Polynôme d'Hermite

En mathématiques, les polynômes d'Hermite sont une suite de polynômes qui a été nommée ainsi en l'honneur de Charles Hermite (bien qu'ils aient surtout été étudiés par Joseph-Louis Lagrange lors de ses travaux sur les probabilités puis en détail par Pafnouti Tchebychev six ans avant Hermite[1]). Ils sont parfois décrits comme des polynômes osculateurs.

Définition

Les polynômes d'Hermite sont définis comme suit :

H_{n}(x)=(-1)^{n}\mathrm {e} ^{x^{2}/2}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}\mathrm {e} ^{-x^{2}/2}

(forme dite probabiliste)

{\widehat {H}}_{n}(x)=(-1)^{n}\mathrm {e} ^{x^{2}}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}\mathrm {e} ^{-x^{2}}

(forme dite physique)

Les deux définitions sont liées par la propriété d'échelle suivante : ${\widehat {H}}_{n}(x)=2^{n/2}H_{n}\left(x\,{\sqrt {2}}\right)\,\!$ .

Ils peuvent également s'écrire sous forme de développement polynomial[2] :

H_{n}(x)=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }(-1)^{k}{\dfrac {n!}{2^{k}k!(n-2k)!}}x^{n-2k}

{\widehat {H}}_{n}(x)=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }(-1)^{k}{\dfrac {n!}{k!(n-2k)!}}(2x)^{n-2k}

où $\lfloor n/2\rfloor$ désigne la partie entière de $n /2$ .

Polynômes d'Hermite

Les premiers polynômes d'Hermite sont les suivants :

H_{0}=1~

H_{1}=X~

H_{2}=X^{2}-1~

H_{3}=X^{3}-3X~

H_{4}=X^{4}-6X^{2}+3~

H_{5}=X^{5}-10X^{3}+15X~

H_{6}=X^{6}-15X^{4}+45X^{2}-15~

{\widehat {H}}_{0}=1~

{\widehat {H}}_{1}=2X~

{\widehat {H}}_{2}=4X^{2}-2~

{\widehat {H}}_{3}=8X^{3}-12X~

{\widehat {H}}_{4}=16X^{4}-48X^{2}+12~

{\widehat {H}}_{5}=32X^{5}-160X^{3}+120X~

{\widehat {H}}_{6}=64X^{6}-480X^{4}+720X^{2}-120~

On peut démontrer que dans $H p$ les coefficients d'ordre ayant la même parité que $p -1$ sont nuls et que les coefficients d'ordre $p$ et $p -2$ valent respectivement 1 et ^-p(p-1)⁄₂.

Propriétés

Orthogonalité

Le polynôme $H p$ est de degré $p$ . Ces polynômes sont orthogonaux pour la mesure $μ$ de densité

{\frac {\mathrm {d} \mu (x)}{\mathrm {d} x}}={\frac {{\rm {e}}^{-x^{2}/2}}{\sqrt {2\pi }}},

c'est-à-dire qu'ils vérifient :

\int _{-\infty }^{+\infty }H_{n}(x)H_{m}(x)\,{\rm {e}}^{-x^{2}/2}\,\mathrm {d} x=n!{\sqrt {2\pi }}~\delta _{n,m}

où $\delta _{n,m}$ est le symbole de Kronecker. On a de même pour la forme physique :

\int _{-\infty }^{+\infty }{\widehat {H}}_{n}(x){\widehat {H}}_{m}(x)\,{\rm {e}}^{-x^{2}}\,\mathrm {d} x=2^{n}n!{\sqrt {\pi }}~\delta _{n,m}.

Démonstration

On suppose $m \geq n$ . On obtient le résultat par $n$ intégrations par parties (en utilisant, pour chacune, la nullité en $\pm\infty$ d'un polynôme multiplié par ${\rm {e}}^{-x^{2}/2}$ ) :

