Problème de la résiduosité quadratique

En théorie algorithmique des nombres, le problème de la résiduosité[note 1] quadratique est celui de distinguer, à l'aide de calculs, les résidus quadratiques modulo un nombre composé N fixé.

Ce problème est considéré comme étant calculatoirement difficile dans le cas général et sans information supplémentaire[1]. Par conséquent, il s'agit d'un problème important en cryptographie où il est utilisé comme hypothèse calculatoire comme indiqué dans la section Application.

Formulation

Soit $N$ un nombre composé de la forme particulière $N=pq$ , où $p$ et $q$ sont deux nombres premiers impairs distincts. L'application d'élévation au carré,

{\overline {a}}{\pmod {N}}\mapsto {\overline {a^{2}}}{\pmod {N}}

est un endomorphisme du groupe des inversibles de l'anneau ℤ/Nℤ, et son noyau est isomorphe au groupe de Klein, d'ordre 4. Par conséquent, l'image de cette application est un sous-groupe d'indice 4, donc d'ordre (p-1)(q-1)/4. Ce sous-groupe est donc d'indice 2 dans celui des éléments dont le symbole de Jacobi vaut 1. Le symbole de Jacobi permet ainsi d'éliminer la moitié des éléments du groupe (ceux dont le symbole vaut -1 et qui ne sont donc pas des carrés), et le problème reste de déterminer, pour un élément arbitraire de la moitié restante, si c'est un carré ou pas (il a une chance sur deux d'en être un).

Application

Le problème de la résiduosité quadratique est utilisé comme hypothèse de complexité dans différents protocoles cryptographiques, comme le cryptosystème de Goldwasser-Micali, ou pour le générateur de nombres pseudo-aléatoires de Blum Blum Shub.

Calcul avec factorisation de N connue

Si la factorisation de $N$ est connue, le problème devient alors calculatoirement facile, grâce à la loi de réciprocité quadratique et au théorème des restes chinois. La procédure suivante détermine si $x$ est un carré modulo $N$ .

Calculer $x_{p}:=x$ mod $p$ et $x_{q}:=x$ mod $q$ .
Si $x_{p}^{(p-1)/2}=1$ mod $p$ et $x_{q}^{(q-1)/2}=1$ mod $q$ , alors $x$ est un résidu quadratique modulo $N$ .

Ce qui aboutit, en utilisant l'exponentiation modulaire rapide par exemple, à un algorithme de complexité ${\mathcal {O}}{\bigl (}(\log N)^{2}{\bigr )}$ , ce qui est polynomial en la taille de l'entrée (ici $\approx \log N$ ).

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Quadratic residuosity problem » (voir la liste des auteurs).

Notes

Une substantivation plus correcte serait résidualité. Le néologisme résiduosité a été adopté par la plupart des cryptographes.^{[réf. nécessaire]}

Références

(en) Victor Shoup, A computational introduction to number theory and algebra, Cambridge University Press, 2009, 2^e éd., 580 p. (ISBN 978-0-521-51644-0 et 0521516447, OCLC 277069279, lire en ligne), 12. Quadratic reciprocity and computing modular square roots, chap. 4 (« Testing quadratic residuosity »), p. 349.

Article connexe

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[1] Une substantivation plus correcte serait résidualité. Le néologisme résiduosité a été adopté par la plupart des cryptographes.^{[réf. nécessaire]}

[shoup-2] (en) Victor Shoup, A computational introduction to number theory and algebra, Cambridge University Press, 2009, 2^e éd., 580 p. (ISBN 978-0-521-51644-0 et 0521516447, OCLC 277069279, lire en ligne), 12. Quadratic reciprocity and computing modular square roots, chap. 4 (« Testing quadratic residuosity »), p. 349.