Produit matriciel de Hadamard

En mathématiques, le produit matriciel de Hadamard, nommé d'après le mathématicien français Jacques Hadamard et parfois désigné produit de Schur[1], est une opération binaire qui pour deux matrices de mêmes dimensions, associe une autre matrice, de même dimension, et où chaque coefficient est le produit terme à terme des deux matrices. En cela, il est à distinguer du produit matriciel usuel.

Le produit matriciel de Hadamard est associatif et distributif, et contrairement au produit matriciel classique, commutatif.

Définition

Formellement, pour deux matrices de mêmes dimensions

A,B\in {\mathbb {C} }^{m\times n}

le produit de Hadamard $A\cdot B$ est une matrice

A\cdot B\in {\mathbb {C} }^{m\times n},

dont les coefficients sont

(A\cdot B)_{i,j}=(A)_{i,j}\times (B)_{i,j}.

Propriétés

Le produit de Hadamard est commutatif, associatif et distributif sur l'addition :
- $A\cdot B=B\cdot A,$
- $A\cdot (B\cdot C)=(A\cdot B)\cdot C,$
- $A\cdot (B+C)=A\cdot B+A\cdot C.$
L'élément neutre pour le produit de Hadamard de deux matrices de taille $m \times n$ est une matrice $m \times n$ dont tous les éléments sont égaux à 1, contrairement à la matrice identité, qui est l'élément neutre du produit matriciel classique et dont les coefficients valent 1 sur la diagonale et 0 sinon. Ainsi, une matrice admet une inverse pour le produit de Hadamard si et seulement si tous ses éléments sont non nuls[2].
$(A\cdot B)^{T}=A^{T}\cdot B^{T}\quad {\rm {et}}\quad (A\cdot B)^{*}=A^{*}\cdot B^{*}$ , où $M T$ (respectivement $M *$ ) désigne la matrice transposée (resp. la matrice adjointe) de $M$ . En particulier, le produit de Hadamard de deux matrices $n \times n$ symétriques (resp. hermitiennes) est une matrice symétrique (resp. hermitienne).
Si $D$ est diagonale alors $D(A\cdot B)=(DA)\cdot B.$
En notant e_j le j-ème vecteur de la base canonique de ℂⁿ et, pour tout vecteur $x$ , D_x la matrice diagonale dont les éléments diagonaux sont les coordonnées de $x$ , on remarque que l'élément d'indice i, j du produit de Hadamard est égal au i-ème élément diagonal de AD_{e_j}B^T : $(A\cdot B)_{i,j}=(AD_{e_{j}}B^{T})_{i,i}=\mathrm {Tr} (D_{e_{i}}AD_{e_{j}}B^{T}).$ On en déduit immédiatement :
- $x^{*}(A\cdot B)y=\mathrm {Tr} (D_{x}^{*}AD_{y}B^{T})$ [3] ;
- la somme des coefficients de la i-ème ligne du produit de Hadamard est égale au i-ème élément diagonal de $AB T$ [4] : $\sum _{j}(A\cdot B)_{i,j}=(AB^{T})_{i,i}.$
- la somme de tous les éléments du produit de Hadamard est la trace de $AB T$ .
Le produit de Hadamard est une sous-matrice principale du produit de Kronecker.

Théorème du produit de Schur

Le produit de Hadamard de deux matrices $n \times n$ hermitiennes positives (resp. définies positives) est une matrice ( $n \times n$ ) hermitienne positive (resp. définie positive)[4]. C'est le théorème du produit de Schur[2] démontré pour la première fois[5] par Issai Schur[6].

Démonstration

Soient $A$ et $B$ deux matrices $n \times n$ hermitiennes positives. Comme $A$ et $B T$ sont hermitiennes positives, il existe des matrices $M$ et $N$ telles que $A = M * M$ et $B T = N * N$ (par exemple : leurs racines carrées).

Pour toute matrice colonne $x$ de taille n, le nombre $x *(A ∙ B) x$ est égal à la trace de $D_{x}^{*}AD_{x}B^{T}=(D_{x}^{*}AD_{x}N^{*})N$ donc à celle de $N(D_{x}^{*}AD_{x}N^{*})=(ND_{x}^{*}M^{*})(MD_{x}N^{*})=(MD_{x}N^{*})^{*}(MD_{x}N^{*}).$ Comme cette dernière est hermitienne positive, sa trace est positive. On a donc montré que $x *(A ∙ B) x \geq 0$ pour tout $x$ , ce qui prouve que $A ∙ B$ est hermitienne positive.

Si de plus $A$ et $B$ sont inversibles alors $M$ et $N$ aussi, et le calcul ci-dessus montre alors que pour tout $x$ non nul, $x *(A ∙ B) x > 0$ , ce qui prouve que $A ∙ B$ est définie positive (un autre argument pour ce complément est l'inégalité ci-dessous).

Pour deux matrices hermitiennes positives A et B, on a aussi

\det(A\cdot B)\geq \det(AB)

[4]^,[7].

Applications

Le produit de Hadamard est utilisé en compression de données comme le JPEG.

Références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Hadamard product (matrices) » (voir la liste des auteurs).

(en) Roger A. Horn et Charles R. Johnson, Matrix Analysis, CUP, 1985, 561 p. (ISBN 978-0-521-38632-6, lire en ligne), chap. 5.
(en) Elizabeth Million, « The Hadamard Product ».
(en) Roger A. Horn et Charles R. Johnson, Topics in Matrix Analysis, CUP, 1991, 607 p. (ISBN 978-0-521-46713-1, lire en ligne), p. 306.
(en) George P. H. Styan, « Hadamard Products and Multivariate Statistical Analysis », Linear Algebra and its Applications, vol. 6,‎ 1973, p. 217-240 (DOI 10.1016/0024-3795(73)90023-2).
Horn et Johnson 1991, p. 309.
(de) J. Schur, « Bemerkungen zur Theorie der beschränkten Bilinearformen mit unendlich vielen Veränderlichen », J. reine angew. Math., vol. 140,‎ 1911, p. 1-28 (DOI 10.1515/crll.1911.140.1), p. 14, théorème VII.
(en) Denis Serre, Matrices : Theory and Applications, Springer, coll. « GTM » (n^o 216), 2010 (lire en ligne), p. 123.

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[1] (en) Roger A. Horn et Charles R. Johnson, Matrix Analysis, CUP, 1985, 561 p. (ISBN 978-0-521-38632-6, lire en ligne), chap. 5.

[hadamardpdf1-2] (en) Elizabeth Million, « The Hadamard Product ».

[3] (en) Roger A. Horn et Charles R. Johnson, Topics in Matrix Analysis, CUP, 1991, 607 p. (ISBN 978-0-521-46713-1, lire en ligne), p. 306.

[Styan-4] (en) George P. H. Styan, « Hadamard Products and Multivariate Statistical Analysis », Linear Algebra and its Applications, vol. 6,‎ 1973, p. 217-240 (DOI 10.1016/0024-3795(73)90023-2).

[5] Horn et Johnson 1991, p. 309.

[6] (de) J. Schur, « Bemerkungen zur Theorie der beschränkten Bilinearformen mit unendlich vielen Veränderlichen », J. reine angew. Math., vol. 140,‎ 1911, p. 1-28 (DOI 10.1515/crll.1911.140.1), p. 14, théorème VII.

[7] (en) Denis Serre, Matrices : Theory and Applications, Springer, coll. « GTM » (n^o 216), 2010 (lire en ligne), p. 123.