dotsc ,x_{n}])$ engendrée par $x_{1},\dotsc ,x_{n},\partial _{1},\dotsc ,\partial _{n}$ , où $\partial _{i}$ est la dérivation par rapport à $x_{i}$ . On utilise la notation multi-indicielle $x^{\boldsymbol {\alpha }}=x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots x_{n}^{\alpha _{n}}$ et $\partial ^{\boldsymbol {\beta }}=\partial _{1}^{\beta _{1}}\cdots \partial _{n}^{\beta _{n}}$ . Alors la famille $\{x^{\boldsymbol {\alpha }}\partial ^{\boldsymbol {\beta }}\}$ est une base de $A_{n}(k)$ . On définit alors la fibration de Bernstein ${\mathcal {F}}$ par :

F_{i}=\left\{\sum _{{\boldsymbol {\alpha }},{\boldsymbol {\beta }}}a_{{\boldsymbol {\alpha }},{\boldsymbol {\beta }}}x^{\boldsymbol {\alpha }}\partial ^{\boldsymbol {\beta }}\colon |{\boldsymbol {\alpha }}|+|{\boldsymbol {\beta }}|\leq i\right\}.

L'anneau gradué associé est commutatif, et isomorphe à un anneau de polynômes sur $k$ donc noethérien.

Polynôme de Bernstein-Sato

Soit $\lambda$ une indéterminée formelle, et $P\in k[x]$ un polynôme non nul. Alors il existe un polynôme non nul $b\in k[\lambda ]$ et un élément $Q(\lambda ,x,\partial )\in A_{n}(k)[\lambda ]$ tels que l'égalité suivante est vérifiée : $b(\lambda )P^{\lambda }=Q(\lambda ,x,\partial )\cdot P^{\lambda +1}$ .

L'ensemble des $b(\lambda )$ qui satisfont cette égalité forme un idéal de $k[\lambda ]$ ; cet idéal est principal et possède un générateur $b_{0}$ , qui est appelé polynôme de Bernstein-Sato du polynôme $P$ .

Exemples

Considérons le polynôme $P=x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}$ (qui correspond au calcul du carré de la norme euclidienne). On a $\Delta P(x)^{\lambda +1}=4(\lambda +1)(\lambda +n/2)P(x)^{\lambda }$ de sorte que le polynôme de Bernstein-Sato de $P$ est $(\lambda +1)(\lambda +n/2)$ .
Considérons l'intégrale $\Gamma _{f}(\lambda )=\int _{\mathbb {R} }x^{2\lambda }f(x)\,\mathrm {d} x$ , avec $f$ une fonction $C^{\infty }$ qui s'annule aux infinis. En intégrant par parties, on obtient $(2\lambda +1)(2\lambda +2)\int x^{2\lambda }f(x)\,\mathrm {d} x=\int x^{2\lambda +1}f''(x)\,\mathrm {d} x$ qui montre notamment que $\Gamma _{f}$ est une intégrale bien définie et holomorphe (pour $\operatorname {Re} \lambda >0$ ) et qu'elle admet un prolongement méromorphe à $\mathbb {C}$ , avec des pôles dans $-{\frac {1}{2}}\mathbb {N}$ . On reconnaît en fait la présence du polynôme de Bernstein-Sato de $x^{2}$ calculé précédemment : $(\lambda +1)(\lambda +1/2)$ .
Il s'agit d'un phénomène général : l'intégrale de l'exemple précédent, où $x^{2}$ est remplacé par un polynôme quelconque, donne lieu à une équation fonctionnelle similaire. Elle sera donc prolongeable au plan complexe de manière méromorphe, et les pôles correspondent aux zéros du polynôme de Bernstein-Sato moins un entier.
Soit $P=x_{1}^{2}+x_{2}^{3}$ , alors le polynôme de Bernstein-Sato correspondant est $(\lambda +1)\left(\lambda +{\frac {5}{6}}\right)\left(\lambda +{\frac {7}{6}}\right)$ .

