Quaternions de Hurwitz

Soit A un anneau. On definit l'algèbre de quaternions ℍ(A) comme l'algèbre A[ℍ] du groupe ℍ des quaternions. Plus explicitement, c'est le A-module libre engendré par 1, i, j et k, muni de la structure d'algèbre :

• 1 élément neutre pour la multiplication,
• ${\displaystyle {\rm {i}}^{2}={\rm {j}}^{2}={\rm {k}}^{2}=-1}$
• et les identités :
  • ${\displaystyle {\rm {i}}={\rm {j~k}}=-{\rm {k~j}},}$
  • ${\displaystyle {\rm {j}}={\rm {k~i}}=-{\rm {i~k}},}$
  • ${\displaystyle {\rm {k}}={\rm {i~j}}=-{\rm {j~i}}.}$

Soit ${\displaystyle \mathbb {H} (\mathbb {Z} )}$, l'algèbre des quaternions sur l'anneau ℤ des entiers relatifs. On définit les quaternions de Hurwitz — aussi appelés entiers de Hurwitz — ${\displaystyle {\widetilde {\mathbb {H} }}(\mathbb {Z} )}$ comme suit :

${\displaystyle {\widetilde {\mathbb {H} }}(\mathbb {Z} )=\mathbb {H} (\mathbb {Z} )\cup \left({\frac {\rm {1+i+j+k}}{2}}+\mathbb {H} (\mathbb {Z} )\right).}$

Ils forment un ordre maximal dans l'algèbre des quaternions sur ℚ.