Quadrilatère inscriptible

L'aire S d'un quadrilatère inscriptible en fonction des longueurs a, b, c et d de ses côtés successifs est donnée par la formule de Brahmagupta :

${\displaystyle S={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}}$

où s = a + b + c + d/2 est le demi-périmètre.

Parmi tous les quadrilatères ayant la même suite de longueurs des côtés, cette aire est maximale pour le quadrilatère inscriptible.

L'aire est aussi donnée (voir infra) par :

${\displaystyle S={\frac {1}{2}}(bc+ad)\sin \gamma }$

où γ est l'angle entre les côtés de longueurs a et d.

Le théorème de Ptolémée dit que le produit des longueurs des deux diagonales p et q d'un quadrilatère inscriptible est égal à la somme des produits des côtés opposés ac et bd :

pq = ac + bd.

Pour tout quadrilatère convexe, les deux diagonales du quadrilatère le coupent en quatre triangles; dans un quadrilatère inscriptible, les paires de triangles opposés sont constituées chacune de deux triangles semblables.

Pour un quadrilatère inscriptible de sommets successifs A, B, C, D, de côtés successifs a = AB, b = BC, c = CD et d = DA, et de diagonales p = AC et q = BD, on a :

${\displaystyle {\frac {p}{q}}={\frac {ad+cb}{ab+cd}},\quad p^{2}={\frac {(ac+bd)(ad+bc)}{ab+cd}}\quad {\text{et}}\quad q^{2}={\frac {(ac+bd)(ab+dc)}{ad+bc}}.}$

Si l'intersection des diagonales divise une diagonale en segments de longueurs e et f, et divise l'autre diagonale en segments de longueurs g et h, alors ef = gh. (Ceci est valable parce que les deux diagonales sont des cordes d'un cercle.)

Tout rectangle est un trapèze isocèle, c'est-à-dire un trapèze circonscriptible. Un cerf-volant est inscriptible si et seulement s'il a deux angles droits.

Durant le XIV^e siècle, le mathématicien Parameshvara Nambudiri (en) détermina le rayon du cercle circonscrit d'un quadrilatère inscriptible. Prenons les longueurs des côtés successifs a, b, c, d, le demi-périmètre s et l'aire S ; le rayon R s'obtient par la formule[2] :

${\displaystyle R={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}}={\frac {\sqrt {(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}}{4S}}}$.

Il n'existe pas de quadrilatères inscriptibles dont l'aire est rationnelle et dont les longueurs des côtés sont rationnelles, inégales et forment une progression arithmétique ou géométrique[3].

Les fonctions trigonométriques de l'angle γ entre les côtés a et d sont données par[4] :

${\displaystyle \cos \gamma ={\frac {a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2}}{ad+bc}}}$ ;

${\displaystyle \sin \gamma ={\frac {2S}{ad+bc}}}$ (S étant l'aire) ;

${\displaystyle \tan {\frac {\gamma }{2}}={\sqrt {\frac {(s-a)(s-d)}{(s-b)(s-c)}}}}$.

Quatre droites, chacune perpendiculaire à un côté d'un quadrilatère inscriptible et passant par le milieu du côté opposé, sont concourantes[5]^{p. 131}

Le théorème de Brahmagupta dit que, pour un quadrilatère inscriptible qui est également orthodiagonal (c'est-à-dire dont les diagonales sont perpendiculaires), la perpendiculaire à n'importe quel côté passant par le point d'intersection des diagonales divise l'autre côté en son milieu[5]^{p. 137}.

Si un quadrilatère inscriptible est également orthodiagonal, la distance du centre du cercle circonscrit à n'importe quel côté est égal à la moitié de la longueur du côté opposé[5]^{p. 138}.

Pour un quadrilatère inscriptible orthodiagonal, supposons que l'intersection des diagonales divise une diagonale en segments de longueurs p₁ et p₂ et divise l'autre diagonale en segments de longueurs q₁ et q₂. Alors[6]

${\displaystyle p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+q_{1}^{2}+q_{2}^{2}=a^{2}+c^{2}=b^{2}+d^{2}=D^{2}}$

où D est le diamètre du cercle circonscrit. Cela est dû au fait que les diagonales sont des cordes perpendiculaires d'un cercle. De façon équivalente, soit R = ^D⁄₂ le rayon du cercle circonscrit, la moyenne de p₁², p₂², q₁² et q₂² est R².

En outre, les équations a² + c² = b² + d² = D² impliquent que, dans un quadrilatère orthodiagonal inscriptible, la somme des carrés des côtés est égal à huit fois le carré du rayon du cercle circonscrit.

Le quotient du périmètre d'un cercle par celui d'un carré inscrit est égal à π/2√2 ≈ 1,110 720 (suite A093954 de l'OEIS).