Polynôme de Tchebychev

Courbes représentatives des premiers polynômes de Tchebychev de première espèce sur le domaine −1 < x < 1 : La fonction constante T₀ et T₁, T₂, T₃, T₄ et T₅.

La définition classique des polynômes de Tchebychev de première espèce est le plus souvent donnée par la relation de récurrence suivante :

${\displaystyle T_{n+1}=2XT_{n}-T_{n-1},\ \ \forall n\geq 1,\ {\textrm {avec}}\ T_{0}=1\ {\textrm {et}}\ T_{1}=X}$.

Par récurrence, T_n est un polynôme de degré n.

Les premiers polynômes de Tchebychev de première espèce sont :

${\displaystyle T_{0}=1}$

${\displaystyle T_{1}=X}$

${\displaystyle T_{2}=2X^{2}-1}$

${\displaystyle T_{3}=4X^{3}-3X}$

${\displaystyle T_{4}=8X^{4}-8X^{2}+1}$

${\displaystyle T_{5}=16X^{5}-20X^{3}+5X}$

${\displaystyle T_{6}=32X^{6}-48X^{4}+18X^{2}-1}$

${\displaystyle T_{7}=64X^{7}-112X^{5}+56X^{3}-7X}$

${\displaystyle T_{8}=128X^{8}-256X^{6}+160X^{4}-32X^{2}+1}$

${\displaystyle T_{9}=256X^{9}-576X^{7}+432X^{5}-120X^{3}+9X}$.

On démontre que pour tout entier naturel n,

${\displaystyle \forall \theta \in \mathbb {R} \quad \cos(n\theta )=T_{n}(\cos \theta )}$,

ce qui peut servir de définition alternative des polynômes T_n, vus comme fonctions polynomiales définies sur l'intervalle réel [–1, 1].

L'une des démonstrations[N 1] se fait par récurrence d'ordre 2, à l'aide de l'identité trigonométrique de Simpson suivante :

${\displaystyle \cos(a+b)+\cos(a-b)=2\cos a\cos b}$.

Le caractère orthogonal des polynômes T_n découle alors directement de celui des fonctions cos(nθ). Plus précisément, cette formule de Simpson montre de plus que les polynômes T_n sont orthogonaux par rapport à la fonction poids ${\displaystyle w(x)=\left(1-x^{2}\right)^{-{\tfrac {1}{2}}}}$. En effet, pour deux entiers naturels n et p et avec le changement de variable x = cos θ, il vient

${\displaystyle \int _{0}^{\pi }{\cos(n\theta )\cos(p\theta )\,\mathrm {d} \theta }=\int _{-1}^{+1}{T_{n}(x)T_{p}(x)\left(1-x^{2}\right)^{-1/2}\,\mathrm {d} x}}$

Puis, à l'aide de la formule de Simpson :

${\displaystyle \int _{-1}^{+1}{T_{n}(x)T_{p}(x)\left(1-x^{2}\right)^{-1/2}\,\mathrm {d} x}=\int _{0}^{\pi }{{\tfrac {\cos((n+p)\theta )+\cos((n-p)\theta )}{2}}\,\mathrm {d} \theta }={\begin{cases}0&{\text{si }}n\neq p\\\pi &{\text{si }}n=p=0\\\pi /2&{\text{si }}n=p\neq 0\end{cases}}}$.

Pour tout n, la fonction ${\displaystyle \theta \mapsto \cos(n\theta )=T_{n}(\cos \theta )}$ est solution de l'équation différentielle linéaire homogène d'ordre 2 à coefficients constants[N 2] :

${\displaystyle y''+n^{2}y=0}$.

Par suite, les polynômes de Tchebychev sont solutions de l'équation différentielle formelle[N 3] :

${\displaystyle \left(1-X^{2}\right)T''_{n}-XT'_{n}+n^{2}T_{n}=0}$.

Celle-ci peut aussi se mettre sous la forme d'une équation différentielle de Sturm-Liouville[N 4] :

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(\left(1-x^{2}\right)^{\tfrac {1}{2}}{\frac {\mathrm {d} T_{n}}{\mathrm {d} x}}\right)+n^{2}\left(1-x^{2}\right)^{-{\tfrac {1}{2}}}T_{n}=0}$.

