Réactivité d'un assemblage nucléaire

Dans une réaction en chaîne, la réactivité d'un système nucléaire ou d'un assemblage nucléaire dépend à la fois de la nature des matériaux présents (densité de matières fissiles, présence de modérateur...) et de sa géométrie (taille de l'assemblage, présence de réflecteurs neutroniques...) ; un assemblage est en règle générale d'autant moins réactif qu'il est petit, car les neutrons produits dans sa partie réactive se perdent au-delà de sa frontière dans un milieu moins réactif. On calcule donc souvent d'abord le facteur de multiplication d'un milieu supposé infini, qui est le maximum qui puisse être atteint par un milieu de nature donnée, puis on calcule la taille effective qu'il faut lui donner pour avoir une réactivité positive, compte tenu des conditions aux limites de l'assemblage (fuites et présence d'éventuels réflecteurs).

Réactivité d'un milieu infini

On parle de facteur de multiplication infini (noté $k_{\infty }$ ) lorsque le facteur de multiplication des neutrons est évalué en ne tenant compte que de la composition moyenne du milieu, mais pas de la géométrie de sa frontière (et donc, en particulier, en négligeant les fuites de neutrons) car ceci revient à décrire le processus dans un milieu réactif d’extension infinie. Ce $k_{\infty }$ est défini comme le rapport du nombre de neutrons d'une génération au nombre de neutrons de la génération précédente dans un milieu infini :

k_{\infty }={\frac {N_{t+1}}{N_{t}}}

La formule des quatre facteurs donne un tour plus concret à $k_{\infty }$ en faisant apparaître les termes principaux qui le composent. $k_{\infty }~=~\varepsilon \times p\times f\times \eta$

Évaluation estimative de $k_{\infty }$ dans le cas d'un réseau combustible type

On se propose de retrouver par un calcul estimatif la valeur typique de $k_{\infty }$ dans le cas d'un réseau de réacteur à eau sous pression[Note 1].

Une formulation simplifiée de chacun des quatre facteurs est donnée en fonction des deux caractéristiques primordiales du réacteur à eau pressurisée qui influent sur la réactivité à savoir :

l'enrichissement en uranium 235 noté : $e_{n}$ pour l'enrichissement en noyaux et $e_{m}$ pour l'enrichissement massique
le rapport de modération molaire (ou atomique) : noté $R_{m}={\frac {N_{h}}{N_{u}}}$ = Rapport des concentrations volumiques des atomes d'hydrogène et d'uranium = Rapport des nombres d'atomes d'hydrogène et d'uranium[Note 2]

Les évaluations numériques sont celles du réseau combustible d'un réacteur proche du REP 900 MWe à l'état neuf, supposé exempt de poison neutronique.

$k_{\infty ~REP~chaud}~=~\varepsilon \times \eta \times p\times f\approx ~1{,}038\times 1{,}777\times 0{,}757\times 0{,}922~=~1{,}287$ [Note 3] valeur à chaud 292,8 °C, puissance nulle, avec: de l'uranium enrichi en masse à 2,28 % et en noyaux à 2,31 % un rapport de modération molaire type de 4,34

Les grandeurs numériques précisant la composition du cœur et plus généralement l'ensemble des éléments nécessaires au calcul sont rassemblées dans le tableau Notations - données - résultats en fin d'article

On appelle combustible au sens de l'application de la formule des quatre facteurs : l'oxyde d'uranium (+ le cas échéant d'autres atomes lourds), l'oxygène du combustible en fait partie mais non pas le zirconium des gaines considéré comme matériau de structure[Note 4].

Évaluation simplifiée du facteur η

$\eta =~{{\text{Nombre de neutrons issus de fissions thermiques}} \over {\text{Nombre de neutrons capturés par un atome du combustible}}}$

$\eta$ = Nombre de neutrons de fission produits par capture de 1 neutron dans le combustible = $\nu \times \Sigma _{f5} \over \Sigma _{u5}+\Sigma _{u8}+\Sigma _{ocomb}$

on exprime tous les termes en fonction de $N_{u5}$ et $e_{n}$
$\nu$ = Nombre de neutrons émis par fission ≈ 2,425 dans le cas de ²³⁵U
$\Sigma _{f5}$ = Section efficace macroscopique de fission de l'uranium 235 = $\sigma _{f5}\times N_{u5}$

\sigma _{f5}

= Section efficace microscopique de fission des atomes fissiles

N_{u5}

= Concentration volumique des atomes fissiles dans le cœur

$\Sigma _{u5}$ = Section efficace macroscopique de capture par les atomes fissiles = $\sigma _{u5}\times N_{u5}$

\sigma _{u5}

= Section efficace microscopique de capture par les atomes fissiles du combustible

N_{u5}

= Concentration volumique des atomes fissiles dans le cœur

$\Sigma _{u8}$ = Section efficace macroscopique de capture par les atomes lourds non fissiles = $\sigma _{u8}\times N_{u8}$

\sigma _{u8}

= Section efficace microscopique de capture par les atomes lourds non fissiles

N_{u8}

= Concentration volumique des atomes lourds non fissiles dans le cœur

N_{u8}=N_{u5}\times {1-e_{n} \over e_{n}}

$\Sigma _{ocomb}$ = Section efficace macroscopique de capture par les atomes d'oxygène du combustible = $\sigma _{o}\times N_{ocomb}$

N_{ocomb}=2\times (N_{u5}+N_{u8})={2\times N_{u5} \over e_{n}}

$\eta =~{\nu \times \sigma _{f5}\times N_{u5} \over \sigma _{u5}\times N_{u5}+\sigma _{u8}\times N_{u8}+\sigma _{ocomb}\times N_{ocomb}}$

En remplaçant $N_{u8}$ et $N_{ocomb}$ par leur valeur et en divisant numérateur et dénominateur par $N_{u5}$ , il vient :

$\eta =~{\nu \times \sigma _{f5} \over \sigma _{u5}+\sigma _{u8}\times {1-e_{n} \over e_{n}}+\sigma _{o}\times {2 \over e_{n}}}={\nu \times \sigma _{f5} \over \sigma _{u5}-\sigma _{u8}}\times {1 \over 1+{{\sigma _{u8}+2\;\sigma _{o} \over \sigma _{u5}-\sigma _{u8}} \over e_{n}}}$

Mis à part l'enrichissement, tous les termes de la relation donnant η sont des constantes physiques. Les grandeurs interviennent en termes relatifs via des rapports et non point en valeur absolue ce qui confère une robustesse très relative au résultat vis-à-vis des variations de températures, spectre en énergie des neutrons et autres. Les valeurs trouvées pour η sont indépendantes de la concentration en matière fissile du milieu considéré ; elles ne dépendent que des concentrations relatives des corps présents dans le milieu exprimées par l'enrichissement en uranium 235.
On pose :

{\mathcal {F}}_{u5}={\frac {\nu \times \sigma _{f5}}{\sigma _{u5}-\sigma _{u8}}}

{\mathcal {S}}_{u8/u5}={\frac {\sigma _{u8}+2\;\sigma _{o}}{\sigma _{u5}-\sigma _{u8}}}

termes qui ne dépendent que des caractéristiques physiques des corps présents et non de l'enrichissement

e_{n}

ou de la modération

R_{m}

.

