Processus de Galton-Watson

Pour pouvoir appliquer la propriété de composition des fonctions génératrices, il faut se convaincre que ${\displaystyle Z_{n+1}}$ (l'effectif de la n+1 ème génération) a même loi que la somme de ${\displaystyle Z_{n}}$ variables aléatoires indépendantes, toutes de loi ${\displaystyle p,}$ et indépendantes de ${\displaystyle Z_{n}.}$ Bien sûr, ${\displaystyle Z_{n+1}}$ est la somme des progénitures des ${\displaystyle Z_{n}}$ individus appartenant à la n ème génération, mais, contrairement au contexte de la propriété de composition des fonctions génératrices, on ne choisit pas les ${\displaystyle Z_{n}}$ premiers termes d'une suite de variables aléatoires i.i.d. indexées par ${\displaystyle \mathbb {N} }$ : dans la notation de Neveu, par exemple, la suite de variables aléatoires i.i.d. est indexée par ${\displaystyle \mathbb {N} ^{n},}$ et les ${\displaystyle Z_{n}}$ variables de la suite intervenant dans la somme sont choisies en fonction de toute l'histoire de la population, jusqu'à la n-ème génération (non incluse). Une fois qu'on s'est convaincu que, malgré cela, ${\displaystyle Z_{n+1}}$ (l'effectif de la n+1 ème génération) a même loi que la somme de ${\displaystyle Z_{n}}$ variables aléatoires indépendantes, toutes de loi ${\displaystyle p,}$ et indépendantes de ${\displaystyle Z_{n},}$ on en déduit que

${\displaystyle \varphi _{n+1}\ =\ \varphi _{n}\circ \varphi .}$

Démonstration

Un énoncé précis utilise la notion de loi conditionnelle : pour pouvoir appliquer la propriété de composition des fonctions génératrices, on doit vérifier que, pour tout k, la loi conditionnelle de ${\displaystyle Z_{n+1}}$ sachant l'évènement ${\displaystyle \{Z_{n}=k\}}$ est la loi de la somme de k variables aléatoires indépendantes, toutes de loi ${\displaystyle p,}$ loi décrite par ${\displaystyle \left(p_{\ell }^{\star k}\right)_{\ell \geq 0}.}$ Pour vérifier cela, on est amené à calculer la loi conditionnelle sachant un évènement plus précis que ${\displaystyle \{Z_{n}=k\},}$ i.e. sachant la composition exacte de la n-ème génération. Soit L un ensemble d'éléments de ${\displaystyle \mathbb {N} ^{n}.}$ Notons ${\displaystyle A_{L}}$ l'évènement :

${\displaystyle A_{L}\ =\ \{{\mathrm {les~individus~formant~la~} n\,\mathrm {-{\grave {e}}me~g{\acute {e}}n{\acute {e}}ration~de~la~population~sont~exactement~les~{\acute {e}}l{\acute {e}}ments~de~} L}\}.}$

En particulier les ancêtres des individus appartenant à L sont connus, donc ${\displaystyle A_{L}}$ apporte une information sur les générations 1, 2, ... jusqu'à la génération n-1. On constate que l'évènement ${\displaystyle A_{L}}$ appartient à la tribu engendrée par la famille des ${\displaystyle X_{i},}$ où i est une suite de longueur inférieure ou égale à n-1. Par ailleurs,

${\displaystyle \mathbb {P} \left(Z_{n+1}=\ell \,|\,A_{L}\right)=\mathbb {P} \left(\left\{\sum _{j\in L}X_{j}\ =\ \ell \right\}\ \cap A_{L}\right)\left(\mathbb {P} (A_{L})\right)^{-1}}$

Comme L est disjoint de l'ensemble des suites de longueur inférieure ou égale à n-1, le lemme de regroupement entraine que

${\displaystyle \mathbb {P} \left(Z_{n+1}=\ell \,|\,A_{L}\right)=\mathbb {P} \left(\sum _{j\in L}X_{j}\ =\ \ell \right)=p_{\ell }^{\star |L|}.}$

Cette dernière probabilité dépend de ${\displaystyle \ell ,}$ mais, surtout, elle dépend de L uniquement à travers son cardinal ${\displaystyle |L|=Z_{n}.}$ Donc, dès que ${\displaystyle |L|=k,}$

${\displaystyle \mathbb {P} \left(Z_{n+1}=\ell \,|\,A_{L}\right)=\mathbb {P} \left(Z_{n+1}=\ell \,|\,Z_{n}=k\right)=p_{\ell }^{\star |L|},}$

en vertu d'une variante de la formule des probabilités totales. Accessoirement ceci montre que la suite ${\displaystyle (Z_{n})_{n\geq 0}}$ possède la propriété de Markov. Plus précisément, c'est une chaine de Markov homogène de probabilité de transition ${\displaystyle \left(p_{\ell }^{\star k}\right)_{k,\ell \geq 0}.}$

En remarquant que

${\displaystyle \varphi _{0}\ =\ {\text{Id}},}$

on en déduit, par récurrence, que

${\displaystyle \varphi _{n}\ =\ \varphi ^{\circ n},}$

puis la relation de récurrence fondamentale. On peut aussi obtenir cette relation plus directement, en décomposant ${\displaystyle Z_{n+1}}$ différemment (comme somme de X copies de ${\displaystyle Z_{n}}$ plutôt que comme somme de ${\displaystyle Z_{n}}$ copies de X).