• Pour tout entier naturel n,${\displaystyle T_{n}=\sum _{k=0}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }{\binom {n}{2k}}(X^{2}-1)^{k}X^{n-2k}}$où ${\displaystyle {\binom {n}{2k}}}$ est un coefficient binomial et ${\displaystyle \left\lfloor \cdot \right\rfloor }$ note la partie entière.
• Pour tout entier n strictement positif,

${\displaystyle T_{n}={\frac {n}{2}}\sum _{k=0}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }(-1)^{k}{\frac {(n-k-1)!}{k!(n-2k)!}}(2X)^{n-2k}}$.

• Pour tout entier naturel n,${\displaystyle T_{n}(1)=1}$.

Cette propriété se démontre aisément en considérant la forme trigonométrique de T_n, le cas x = 1 correspondant à θ = 0. On a aussi ${\displaystyle T_{n}(-1)=(-1)^{n}}$, qui découle de la symétrie ${\displaystyle T_{n}(-x)=(-1)^{n}T_{n}(x)}$.

• Quels que soient les entiers naturels m et n,${\displaystyle T_{n}\circ T_{m}=T_{mn}}$ et ${\displaystyle 2T_{m}T_{n}=T_{m+n}+T_{|m-n|}}$.
• Pour tout entier n strictement positif, le coefficient dominant de T_n est 2^n–1 et ses n racines sont

${\displaystyle a_{k}^{(n)}=\cos \left({\frac {(2k-1)\pi }{2n}}\right),\quad \forall k\in \{1,\ldots ,n\}}$.

• Pour tout entier n > 0, les extremums de T_n sur l'intervalle [–1, 1] sont atteints en${\displaystyle e_{k}^{(n)}=\cos {\frac {k\pi }{n}},\quad \forall k\in \{0,\ldots ,n\}}$

(ce sont –1, 1 et les racines de U_n–1), et ${\displaystyle T_{n}(e_{k}^{(n)})=(-1)^{k}}$.

• La parité dépend de n : ${\displaystyle T_{n}(-X)=(-1)^{n}T_{n}(X)}$.
• Représentation intégrale :${\displaystyle T_{n}(x)={\frac {1}{4i\pi }}\int _{C}{\frac {1}{z^{n}}}{\frac {1-z^{2}}{z(1-2xz+z^{2})}}\,\mathrm {d} z}$ où C est un contour du plan complexe parcouru dans le sens trigonométrique, contenant zéro et excluant les zéros de 1 – 2xz + z².
• Séries génératrices
  • ordinaire : ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }T_{n}t^{n}={\frac {1-tX}{1-2tX+t^{2}}}}$,
  • exponentielle : ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }T_{n}{\frac {t^{n}}{n!}}={\frac {1}{2}}\left({\rm {e}}^{(X-{\sqrt {X^{2}-1}})t}+{\rm {e}}^{(X+{\sqrt {X^{2}-1}})t}\right),}$
  • ${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }T_{n}(X){\frac {t^{n}}{n}}=-{\frac {1}{2}}\ln \left(1-2tX+t^{2}\right),}$ pertinente en particulier en théorie du potentiel.

Les premiers polynômes de Tchebychev de première espèce sur le domaine −1¼ < x < 1¼, −1¼ < y < 1¼; la fonction constante T₀, et T₁, T₂, T₃, T₄ et T₅.

Les premiers polynômes de Tchebychev de seconde espèce sur le domaine −1 < x < 1, −4 < y < 5.

Les polynômes de seconde espèce U_n peuvent se définir par la même relation de récurrence que ceux de première espèce, avec des premiers termes différents :

${\displaystyle U_{n+1}=2XU_{n}-U_{n-1},\ \ \forall n\geq 1\ {\textrm {avec}}\ U_{0}=1\ {\textrm {et}}\ U_{1}=2X}$.

Par récurrence, U_n est un polynôme de degré n.

Les premiers polynômes de Tchebychev de seconde espèce sont :

${\displaystyle U_{0}=1}$

${\displaystyle U_{1}=2X}$

${\displaystyle U_{2}=4X^{2}-1}$

${\displaystyle U_{3}=8X^{3}-4X}$

${\displaystyle U_{4}=16X^{4}-12X^{2}+1}$

${\displaystyle U_{5}=32X^{5}-32X^{3}+6X}$

${\displaystyle U_{6}=64X^{6}-80X^{4}+24X^{2}-1}$

${\displaystyle U_{7}=128X^{7}-192X^{5}+80X^{3}-8X}$

${\displaystyle U_{8}=256X^{8}-448X^{6}+240X^{4}-40X^{2}+1}$

${\displaystyle U_{9}=512X^{9}-1024X^{7}+672X^{5}-160X^{3}+10X}$.