{\begin{aligned}\int _{-\infty }^{+\infty }H_{n}(x)H_{m}(x)\,{\rm {e}}^{-x^{2}/2}\,\mathrm {d} x&=(-1)^{m}\int _{-\infty }^{+\infty }\left({\frac {\mathrm {d} ^{m}}{\mathrm {d} x^{m}}}{\rm {e}}^{-x^{2}/2}\right)H_{n}(x)\,\mathrm {d} x\\&=(-1)^{m-n}\int _{-\infty }^{+\infty }\left({\frac {\mathrm {d} ^{m-n}}{\mathrm {d} x^{m-n}}}{\rm {e}}^{-x^{2}/2}\right)H_{n}^{(n)}(x)\,\mathrm {d} x\\&=(-1)^{m-n}n!\,\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\mathrm {d} ^{m-n}}{\mathrm {d} x^{m-n}}}{\rm {e}}^{-x^{2}/2}\,\mathrm {d} x\\&={\begin{cases}{\text{si }}m>n~:&0\\{\text{si }}m=n~:&n!\,\int _{-\infty }^{+\infty }{\rm {e}}^{-x^{2}/2}\,\mathrm {d} x=n!\,{\sqrt {2\pi }}.\end{cases}}\end{aligned}}

Le résultat pour la forme physique s'obtient par un changement de variables.

Ces fonctions forment donc une base orthogonale de l'espace de Hilbert $L^{2}(\mathbb {R} ,\mu )$ des fonctions boréliennes telles que

\int _{-\infty }^{+\infty }|f(x)|^{2}\,{\frac {{\rm {e}}^{-x^{2}/2}}{\sqrt {2\pi }}}\,\mathrm {d} x<+\infty

dans lequel le produit scalaire est donné par l'intégrale

\langle f,g\rangle =\int _{-\infty }^{+\infty }f(x){\overline {g(x)}}\,{\frac {{\rm {e}}^{-x^{2}/2}}{\sqrt {2\pi }}}\,\mathrm {d} x.\,

Des propriétés analogues sont vérifiables pour les polynômes d'Hermite sous leur forme physique.

Propriétés de récurrence

Le $n$ -ième polynôme d'Hermite satisfait l'équation différentielle suivante (dans ses deux versions probabiliste ou physique) :

H_{n}''(x)-xH_{n}'(x)+nH_{n}(x)=0,\,

{\widehat {H}}_{n}''(x)-2x{\widehat {H}}_{n}'(x)+2n{\widehat {H}}_{n}(x)=0.\,

Les polynômes d'Hermite vérifient également la relation de récurrence suivante :

H_{n+1}(x)=xH_{n}(x)-nH_{n-1}(x),\,

{\widehat {H}}_{n+1}(x)=2x{\widehat {H}}_{n}(x)-2n{\widehat {H}}_{n-1}(x).\,

En outre, ils satisfont la propriété :

H_{n}'(x)=nH_{n-1}(x),\,

{\widehat {H}}_{n}'(x)=2n{\widehat {H}}_{n-1}(x).\,

Démonstration

On fait la démonstration avec la forme physique. D'après la formule de Leibniz :

{\frac {{\rm {d}}^{n+1}}{{\rm {d}}x^{n+1}}}e^{-x^{2}}={\frac {{\rm {d}}^{n}}{{\rm {d}}x^{n}}}\left(-2xe^{-x^{2}}\right)=-2x{\frac {{\rm {d}}^{n}}{{\rm {d}}x^{n}}}e^{-x^{2}}-2n{\frac {{\rm {d}}^{n-1}}{{\rm {d}}x^{n-1}}}e^{-x^{2}}

ce qui, multiplié par le facteur gaussien, donne :

{\widehat {H}}_{n+1}(x)=2x{\widehat {H}}_{n}-2n{\widehat {H}}_{n-1}

Ce qui est une des propriétés de récurrence recherchées.

On dérive ensuite l'expression ${\widehat {H}}_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {{\rm {d}}^{n}}{{\rm {d}}x^{n}}}e^{-x^{2}}$ , ce qui donne :

{\widehat {H}}_{n+1}(x)=2x{\widehat {H}}_{n}-{\widehat {H}}'_{n}

De ce qui précède, on tire ${\widehat {H}}_{n}'(x)=2n{\widehat {H}}_{n-1}(x)$ , ce qui nous permet enfin de passer la propriété de récurrence déjà trouvée à l'autre.

Le résultat pour la forme mathématique s'obtient par un changement de variables.