Formule simple :

$\eta =~{\frac {{\mathcal {F}}_{u5}}{1+{\frac {{\mathcal {S}}_{u8/u5}}{e_{n}}}}}$ avec : ${\mathcal {F}}_{u5}={\frac {\nu \times \sigma _{f5}}{\sigma _{u5}-\sigma _{u8}}}$ ${\mathcal {S}}_{u8/u5}={\frac {\sigma _{u8}+2\;\sigma _{o}}{\sigma _{u5}-\sigma _{u8}}}$ Applicable pour $~0{,}7~\%<~e_{n}<~7~\%$

Le facteur η dépend prioritairement de l'enrichissement et marginalement de la modération.

Numériquement: (cf. tableau en fin d'article)

Termes de la formule simplifiée donnant $\eta$ :

{\mathcal {F}}_{u5}\approx 2{,}082

{\mathcal {S}}_{u8/u5}\approx 3{,}957\times 10^{-3}

Résultat:

Pour, un enrichissement massique moyen typique de 2,283 % soit 2,312 % en noyaux

η ≈ 1,777[Note 3]

Commentaire

Pour ce qui concerne la capture des neutrons (donc intervenant dans les facteurs η, f et p) du fait de sa très faible section efficace, l'oxygène peut être largement négligé devant les autres corps. En revanche l'oxygène contribue à la diffusion et au ralentissement des neutrons ; c'est même un excellent modérateur.

Évaluation simplifiée du facteur f

$f=~{\frac {\text{Nombre moyen de neutrons capturés par les atomes du combustible}}{\text{Nombre de neutrons capturés au total}}}$

$f={\Sigma _{u5}+\Sigma _{u8}+\Sigma _{ocomb} \over \Sigma _{u5}+\Sigma _{u8}+\Sigma _{ocomb}+\Sigma _{m}+\Sigma _{z}}$ ;

on exprime tous les termes en fonction de $N_{u}$ $R_{m}$ , et $e_{n}$
$\Sigma _{u5}=\sigma _{u5}\times e_{n}\times N_{u}$
$\Sigma _{u8}=\sigma _{u8}\times (1-e_{n})\times N_{u}$
$\Sigma _{ocomb}=\sigma _{o}\times 2\times N_{u}$
$\Sigma _{m}$ = Section efficace macroscopique de capture dans le modérateur = $\sigma _{h}\times N_{h}+\sigma _{o}\times N_{omod}$

N_{h}=R_{m}\times N_{u}

N_{omod}=N_{h}/2=R_{m}\times N_{u}/2=

$\Sigma _{z}$ = Section efficace macroscopique de capture dans le zirconium et les structures = $\sigma _{z}\times N_{z}$ [Note 5]

Dans le réacteur à eau sous-pression électrogène le rapport entre le volume de zirconium et le volume d'UO₂ ne varie que faiblement d'un modèle à l'autre. Il est égal au 1^er ordre au rapport de la section du tube de zirconium à la section de la pastille d'UO₂ qui ne change que très peu d'un réseau combustible crayon à l'autre, il en découle que le rapport

N_{z}/N_{u}

est constant au 1^er ordre d'un type de réacteur à l'autre. Il dépend toutefois de la température de fonctionnement du fait de la dilatation assez sensiblement différente de l'oxyde d'uranium et du zirconium [Note 6]. Avec les dimensions typiques des crayons combustibles, tubes guides, grilles de maintien des assemblages 17 × 17 en usage en France ce rapport est proche de 0,66. Si on dispose de la géométrie détaillée du combustible on peut aisément recalculer le facteur, à défaut la valeur de 0,66 donne un ordre de grandeur correct.

N_{z}=N_{u}\times 0{,}66

En remplaçant tous les termes par leur valeur et en divisant numérateur et dénominateur par $N_{u}$ , il vient :

$f={e_{n}\times \sigma _{u5}+\sigma _{u8}\times (1-e_{n})+2\times \sigma _{o} \over e_{n}\times \sigma _{u5}+\sigma _{u8}\times (1-e_{n})+2\times \sigma _{o}+R_{m}\times (\sigma _{h}+\sigma _{o}/2)+\sigma _{z}\times 0{,}66}$

On peut observer que f varie en fonction de l'enrichissement et de la modération.

Simplifications

Après division haut et bas par $e_{n}\times \sigma _{u5}+\sigma _{u8}\times (1-e_{n})+2\times \sigma _{o}$ , il vient :

f={1 \over 1+\phi }

avec

\phi ={R_{m}\times (\sigma _{h}+\sigma _{o}/2)+\sigma _{z}\times 0{,}66 \over e_{n}\times \sigma _{u5}+\sigma _{u8}\times (1-e_{n})+2\;\sigma _{o}}

On pose, comme dans le cas du facteur η :

{\mathcal {S}}_{h/u}={\sigma _{h}+\sigma _{o}/2 \over \sigma _{u5}-\sigma _{u8}}

{\mathcal {S}}_{z/h}={\sigma _{z}\times 0{,}66 \over \sigma _{h}+\sigma _{o}/2}

termes sans dimension qui ne dépendent que des caractéristiques physiques des corps présents et non de l'enrichissement

e_{n}

ou de la modération

R_{m}

.

$\phi ={\sigma _{h}+\sigma _{o}/2 \over \sigma _{u5}-\sigma _{u8}}\times {R_{m}+\left({\sigma _{z}\times 0{,}66 \over \sigma _{h}+\sigma _{o}/2}\right) \over e_{n}+\left({\sigma _{u8}+2\;\sigma _{o} \over \sigma _{u5}-\sigma _{u8}}\right)}={\mathcal {S}}_{h/u}\times {R_{m}+{\mathcal {S}}_{z/h} \over e_{n}+{\mathcal {S}}_{u8/u5}}$
Formule simple

$f={1 \over 1+\phi }$ $\phi ={\mathcal {S}}_{h/u}\times {R_{m}+{\mathcal {S}}_{z/h} \over e_{n}+{\mathcal {S}}_{u8/u5}}$ avec : ${\mathcal {S}}_{u8/u5}={\sigma _{u8}+2\;\sigma _{o} \over \sigma _{u5}-\sigma _{u8}}$ ${\mathcal {S}}_{h/u}={\sigma _{h}+\sigma _{o}/2 \over \sigma _{u5}-\sigma _{u8}}$ ${\mathcal {S}}_{z/h}={\sigma _{z}\times 0{,}661 \over \sigma _{h}+\sigma _{o}/2}$ Applicable pour $~2<~R_{m}<10$ $~0{,}7~\%<~e_{n}<~7~\%$

Numériquement :(cf. tableau en fin d'article)