Propriétés

Tous les polynômes de Bernstein sont scindés sur $\mathbb {Q}$ [12].
Le polynôme de Bernstein-Sato montre qu'un polynôme peut être inversé par une distribution tempérée, d'où on tire le théorème de Malgrange-Ehrenpreis.

Notes et références

(en) Coutinho, S. C., A primer of algebraic D-modules, Cambridge University Press, 1995 (ISBN 0-521-55908-1, OCLC 831664169, lire en ligne)
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[1] (en) Coutinho, S. C., A primer of algebraic D-modules, Cambridge University Press, 1995 (ISBN 0-521-55908-1, OCLC 831664169, lire en ligne)

[2] (en) Kashiwara, Masaki, 1947-, D-modules and microlocal calculus, American Mathematical Society, 2003, 254 p. (ISBN 978-0-8218-2766-6, OCLC 50773693, lire en ligne)

[3] (en) J. Bernstein, « Modules over a ring of differential operators. Study of the fundamental solutions of equations with constant coefficients », Functional Analysis and Its Applications, vol. 5, n^o 2,‎ 1^er avril 1971, p. 89–101 (ISSN 0016-2663 et 1573-8485, DOI 10.1007/bf01076413, lire en ligne, consulté le 12 mars 2018)

[4] (en) M. Sato et T. Shintani, « On Zeta Functions Associated with Prehomogeneous Vector Spaces », Proceedings of the National Academy of Sciences, vol. 69, n^o 5,‎ 1972, p. 1081–1082 (DOI 10.1073/pnas.69.5.1081, lire en ligne, consulté le 12 mars 2018)

[5] (en) Armand Borel, Algebraic D-modules, Academic Press, 1987 (ISBN 978-0-12-117740-9, OCLC 14904496, lire en ligne)

[6] Pavel Etingof, Quantum fields and strings : a course for mathematicians : Note on dimensional regularization, American Mathematical Society, 1999, 723 p. (ISBN 978-0-8218-2012-4, OCLC 278001702, lire en ligne)

[7] (en) Fyodor Tkachov, « Algebraic algorithms for multiloop calculations The first 15 years. What's next? », Nuclear Instruments and Methods in Physics Research Section A: Accelerators, Spectrometers, Detectors and Associated Equipment, vol. 389, n^os 1-2,‎ 1997, p. 309–313 (DOI 10.1016/s0168-9002(97)00110-1, lire en ligne, consulté le 12 mars 2018)

[8] (en) David Eisenbud, Srikanth B. Iyengar, Anurag K. Singh, J. Toby Stafford, et Michel Van den Bergh, Commutative algebra and noncommutative algebraic geometry, Cambridge University Press, 2013, 451 p. (ISBN 978-1-107-06562-8, OCLC 930068108, lire en ligne), p. 394

[9] (en) Nero Budur, Mircea Mustaţa et Morihiko Saito, « Bernstein–Sato polynomials of arbitrary varieties », Compositio Mathematica, vol. 142, n^o 3,‎ mai 2006, p. 779–797 (ISSN 1570-5846 et 0010-437X, DOI 10.1112/s0010437x06002193, lire en ligne, consulté le 12 mars 2018)

[10] Daniel Andres, Viktor Levandovskyy et Jorge Martín Morales, « Principal intersection and bernstein-sato polynomial of an affine variety », arXiv, ACM,‎ 28 juillet 2009, p. 231–238 (ISBN 9781605586090, DOI 10.1145/1576702.1576735, lire en ligne, consulté le 12 mars 2018)

[11] (en) Christine Berkesch et Anton Leykin, « Algorithms for Bernstein-Sato polynomials and multiplier ideals », arXiv:1002.1475 [math],‎ 7 février 2010 (lire en ligne, consulté le 12 mars 2018)

[12] (en) Masaki Kashiwara, « B-functions and holonomic systems », Inventiones mathematicae, vol. 38, n^o 1,‎ 1^er février 1976, p. 33–53 (ISSN 0020-9910 et 1432-1297, DOI 10.1007/BF01390168, lire en ligne, consulté le 12 mars 2018)