Un développement de Taylor à l'ordre $n$ de $H_{n}$ autour de $x$ donne les formules suivantes :

H_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k}H_{n-k}(y)

{\widehat {H}}_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}(2x)^{k}{\widehat {H}}_{n-k}(y)

Fonctions d'Hermite-Gauss

Les polynômes d'Hermite interviennent dans la définition des fonctions d'Hermite-Gauss, utiles en physique quantique ou en optique :

\psi _{n}(x)=c_{n}{\widehat {H}}_{n}(x)e^{-x^{2}/2}

et la formule d'orthogonalité des polynômes d'Hermite pour la mesure $\mu$ (démontrée plus haut) nous assure que, en prenant $c_{n}=(2^{n}n!{\sqrt {\pi }})^{-1/2}$ , les fonctions d'Hermite-Gauss sont orthogonales entre elles et de norme 1 dans $L^{2}(\mathbb {R} ,dx)$ :

\int _{-\infty }^{+\infty }\psi _{n}(x)\psi _{m}(x)\,\mathrm {d} x=\delta _{nm}

La famille des fonctions $\psi _{n}$ est utilisée en physique quantique comme étant la famille des fonctions d'onde des états propres de l'oscillateur harmonique quantique.

Les fonctions d'Hermite vérifient l'équation différentielle $\psi _{n}''(x)+(2n+1-x^{2})\psi _{n}(x)=0$ , et elles héritent des polynômes d'Hermite les propriétés de récurrence : $\psi _{n}'(x)={\sqrt {n/2}}~\psi _{n-1}(x)-{\sqrt {(n+1)/2}}~\psi _{n+1}(x)$ ainsi que $x\;\psi _{n}(x)={\sqrt {n/2}}~\psi _{n-1}(x)+{\sqrt {(n+1)/2}}~\psi _{n+1}(x)$ .

Enfin, cette famille de fonctions présente un autre intérêt majeur dans le cadre de l'analyse de Fourier : en notant ${\mathcal {F}}$ la transformation de Fourier (avec la convention ${\mathcal {F}}[g](\omega )=1/{\sqrt {2\pi }}\int \,g(t)e^{i\omega t}dt$ ), elle forme une base hilbertienne de ${\rm {L}}^{2}(\mathbb {R} )$ formée de vecteurs propres de ${\mathcal {F}}$ :

{\mathcal {F}}[\psi _{n}]=i^{n}\,\psi _{n}

On notera que cette formule n'est exacte qu'en prenant le polynôme d'Hermite sous sa forme physique, et avec la convention de transformation de Fourier explicitée ci-dessus. En utilisant une autre convention, les valeurs propres changent : par exemple avec ${\mathcal {F}}_{bis}[g](\omega )=\int \,g(t)e^{-i\omega t}dt$ on obtiendra ${\mathcal {F}}_{bis}[\psi _{n}]={\sqrt {2\pi }}(-i)^{n}\,\psi _{n}$ . La forme fréquentielle de la transformée de Fourier ${\mathcal {F}}_{freq}[g](f)=\int \,g(t)e^{-2i\pi ft}dt$ sera plus volontiers diagonalisable avec des fonctions légèrement modifiées, $\phi _{n}(x)=2^{1/4}({\sqrt {n!}})^{-1/2}\,{\rm {e}}^{-\pi x^{2}}H_{n}(2x{\sqrt {\pi }})=(2\pi )^{1/4}\psi ({\sqrt {2\pi }}x)$ , pour lesquelles on aura ${\mathcal {F}}_{freq}[\phi _{n}]=(-i)^{n}\,\phi _{n}$ .

Notes et références

P. L. Chebyshev, « Sur le développement des fonctions à une seule variable » [« On the development of single-variable functions »], Bull. Acad. Sci. St. Petersb., vol. 1,‎ 1859, p. 193–200 Collected in Œuvres I, 501–508.
(en) Bibhuti Bhusan Saha, « On a generating function of Hermite polynomials », Yokohama Mathematical Journal,‎ 1969, p. 73-76 (lire en ligne)

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[1] P. L. Chebyshev, « Sur le développement des fonctions à une seule variable » [« On the development of single-variable functions »], Bull. Acad. Sci. St. Petersb., vol. 1,‎ 1859, p. 193–200 Collected in Œuvres I, 501–508.

[2] (en) Bibhuti Bhusan Saha, « On a generating function of Hermite polynomials », Yokohama Mathematical Journal,‎ 1969, p. 73-76 (lire en ligne)