Termes de la formule simplifiée donnant f :

{\mathcal {S}}_{h/u}\approx 4{,}901\times 10^{-4}

{\mathcal {S}}_{z/h}\approx 0{,}3624

{\mathcal {S}}_{u8/u5}\approx 3{,}957\times 10^{-3}

\phi \approx 4{,}901\times 10^{-4}\times {R_{m}+0{,}3624 \over e_{n}+3{,}957\times 10^{-3}}

Résultat:

Pour un enrichissement moyen typique de 2,283 % en masse soit 2,312 % en noyaux

un rapport de modération atomique moyen R_m typique de 4,338,

f ≈ 0,9216[Note 3]

Évaluation simplifiée du facteur p

p=~{{\text{Nombre total de neutrons parvenant au domaine (thermique)}} \over {\text{Nombre de neutrons candidats au ralentissement}}}

$p\approx \mathrm {e} ^{\left(-{\frac {\sum \limits _{i=1}^{N}N_{i}I_{r,C,i}}{\left({\overline {\xi }}\sigma _{p}\right)_{mod}}}\right)}$

Liminaires

La relation générale se simplifie un peu en considérant qu'un seul groupe de noyaux capturant : l'uranium 238 de concentration $N_{u8}$ , ce qui est le cas dans un cœur neuf ne contenant pas de plutonium.

I_{\rm {eff,u8}}

= Intégrale effective de capture résonnante en ralentissement de l'uranium 238

I_{\rm {eff,u8}}=\int \limits _{E_{\rm {th}}}^{E_{0}}{\sigma _{c,u8} \over 1+{N_{u8} \over \Sigma _{d}}\times \sigma _{c,u8}}\times {\mathrm {d} E \over E}

$-\ln(p)={N_{u8}\times I_{\rm {eff,u8}} \over \xi \times \Sigma _{d}}$ exprime la balance entre deux termes :

Le numérateur, uniquement dépendant de

N_{u8}

est une fonction croissante de

N_{u8}

; plus il y a d'atomes d'uranium 238 plus il y a de captures en ralentissement des neutrons.

Le dénominateur, uniquement dépendant de

R_{m}

, est une fonction croissante de

R_{m}

; plus il y a d'atomes d'hydrogène moins il y a de chances pour qu'un neutron soit capturé avant qu'il soit thermalisé.

La modélisation de la modération via le terme $R_{m}={N_{h} \over N_{u}}$ préférentiellement à $R_{m5}={N_{h} \over N_{u5}}$ rend indépendantes les variables $R_{m}$ et $e_{n}$ . Ainsi dans le cas typique d'une variation d'enrichissement à rapport volumique de modération constant, façon pratique de réaliser les choses en réacteur à eau, le nombre d'atomes d'uranium total n'est pas changé et le terme $R_{m}$ reste constant.

Corrélations

On peut alors appliquer les deux relations empiriques suivantes[Référence 1]^,[Référence 2] :

$I_{\rm {eff,u8}}=4{,}66\times 10^{11}\times N_{u8}^{-0{,}478}$ [Note 3], avec :

N_{u8}

en at/cm³, et,

I_{\rm {eff,u8}}

en barn

Cette relation rend compte au mieux des corrélations disponibles dans la littérature technique (cf. documents référencés ci-après) dans une large gamme de concentrations en uranium 238.

$\xi \times \Sigma _{d}=0{,}0913\times (R_{m}+0{,}01)$ [Note 3], avec

R_{m}

sans dimension et

\xi \times \Sigma _{d}

en cm⁻¹

Cette corrélation rend compte de l'évolution de

\ln(p)

en fonction de

R_{m}

, elle est cohérente avec l'ordre de grandeur des coefficients de température modérateur observés en fonctionnement et la valeur relative de l'optimum de modération par rapport aux conditions nominales de fonctionnement. (Ces valeurs sont fortement dépendantes de l'enrichissement du combustible)

Simplifications; on pose:

${\mathcal {Z}}=Z\times N_{u8}^{y}\times (R_{m}+0{,}01)^{-x}$ ,; avec $Z=5{,}104\times 10^{-12}={\frac {4{,}66\times 10^{11}\times \times 10^{-24}}{0{,}0913}}$ $x=1{,}0$ et $y=0{,}522$
Formule simple

$\ln(p)=-{\mathcal {Z}}$ $~p=\mathrm {e} ^{-{\mathcal {Z}}}$ ${\mathcal {Z}}=Z\times N_{u8}^{y}\times (R_{m}+0{,}01)^{-x}$ , avec $Z=5{,}104\times 10^{-12}$ , $x=1{,}0$ et $y=0{,}522$ avec: $N_{u8}$ en at/cm³ ${\mathcal {Z}}$ , $R_{m}$ et $p$ sans dim Applicable pour $2~<~R_{m}~<~10$ $0{,}7~\%~<~e_{n}~<~7~\%$ $10^{21}~<~N_{u8}~<~10^{22}\;{\rm {at/cm^{3}}}$

Numériquement:(cf. tableau en fin d'article)

Pour un enrichissement moyen typique de 2,362 % en noyaux, un rapport de modération atomique moyen typique de 4,352

p

≈ 0,75[Note 3]

Remarque: Le facteur p est celui qui présente l'incertitude maximale dans ce modèle simplifié.

Évaluation simplifiée du facteur ε

$\varepsilon ={\frac {\text{Nombre total de neutrons issus des fissions (candidats au ralentissement)}}{\text{Nombre de neutrons issus des fissions induites par des neutrons thermiques}}}$

Le facteur $\varepsilon$ s'estime à partir de la formule générale :

$\varepsilon =1+{1-p \over p}\times {1 \over f}\times {u_{\rm {R}}\times \nu _{\rm {R}}\times P_{\rm {RCF}} \over \nu _{\rm {T}}\times P_{\rm {TCF}}\times P_{\rm {T}}}$

avec :

$P_{\rm {TCF}}$ = Probabilité qu'un neutron thermique capturé dans le combustible fissile en neutrons thermiques génère une fission
$P_{\rm {TCF}}={\sigma _{\rm {TFu5}} \over \sigma _{\rm {TCu5}}}$ (U 235 est seul fissile en neutrons thermiques)
$P_{\rm {RCF}}$ = Probabilité qu'un neutron rapide capturé dans le combustible fissile en neutrons rapides génère une fission.
$P_{\rm {RCF}}={\sigma _{\rm {RF(u5+u8)}} \over \sigma _{\rm {RC(u5+u8)}}}$ (U 235 et 238 sont fissiles en neutrons rapides)
$u_{\rm {R}}$ = Facteur d'utilisation rapide = Probabilité qu'un neutron rapide soit capturé dans le combustible fissile en neutrons rapides plutôt que dans un autre atome.
${\Sigma _{\rm {RC(u5+u8)}} \over \sigma _{\rm {RC(u5+u8+z+o+h)}}}$
$P_{\rm {T}}$ = Probabilité de non-fuite au niveau thermique

Remarques liminaires

Dans le cas d'un réacteur thermique, le facteur ε est un terme correctif exprimant la part de fissions rapides. ε est donc une fonction décroissante de la modération (à l'équilibre de remplacement des générations de neutrons (k effectif = 1) plus le cœur est modéré moins la contribution des fissions rapides est importante pour réaliser l'équilibre).