Cela résulte de ce que

${\displaystyle {\mathcal {E}}\ =\ \bigcup _{n\geq 0}\{Z_{n}=0\}\quad {\text{et}}\quad \left\{\{Z_{n}=0\}\Rightarrow \{Z_{n+1}=0\}\right\},}$

d'où il suit, par propriété de limite croissante, que

${\displaystyle \mathbb {P} ({\mathcal {E}})\ =\ \lim _{n}\mathbb {P} (Z_{n}=0).}$

Par ailleurs la suite

${\displaystyle u_{n}\ =\ \mathbb {P} (Z_{n}=0)}$

est définie par ${\displaystyle u_{0}=0}$ (car ${\displaystyle Z_{0}=1}$), et par la relation de récurrence

${\displaystyle u_{n+1}\ =\ \varphi (u_{n}),}$

ce qui conduit à voir ${\displaystyle \mathbb {P} ({\mathcal {E}})}$ comme un point fixe de φ.

Pour démontrer la relation de récurrence sur ${\displaystyle u_{n},}$ notons que

${\displaystyle \varphi _{n}(0)\ =\ \mathbb {P} (Z_{n}=0)\ =\ u_{n}.}$

Donc

${\displaystyle u_{n+1}\ =\ \varphi _{n+1}(0)\ =\ \varphi (\varphi _{n}(0))\ =\ \varphi (u_{n}).}$

Maintenant, supposons qu'il existe un point fixe ${\displaystyle \ell }$ de ${\displaystyle \varphi }$ dans l'intervalle [0,1]. Alors, la fonction ${\displaystyle \varphi }$ étant croissante sur l'intervalle [0,1], ${\displaystyle \{u_{0}\leq \ell \ {\text{et}}\ u_{0}\leq u_{1}\}}$ entraine ${\displaystyle \{u_{0}\leq u_{1}\leq \ell \},}$ puis, par récurrence, ${\displaystyle \{\forall n,\ u_{n}\leq u_{n+1}\leq \ell \}.}$ Mais, d'une part, ${\displaystyle \varphi (0)=p_{0}\geq 0}$ (ce qui peut être réécrit ${\displaystyle u_{1}\geq u_{0}}$), d'autre part ${\displaystyle \varphi (1)=1.}$ Ainsi, la suite ${\displaystyle (u_{n})_{n\geq 0}}$ est croissante et majorée par 1, donc convergente. De plus, on a vu que la suite ${\displaystyle (u_{n})_{n\geq 0}}$ est majorée par tout point fixe ${\displaystyle \ell }$ de ${\displaystyle \varphi }$ appartenant à l'intervalle [0,1]. La limite de la suite ${\displaystyle (u_{n})_{n\geq 0}}$ est donc, elle aussi, majorée par tout point fixe ${\displaystyle \ell }$ de ${\displaystyle \varphi }$ appartenant à l'intervalle [0,1]. Mais comme la fonction ${\displaystyle \varphi }$ est continue sur l'intervalle [0,1], sa limite est un des points fixes de la fonction ${\displaystyle \varphi ,}$ donc, forcément, le plus petit d'entre eux.

Cela résulte de ce que

${\displaystyle m\ =\ \varphi ^{\prime }(1).}$

En effet :

• Cas souscritique. Si m<1, la tangente en (1,1) au graphe de φ est, dans l'intervalle [0,1[, strictement au-dessus de la droite d'équation y=x, et, φ étant convexe, le graphe de φ est au-dessus de sa tangente, donc, lui aussi, strictement au-dessus de la droite d'équation y=x : le seul point fixe de φ est 1.
• Cas critique. Si m =1, la tangente en (1,1) au graphe de φ est la droite d'équation y=x. Si φ est strictement convexe, le graphe de φ est strictement au-dessus de sa tangente, donc le seul point fixe de φ est 1. Or φ est strictement convexe si et seulement si ${\displaystyle p_{0}+p_{1}<1}$ (comme on le voit en calculant la dérivée seconde de φ). Sinon φ est une fonction affine, donc son graphe est confondu avec ses tangentes, en particulier, ici, avec la droite d'équation y=x. Donc ${\displaystyle p_{1}=1.}$
• Cas surcritique. Si m>1, la tangente en (1,1) au graphe de φ est strictement au-dessous de la droite d'équation y=x, donc, sur un intervalle [1-ε,1[ bien choisi, φ lui-même est strictement au-dessous de la droite d'équation y=x. En 0, par contre, comme ${\displaystyle \varphi (0)=p_{0}\geq 0,}$ le graphe de φ est au-dessus de la droite d'équation y=x. Donc, en vertu du théorème des valeurs intermédiaires, φ possède un point fixe strictement plus petit que 1.