De la même façon que pour ceux de première espèce, les polynômes U_n peuvent se définir alternativement par la forme trigonométrique de leur fonction polynomiale associée sur ]–1 ; 1[. On montre en effet[N 3] que pour tout n :

${\displaystyle \forall \theta \in \mathbb {R} \setminus \pi \mathbb {Z} \quad {\frac {\sin \left((n+1)\theta \right)}{\sin \theta }}=U_{n}(\cos \theta )}$.

Là encore, le caractère orthogonal des polynômes U_n découle directement de celui des fonctions ${\displaystyle \sin n\theta }$. Plus précisément, comme ${\displaystyle 2\sin a\sin b=\cos(a-b)-\cos(a+b)}$ :

${\displaystyle \int _{0}^{\pi }{U_{p}(\cos \theta )U_{n}(\cos \theta )\sin ^{2}(\theta )\,\mathrm {d} \theta }=\int _{0}^{\pi }{\sin \left((p+1)\theta \right)\sin \left((n+1)\theta \right)\,\mathrm {d} \theta }=0{\text{ si }}p\neq n}$.

En exprimant cette intégrale en fonction de la variable x = cos θ, on en déduit que les polynômes U_n sont orthogonaux par rapport à la fonction poids ${\displaystyle w(x)=\left(1-x^{2}\right)^{1/2}}$ :

${\displaystyle \int _{-1}^{+1}{U_{n}(x)U_{p}(x)\left(1-x^{2}\right)^{1/2}\,\mathrm {d} x}=0{\text{ si }}p\neq n}$.

Pour tout n, la fonction ${\displaystyle \theta \mapsto \sin(n\theta )=U_{n-1}(\cos \theta )\sin \theta }$ est solution de l'équation différentielle linéaire homogène d'ordre 2 à coefficients constants[N 2] :

${\displaystyle y''+n^{2}y=0}$.

Par suite, les polynômes de Tchebychev de seconde espèce sont solutions de l'équation différentielle formelle :

${\displaystyle (1-X^{2})U_{n}''-3XU_{n}'+n(n+2)U_{n}=0}$.

• Pour tout entier naturel n,${\displaystyle U_{n}=\sum _{k=0}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }{\binom {n+1}{2k+1}}(X^{2}-1)^{k}X^{n-2k}=X^{n}\sum _{k=0}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }{\binom {n+1}{2k+1}}(1-X^{-2})^{k}=\sum _{k=0}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }(-1)^{k}{\binom {n-k}{k}}(2X)^{n-2k}}$[N 3].
• Les U_n sont orthogonaux pour le produit scalaire associé à la pondération ${\displaystyle {\sqrt {1-x^{2}}}}$ sur l'intervalle [–1 ; 1]. Plus précisément :

  ${\displaystyle \int _{-1}^{1}U_{n}(x)U_{m}(x){\sqrt {1-x^{2}}}\,\mathrm {d} x={\begin{cases}0&{\text{si }}n\neq m\\\pi /2&{\text{si }}n=m.\end{cases}}}$

• Pour tout entier naturel n,

  ${\displaystyle U_{n}(1)=n+1}$.

• Si ${\displaystyle m\geq n}$, ${\displaystyle U_{m}U_{n}=\sum _{k=0}^{n}U_{m-n+2k}}$.
• Pour tout entier n strictement positif, les n racines de U_n sont

${\displaystyle e_{k}^{(n+1)}=\cos {\frac {k\pi }{n+1}},\quad \forall k\in \{1,\ldots ,n\}}$.

• La parité dépend de n[N 5] :

  ${\displaystyle U_{n}(-X)=(-1)^{n}U_{n}(X)}$.

• Représentation intégrale :

  ${\displaystyle U_{n}(x)={\frac {1}{2i\pi }}\int _{C}{\frac {1}{z^{n}}}{\frac {1}{z(1-2xz+z^{2})}}\,\mathrm {d} z}$ où C est un contour du plan complexe parcouru dans le sens trigonométrique, contenant zéro et excluant les zéros de 1 – 2xz + z².

• Série génératrice[N 6] :

  ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }U_{n}(X)t^{n}={\frac {1}{1-2tX+t^{2}}}}$.

Les premiers polynômes de Tchebychev de seconde espèce sur le domaine −1¼ < x < 1¼, −1¼ < y < 1¼; la fonction constante U₀, et U₁, U₂, U₃, U₄ et U₅.

• Algorithme de Clenshaw
• Algorithme de Remez

• Polynômes de Tchebychev sur Math-Linux.
• (en) Milton Abramowitz et Irene Stegun, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables [détail de l’édition] (lire en ligne), chap. 22

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