L'uranium 235, certes préférentiellement fissile en neutrons thermiques, l'est également en neutrons rapides et même il l'est davantage que l'uranium 238 (section efficace en gros 1,5 à 2 fois plus élevée). À priori une augmentation de l'enrichissement doit conduire à une augmentation de ε, ce qui est cohérent avec la proposition ci-dessus puisqu'une augmentation de l'enrichissement implique une diminution de la modération. Cet effet doit cependant rester modéré.

Le terme ${1-p \over p}\times {1 \over f}$ qui doit rester de l'ordre de 0,3 à 0,5 constitue une preuve par neuf de cohérence de l'évaluation des facteurs $p$ , $f$ , $\varepsilon$ .

$f$ et $p$ sont déterminés par les relations données ci-dessus.

On note $\alpha$ le terme $\alpha ={u_{\rm {R}}\times \nu _{\rm {R}}\times P_{\rm {RCF}} \over \nu _{\rm {T}}\times P_{\rm {TCF}}\times P_{\rm {T}}}$

La relation empirique suivante donne α en fonction de la modération ce qui permet d'estimer ε connaissant les deux autres facteurs p et f.

Formule simple

$\alpha =0{,}137\times \mathrm {e} ^{-0{,}0546\times R_{m}}$ $\varepsilon =1+{1-p \over p}\times {1 \over f}\times \alpha$ $R_{m}$ , $p$ et $f$ sans dim Applicable pour: $2~<~R_{m}~<~10.$ $0{,}7~\%~<~e_{n}~<~7~\%$ $10^{21}~<~N_{u8}~<~10^{22}~{\rm {at/cm^{3}}}$

Remarques

La formule simple ci-dessus est potentiellement améliorable aux faibles et très fortes valeurs de $R_{m}$ .

La prise en compte dans le modèle simplifié du rapport $\;{\nu _{fission~rapide} \over \nu _{fission~thermique}}$ qui vaut grossièrement $\;\approx {2{,}47 \over 2{,}42}=1{,}021$ est bien sûr aisément possible. De facto, ce rapport qui n'est qu'une proportionnalité se trouve inclus dans le terme α.

Il pourra être recherché un éventuel terme correctif de la valeur de α en fonction de l'enrichissement du cœur.

Numériquement: (cf. tableau en fin d'article)

Pour un rapport de modération atomique moyen typique de 4,338

α ≈ 0,1081

Connaissant f ≈ 0,9216 et p ≈ 0,7572

{1-p \over p}\times {1 \over f}\approx 0{,}3479

ε ≈ 1,038

Évolution de $k_{\infty }$ et $k_{eff}$ en fonction des paramètres principaux du cœur

L'appréciation d'une modification de la constitution du réacteur sur la réactivité du cœur s'effectue en appréciant son impact sur chacun des 4 facteurs. Ceci peut être fait en utilisant les formules simplifiées.

Effet d'une variation de l'enrichissement sur les valeurs de $k_{\infty }$ et $k_{eff}$

Évolution de

k_{\infty }

en fonction de l'enrichissement du cœur

$k_{\infty }$ varie fortement avec l'enrichissement du cœur, tous les facteurs sont concernés, toutefois les facteurs f et η sont principalement impactés.

Évolution qualitative des quatre facteurs avec l'enrichissement

La courbe jointe donne par application des formules simplifiées ci-dessus l'évolution de $k_{\infty }$ en fonction de l'enrichissement du cœur entre une teneur entre l'enrichissement naturel (0,7202 % en noyaux) et la valeur maximale pratique des usines d'enrichissement.

$\eta$ augmente fortement avec l'enrichissement et rejoint une valeur maximale asymptotique pour 100 % d'enrichissement égale à $\eta =~{{\mathcal {F}}_{u5} \over 1+{\mathcal {S}}_{u8/u5}}$ de l'ordre de 2,07 . (cf. tableau en fin d'article).

\eta

est le facteur prépondérant vis-à-vis de l'enrichissement

$f$ augmente avec l'enrichissement et rejoint une valeur maximale asymptotique très proche de 1 (comprise entre 0,98 et 1) pour 100 % d'enrichissement.

Valeur asymptotique de f pour 100 % d'enrichissement

La valeur asymptotique de $f$ à 100 % d'enrichissement (théorique) dépend de $R_{m}$ suivant une fonction décroissante, mais on peut voir que même pour une valeur très élevée de $R_{m}$ , cette valeur est proche de 1:

f_{max}={1 \over 1+\phi _{max}}

\phi _{max}={\mathcal {S}}_{h/u}\times {R_{m}+{\mathcal {S}}_{z/h} \over 1+{\mathcal {S}}_{u8/u5}}={{\mathcal {S}}_{h/u} \over 1+{\mathcal {S}}_{u8/u5}}\times (R_{m}+{\mathcal {S}}_{z/h})

{{\mathcal {S}}_{h/u} \over 1+{\mathcal {S}}_{u8/u5}}<6\times 10^{-4}

{\mathcal {S}}_{z/h}<0{,}5

dans les configurations ordinaires on a certainement

R_{m}<20

\phi _{max}<0{,}0123

f_{max}>0{,}988

$p$ augmente faiblement avec l'enrichissement
$\varepsilon$ diminue faiblement avec l'enrichissement

En résumé:

le produit $f\times \eta$ varie et augmente avec l'enrichissement
le produit $p\times \varepsilon$ ne varie que très faiblement avec l'enrichissement

Aux fortes valeurs d'enrichissement (hors plage d'applicabilité des formules simplifiées) on observe:

un plafonnement de l'augmentation différentielle de réactivité vers 20 % d'enrichissement (valeur limite des réacteurs expérimentaux)
une augmentation linéaire de $k_{\infty }$ jusqu'à atteindre la valeur asymptotique à 100 % d'enrichissement.

Valeur en pcm (pour cent mille) de 1 % d'enrichissement

Une augmentation (resp. diminution) d'enrichissement massique de 1 % en valeur absolue géométriquement centrée autour de la teneur de 2,433 % massique (soit de 1,984 % à 2,984 % en masse et de 2,009 % à 3,021 % en noyaux) se traduit par une augmentation (resp. diminution) relative de 8,143 (%/%) de la valeur de $k_{\infty }$ . L'augmentation (resp. diminution) de réactivité correspondante est égale à :

\Delta \rho =100\,000\times \ln \left({1+8{,}143\;\%\times (2{,}984\;\%-2{,}464\;\%) \over 1-8{,}143\;\%\times (2{,}464\;\%-1{,}984\;\%)}\right)\approx 8212~{\rm {pcm/\%}}

Cette valeur est un ordre de grandeur car outre les incertitudes propres au modèle simplifié la valeur « du % d'enrichissement » varie très fortement avec la valeur de l'enrichissement nominal autour duquel se trouve le % en question.

Dérivée de $k_{\infty }$ avec l'enrichissement

L'expression plus complète de la variation de $k_{\infty }$ détaillée dans la boîte déroulante en fonction de l'enrichissement est la relation suivante assez lourde:

${\partial k_{\infty } \over \partial e_{n}}=k_{\infty }\times \left(f\times {\mathcal {S}}_{h/u}\times {R_{m}+{\mathcal {S}}_{z/h} \over (e_{n}+{\mathcal {S}}_{u8/u5})^{2}}+\eta \times {{\mathcal {S}}_{u8/u5} \over {\mathcal {F}}_{u5}\times h}\times {1 \over e_{n}^{2}}\right)$ Applicable pour $~0{,}3~\%~<~e_{n}~<~7~\%$

Le terme ${\mathcal {S}}_{u8/u5}<5\times 10^{-4}$ étant petit devant la valeur des enrichissements usuels on voit apparaitre au dénominateur de la dérivée de $k_{\infty }$ l'enrichissement du cœur au carré. Plus l'enrichissement augmente moins le gain relatif en réactivité est important, en revanche la masse de matière fissile est augmentée ce qui reste favorable du point de vue de l'énergie extractible du cœur.

Variation de

k_{\infty }

avec l'enrichissement toutes choses égales d'ailleurs

Liminaires

Expression générale de ${\partial k_{\infty } \over \partial e_{n}}={\partial (\varepsilon \times \eta \times p\times f) \over \partial e_{n}}\varepsilon \times \eta \times p\times f$

On simplifie la formule générale donnant la dérivée en la divisant par

\varepsilon \times \eta \times p\times f

. Il vient:

{\partial k_{\infty } \over \partial e_{n}}\times {1 \over k_{\infty }}={\partial p \over \partial e_{n}}\times {1 \over p}+{\partial f \over \partial e_{n}}+{\partial \varepsilon  \over \partial e_{n}}\times {1 \over \varepsilon }+{\partial \eta  \over \partial e_{n}}\times {1 \over \eta }

On évalue chacun des quatre termes ci-dessus ce qui fait apparaître deux groupes :

le premier groupe

\varepsilon \times p

varie faiblement avec l'enrichissement

le second groupe

\eta \times f

varie fortement

Dans l'exemple typique décrit on montre qu'il est loisible pour décrire qualitativement la variation de $k_{\infty }$ en fonction de l'enrichissement de faire l'hypothèse que le premier groupe $\varepsilon \times p$ est invariant.

Évaluation de la dérivée de chacun des facteurs

Facteur p

\ln(p)=-Z\times N_{u8}^{y}\times (R_{m}+0{,}01)^{-x}=-Z\times (N_{u}\times (1-e_{n}))^{y}\times (R_{m}+0{,}01)^{-x}=-Z\times N_{u}^{y}\times (R_{m}+0{,}01)^{-x}\times (1-e_{n})^{y}

Z\times N_{u}^{y}\times (R_{m}+0{,}01)^{-x}

est constant dans la variation d'enrichissement

{\partial p \over \partial e_{n}}=p\times (-Z\times N_{u}^{y}\times (R_{m}+0{,}01)^{-x})\times y\times (1-e_{n})^{y-1}\times (-1)=p\times (-\ln(p))\times y\times (1-e_{n})^{-1}

{\partial p \over \partial e_{n}}\times {1 \over p}=(-\ln(p))\times y\times (1-e_{n})^{-1}

Numériquement:

Cf. tableau de résultats en fin d'article

Le facteur p est constant au 1^er ordre, faiblement croissant avec l'enrichissement, au voisinage de

e_{n}=2{,}464\;\%

et

R_{m}=4{,}120

Une augmentation (resp. diminution) d'enrichissement massique de 1 % en valeur absolue géométriquement centrée autour de la teneur de 2,433 % (soit de 1,984 % à 2,984 % en masse et de 2,009 % à 3,021 % en noyaux) se traduit par une augmentation (resp. diminution) relative de 0,1539 % de p.

En généralisant à un grand nombre de cas potentiels,

p~>~0{,}5

et

e_{n}~<~7\;\%

donc :

{\partial p \over \partial e_{n}}\times {1 \over p}<0{,}4~(\%/\%)

Facteur f

f={1 \over 1+\phi }

\phi ={\mathcal {S}}_{h/u}\times {R_{m}+{\mathcal {S}}_{z/h} \over e_{n}+{\mathcal {S}}_{u8/u5}}

{\partial f \over \partial e_{n}}=-\left({1 \over 1+\phi }\right)^{2}\times {\partial \phi  \over \partial e_{n}}=-f^{2}\times {\partial \phi  \over \partial e_{n}}

{\partial \phi  \over \partial e_{n}}=-{\mathcal {S}}_{h/u}\times {R_{m}+{\mathcal {S}}_{z/h} \over (e_{n}+{\mathcal {S}}_{u8/u5})^{2}}

{\partial f \over \partial e_{n}}=f^{2}\times {\mathcal {S}}_{h/u}\times {R_{m}+{\mathcal {S}}_{z/h} \over (e_{n}+{\mathcal {S}}_{u8/u5})^{2}}

{\partial f \over \partial e_{n}}\times {1 \over f}=f\times {\mathcal {S}}_{h/u}\times {(R_{m}+{\mathcal {S}}_{z/h}) \over (e_{n}+{\mathcal {S}}_{u8/u5})^{2}}

pour

R_{m}=4{,}120

et

e_{n}=2{,}464\;\%

{\partial f \over \partial e_{n}}=0{,}929^{2}\times 3{,}949\times 10^{-3}\times {4{,}120+0{,}3641 \over (0{,}024\,64+4{,}314\times 10^{-3})^{2}}=2{,}320

{\partial f \over \partial e_{n}}\times {1 \over f}=2{,}498~(\%/\%)

Numériquement:

Cf. tableau de résultats en fin d'article

Le facteur f est fortement croissant au voisinage au voisinage de

e_{n}=2{,}464\;\%

et

R_{m}=4{,}120

Une augmentation (resp. diminution) d'enrichissement massique de 1 % en valeur absolue géométriquement centrée autour de la teneur de 2,433 % (soit de 1,984 % à 2,984 % en masse et de 2,009 % à 3,021 % en noyaux) se traduit par une augmentation (resp. diminution) relative de 2,528 % de f.

Facteur ε

\varepsilon =1+{1-p \over p}\times {1 \over f}\times \alpha =1+\alpha \times \left({1 \over p\times f}-{1 \over f}\right)

\alpha =0{,}135\times \mathrm {e} ^{0{,}0535\times R_{m}}=0{,}108

{\partial \varepsilon  \over \partial e_{n}}=\alpha \times \left({1 \over f^{2}}\times {\partial f \over \partial e_{n}}-{1 \over p^{2}\times f^{2}}\times \left(p\times {\partial f \over \partial e_{n}}+f\times {\partial p \over \partial e_{n}}\right)\right)

{\partial \varepsilon  \over \partial e_{n}}=\alpha \times \left({1 \over f^{2}}\times \left(1-{1 \over p}\right)\times {\partial f \over \partial e_{n}}-{1 \over p^{2}\times f}\times {\partial p \over \partial e_{n}}\right)

{\partial \varepsilon  \over \partial e_{n}}\times {1 \over \varepsilon }={1 \over \varepsilon }\times \alpha \times \left({1 \over f^{2}}\times \left(1-{1 \over p}\right)\times {\partial f \over \partial e_{n}}-{1 \over p^{2}\times f}\times {\partial p \over \partial e_{n}}\right)

Numériquement:

Cf. tableau de résultats en fin d'article

Le facteur &epilon; est constant au 1^er ordre, faiblement décroissant avec l'enrichissement, au voisinage de

e_{n}=2{,}464\;\%

et

R_{m}=4{,}120

.

Une augmentation (resp. diminution) d'enrichissement massique de 1 % en valeur absolue géométriquement centrée autour de la teneur de 2,433 % (soit de 1,984 % à 2,984 % en masse et de 2,009 % à 3,021 % en noyaux) se traduit par une diminution (resp. augmentation)relative de 0,1165 % de ε.

Facteur η

\eta =~{{\mathcal {F}}_{u5} \over 1+{{\mathcal {S}}_{u8/u5} \over e_{n}}}\times h

; avec

h

= correctif fonction de R

{\partial \eta  \over \partial e_{n}}={\mathcal {F}}_{u5}\times \left({1 \over 1+{{\mathcal {S}}_{u8/u5} \over e_{n}}}\right)^{2}\times {\mathcal {S}}_{u8/u5}\times {1 \over e_{n}^{2}}\times c=\eta ^{2}\times {{\mathcal {S}}_{u8/u5} \over {\mathcal {F}}_{u5}}\times {1 \over e_{n}^{2}}\times {1 \over h}

{\partial \eta  \over \partial e_{n}}\times {1 \over \eta }=\eta \times {{\mathcal {S}}_{u8/u5} \over {\mathcal {F}}_{u5}}\times {1 \over e_{n}^{2}}\times {1 \over h}

Numériquement:

Cf. tableau de résultats

Le facteur η est fortement croissant avec l'enrichissement au voisinage de

e_{n}=2{,}464\;\%

et

R_{m}=4{,}120

.

\eta

est le facteur prépondérant vis à vis d'une variation d'enrichissement.

Une augmentation (resp. diminution) d'enrichissement massique de 1 % en valeur absolue géométriquement centrée autour de la teneur de 2,433 % (soit de 1,984 % à 2,984 % en masse et de 2,009 % à 3,021 % en noyaux) se traduit par une augmentation(resp. diminution)relative de 5,68 % de η.

Bilan en réactivité de chacun des deux groupes

Produit $p\times \varepsilon$

pour

R_{m}=4{,}120

et

e_{n}=2{,}464\;\%

{\partial \varepsilon \times p \over \partial e_{n}}\times {1 \over \varepsilon \times p}={\partial p \over \partial e_{n}}\times {1 \over p}+{\partial \varepsilon  \over \partial e_{n}}

Une augmentation (resp. diminution) d'enrichissement massique de 1 % en valeur absolue géométriquement centrée autour de la teneur de 2,433 % (soit de 1,984 % à 2,984 % en masse et de 2,009 % à 3,021 % en noyaux) se traduit par une augmentation (resp. diminution) relative de 0,0374 % du produit p \times ε

L'augmentation (resp. diminution) de réactivité correspondante s'écrit:

\Delta \rho =100\,000\times \ln {\left({\frac {1+(0{,}030\,21-0{,}024\,64)\times 0{,}037\,44}{1-(0{,}030\,21-0{,}024\,64)\times 0{,}037\,44}}\right)}=37{,}8~{\rm {pcm}}

ce qui est très faible

Produit f × η

pour

R_{m}=4{,}120

et

e_{n}=2{,}464\;\%

{\partial \eta \times f \over \partial e_{n}}\times {1 \over \partial \eta \times f}={\partial f \over \partial e_{n}}\times {1 \over f}+{\partial \eta  \over \partial e_{n}}\times {1 \over \eta }

${\partial \eta \over \partial e_{n}}\times {1 \over \eta }=6{,}048~(\%/\%)$

Une augmentation (resp. diminution) d'enrichissement massique de 1 % en valeur absolue géométriquement centrée autour de la teneur de 2,433 % (soit de 1,984 % à 2,984 % en masse et de 2,009 % à 3,021 % en noyaux) se traduit par une augmentation (resp. diminution) relative de 8,203 % du produit f \times η; L'augmentation (resp. diminution) de réactivité correspondante s'écrit:; $\Delta \rho =100\,000\times \ln \left({1+4{,}519\;\% \over 1-3{,}685\;\%}\right)=8\,175~{\rm {pcm}}$; L'essentiel de la variation de réactivité provient du produit f × η , la variation de p × ε pouvant être négligée.
Formule générale de la dérivée de $k_{\infty }$ en fonction de $e_{n}$

$k_{\infty }=\left(\varepsilon \times p\right)\times \left(\eta \times f\right)$ ; on retient l'hypothèse d'une invariance de $k_{\infty }=\varepsilon \times p$
${\partial k_{\infty } \over \partial e_{n}}=\left(\varepsilon \times p\right)\times \left(\eta \times {\partial f \over \partial e_{n}}+f\times {\partial \eta \over \partial e_{n}}\right)$
${\partial \eta \over \partial e_{n}}=\eta ^{2}\times {{\mathcal {S}}_{u8/u5} \over {\mathcal {F}}_{u5}}\times {1 \over e_{n}^{2}}\times {1 \over h}$
${\partial f \over \partial e_{n}}=f^{2}\times {\mathcal {S}}_{h/u}\times {(R_{m}+{\mathcal {S}}_{z/h}) \over (e_{n}+{\mathcal {S}}_{u8/u5})^{2}}$
$\left(\eta \times {\partial f \over \partial e_{n}}+f\times {\partial \eta \over \partial e_{n}}\right)=\left(\eta \times f^{2}\times {\mathcal {S}}_{h/u}\times {(R_{m}+{\mathcal {S}}_{z/h}) \over (e_{n}+{\mathcal {S}}_{u8/u5})^{2}}+f\times \eta ^{2}\times {{\mathcal {S}}_{u8/u5} \over {\mathcal {F}}_{u5}}\times {1 \over e_{n}^{2}}\times {1 \over h}\right)$
$\left(\eta \times {\partial f \over \partial e_{n}}+f\times {\partial \eta \over \partial e_{n}}\right)=\eta \times f\times \left(f\times {\mathcal {S}}_{h/u}\times {(R_{m}+{\mathcal {S}}_{z/h}) \over (e_{n}+{\mathcal {S}}_{u8/u5})^{2}}+\eta \times {{\mathcal {S}}_{u8/u5} \over {\mathcal {F}}_{u5}\times h}\times {1 \over e_{n}^{2}}\right)$
${\partial k_{\infty } \over \partial e_{n}}=\left(\varepsilon \times p\right)\times \left(\eta \times f\times \left(f\times {\mathcal {S}}_{h/u}\times {(R_{m}+{\mathcal {S}}_{z/h}) \over (e_{n}+{\mathcal {S}}_{u8/u5})^{2}}+\eta \times {{\mathcal {S}}_{u8/u5} \over {\mathcal {F}}_{u5}\times h}\times {1 \over e_{n}^{2}}\right)\right)$
${\partial k_{\infty } \over \partial e_{n}}=k_{\infty }\times \left(f\times {\mathcal {S}}_{h/u}\times {(R_{m}+{\mathcal {S}}_{z/h}) \over (e_{n}+{\mathcal {S}}_{u8/u5})^{2}}+\eta \times {{\mathcal {S}}_{u8/u5} \over {\mathcal {F}}_{u5}\times h}\times {1 \over e_{n}^{2}}\right)$

Grandeurs invariantes avec l'enrichissement

Les grandeurs suivantes sont invariantes avec l'enrichissement du cœur (valeurs numériques données dans le tableau en fin d'article).

Volume du cœur
Volume d'oxyde d'uranium
Nombre de moles d'uranium dans le cœur
Concentration volumique des atomes d'uranium
Volume d'eau primaire dans le cœur
Température moyenne de l'eau primaire dans le cœur
Masse volumique de l'eau aux conditions nominales
Masse d'eau primaire
Concentration des atomes d'hydrogène
Rapport molaire de modération

Dans la variation d'enrichissement le nombre total d'atomes d'uranium reste constant, en revanche la masse d'uranium change. Dans le réseau cristallin de l'oxyde d'uranium les atomes d'uranium 238 sont remplacés par des atomes d'uranium 235 en cas d'augmentation de l'enrichissement (et inversement en cas de diminution de l'enrichissement).

L'invariance du nombre d'atomes d'uranium dans la variation d'enrichissement assure complètement l'indépendance des deux variables $R_{m}$ et $e_{n}$

Invariance du nombre d'atomes d'uranium dans la variation d'enrichissement

Exemple de calcul dans le cas d'une augmentation de 1 % d'enrichissement massique qui passe de 2,433 % à 3,433 %

Données et notations

Enrichissement massique en uranium 235 = $e_{m}$ = 2,433 %
Enrichissement atomique (en noyaux ou molaire) en uranium 235 = $e_{n}$
$M_{uo2}$ = Masse d'oxyde d'uranium
$\rho _{uo2}$ = Masse volumique de l'oxyde d'uranium
$V_{uo2}$ = Volume d'oxyde d'uranium
$N_{u5},N_{u8},N_{u},N_{uo2}$ = Nombre de moles d'U5, d'U8, d'oxyde d'uranium
On note « prime » avec une apostrophe les grandeurs relatives au cas où l'uranium est enrichi à 3,333 %

Calcul préliminaire: Enrichissement massique et molaire

L'enrichissement en noyaux et l'enrichissement massique sont liés par les relations :

$e_{n}={e_{m} \over e_{m}+{{\mathcal {M}}_{U8} \over {\mathcal {M}}_{U5}}\cdot (1-e_{m})}$ et $e_{m}={e_{n} \over e_{n}+{{\mathcal {M}}_{U5} \over {\mathcal {M}}_{U8}}\cdot (1-e_{n})}$

$e_{n}={2{,}333 \over 2{,}333+{235{,}043\,93 \over 238{,}050\,78}(100-2{,}333)}=2{,}464\;\%$

$e_{n}'=3{,}476\;\%$
Dans l'augmentation de l'enrichissement du cœur le volume d'oxyde d'uranium est invariant (à même température de fonctionnement, les pastilles d'oxyde d'uranium conservent un diamètre constant et la hauteur combustible est la même) :

La masse atomique de l'uranium varie :

${\mathcal {M}}_{U}={\mathcal {M}}_{U5}\cdot e_{n}+{\mathcal {M}}_{U8}\cdot (1-e_{n})$

${\mathcal {M}}_{U}=235{,}043\,93\times 2{,}464\;\%+238{,}050\,78(1-2{,}464\;\%)=237{,}976\,7\;{\rm {g/mol}}$

${\mathcal {M}}_{U}'=237{,}946\,3\;{\rm {g/mol}}$
La masse molaire de l'oxyde d'uranium change :
${\mathcal {M}}_{UO2}={\mathcal {M}}_{U}+2{\mathcal {M}}_{O}=237{,}976\,7+2\times 15{,}999\,4=269{,}975\,5\;{\rm {g/mol}}$

${\mathcal {M}}_{UO2}'=269{,}945\,1\;{\rm {g/mol}}$

La masse volumique de l'oxyde d'uranium change :

$\rho _{uo2}\div {\mathcal {M}}_{UO2}$

{\rho _{uo2}' \over \rho _{uo2}}={{\mathcal {M}}_{UO2}' \over {\mathcal {M}}_{UO2}}={269{,}945\,1 \over 269{,}975\,5}=0{,}999\,887

La masse d'oxyde d'uranium change :

$M_{uo2}\div \rho _{uo2}$

{M_{uo2}' \over M_{uo2}}=0{,}999\,887

En revanche, le nombre de moles d'uranium (i.e. le nombre d'atomes) ne change pas ; en effet :
${N_{uo2}' \over N_{uo2}}={{M_{uo2}' \over {\mathcal {M}}_{UO2}'} \over {M_{uo2} \over {\mathcal {M}}_{UO2}}}={M_{uo2}' \over M_{uo2}}\cdot {{\mathcal {M}}_{UO2} \over {\mathcal {M}}_{UO2}'}={V_{uo2}\times \rho _{uo2}' \over V_{uo2}\times \rho _{uo2}}\cdot {{\mathcal {M}}_{UO2} \over {\mathcal {M}}_{UO2}'}$

${N_{uo2}' \over N_{uo2}}={\rho _{uo2}' \over \rho _{uo2}}\cdot {{\mathcal {M}}_{UO2} \over {\mathcal {M}}_{UO2}'}={{\mathcal {M}}_{UO2}' \over {\mathcal {M}}_{UO2}}\cdot {{\mathcal {M}}_{UO2} \over {\mathcal {M}}_{UO2}'}=1$
Les nombres de moles d'uranium 235 et 238 varient :
$N_{u5}=N_{u}\cdot e_{n}$

{N_{u5}' \over N_{u5}}={e_{n}' \over e_{n}}={3{,}476\;\% \over 2{,}464\;\%}=1{,}410\,8

$N_{u8}=N_{u}\cdot (1-e_{n})$

{N_{u8}' \over N_{u8}}={1-e_{n}' \over e_{n}'}={100\;\%-3{,}476\;\% \over 100\;\%-2{,}464\;\%}=0{,}989\,6

Évolution de $k_{\infty }$ avec la modération - Optimum de modération - Coefficient de température modérateur - Condition de stabilité - Reprise froid chaud

Les relations simplificatrices données ci-dessus permettent de fournir une description qualitative de la variation de $k_{\infty }~=~\varepsilon \times p\times f\times \eta$ avec la modération à enrichissement donné du cœur, et notamment les points suivant qui sont déterminant de la conception du cœur :

Optimum de modération et condition de stabilité;
Coefficient de température du modérateur et reprise froid-chaud.

Optimum de modération et condition de stabilité du cœur

Évolution des facteurs en fonction de la modération du cœur. Le facteur η qui varie peu avec la modération n'est pas figuré

Remarque liminaire - Éléments qualitatifs

L'expression générale de ${\partial k_{\infty } \over \partial R_{m}}$ est lourde elle se simplifie toutefois légèrement :

k_{\infty }~=~\varepsilon \times p\times f\times \eta

.On remplace ε par sa valeur

k_{\infty }~=~(1+{1-p \over p}\times {1 \over f}\times \alpha )\times p\times f\times \eta

k_{\infty }~=~(~p\times f~+~(1-p)\times \alpha ~)\times \eta

\eta

est indépendant au 1^er ordre de la modération (cf. ci-dessus facteur η)

\alpha

est petit ( α = 0,125 pour R_m = 1,5 et 0,0605 pour R_m = 15 )

(1-p)

ne dépasse pas ≈ 0,5 pour NU8 = 1,5 × 10²² at/cm³ et R_m = 1,5 ; donc le produit

\alpha \times (1-p)

est petit devant

f\times p

, on le néglige dans la recherche du maximum de

k_{\infty }

Ces hypothèses reviennent de facto à considérer que

\varepsilon

et

\eta

sont invariants avec la modération, ce qui est correctement vérifié avec toutefois une incertitude 0,2 unité de

R_{m}

Ainsi donc au 1^er ordre :

p

est croissant avec

R_{m}

f

est décroissant avec

R_{m}

,

k_{\infty }

présente un maximum en fonction de

R_{m}

, pour le couple

p,\;f

tel que :

{\partial k_{\infty } \over \partial R_{m}}\approx \eta \times (f\times {\partial p \over \partial R_{m}}+p\times {\partial f \over \partial R_{m}})=0

Recherche graphique de l'optimum de modération

Le produit $p\times f$ présente un maximum pour $R_{max}$ voisin de 8 ce qui rend compte de l'effet de maximum.Q

Recherche analytique de l'optimum de modération

Il est possible de trouver une formulation analytique de l'optimum de modération en fonction des différents paramètres ce qui peut permettre une étude paramétrique simple. $R_{max}$ est donné par la relation [Note 7]

$R_{max}\approx \left[Z\times x\times N_{u8}^{y}\times \left(R_{m0}+\left({e_{n}+{\mathcal {S}}_{u8/u5}+{\mathcal {S}}_{h/u}\times {\mathcal {S}}_{z/h} \over {\mathcal {S}}_{h/u}}\right)\right)\right]^{1/(1+x)}-0{,}01$ avec $R_{m0}$ ; valeur estimée du maximum de modération proche de $2\times R_{m}$

Ceci permet de retrouver quelques éléments de tendance importants :

L'optimum de modération augmente avec l'enrichissement:

Une augmentation (resp. diminution) de 1 % de l'enrichissement autour du point moyen de 2,433 % en masse, augmente (resp.diminue ) le rapport

{R_{max} \over R_{m}}

d'environ 10 %. Plus le cœur est enrichi plus il est « naturellement » stable, plus il est facile de le rendre auto-stable.

Dans la plage des enrichissements équivalents en usage sur les REP électrogènes donc entre 1,5 et 3,5 % d'enrichissement les ordres de grandeurs usuels sont restitués par le modèle simple.

La plage des faibles enrichissements conduit comme cela est normale à des configurations instables:

Un cœur enrichi à moins de 1,27 % en noyaux est stable à chaud mais ne vérifie pas la condition de stabilité à froid.

1,12 % apparaît comme la limite inférieure d'enrichissement autorisant la divergence à chaud avec une marge d'exploitation suffisante (

k_{\infty }

> 1,05 ). Mais ceci n 'est réalisé que pour un rapport de modération proche de l'optimum, donc dans une configuration non stable.

La plage des forts enrichissements apparait correctement modélisée; la marge en réactivité importante est utilisable pour décrire le contrôle à l'acide borique.

Ces constats recoupent les dispositions prises sur les RBMK après l'accident de Tchernobyl où une augmentation de l'enrichissement utilisé a permis de rendre stable le cœur qui ne l'était pas antérieurement

Recherche analytique de l'optimum de modération du cœur

Données - notations : (cf. tableau en fin d'article)

p=\mathrm {e} ^{-{\mathcal {Z}}}

{\mathcal {Z}}=Z\times (R_{m}+0{,}01)^{-x}\times N_{u8}^{y}

,

{\mathcal {S}}_{h/u}={\sigma _{h}+\sigma _{o}/2 \over \sigma _{u5}-\sigma _{u8}}

{\mathcal {S}}_{z/h}={\sigma _{z}\times 0{,}661 \over \sigma _{h}+\sigma _{o}/2}

{\mathcal {S}}_{u8/u5}={\sigma _{u8}+2\;\sigma _{o} \over \sigma _{u5}-\sigma _{u8}}

{\partial p \over \partial R_{m}}=p\times Z\times N_{u8}^{y}\times x\times (R_{m}+0{,}01)^{-(1+x)}

\ln(p)=-Z\times N_{u8}^{y}\times (R_{m}+0{,}01)^{-x}

{\partial p \over \partial R_{m}}=-p\times \ln(p)\times x\times (R_{m}+0{,}01)^{-1}

$f={1 \over 1+\phi }$

\phi ={\mathcal {S}}_{h/u}\times \left({R_{m}+{\mathcal {S}}_{z/h} \over e_{n}+{\mathcal {S}}_{u8/u5}}\right)

{\partial f \over \partial R_{m}}=-\left({1 \over 1+\phi }\right)^{2}\times {\partial \phi  \over \partial R_{m}}=-f^{2}\times {\partial \phi  \over \partial R_{m}}

{\partial \phi  \over \partial R_{m}}={{\mathcal {S}}_{h/u} \over e_{n}+{\mathcal {S}}_{u8/u5}}

{\partial f \over \partial R_{m}}=-f^{2}\times {{\mathcal {S}}_{h/u} \over e_{n}+{\mathcal {S}}_{u8/u5}}

$f\times {\partial p \over \partial R_{m}}+p\times {\partial f \over \partial R_{m}}=0$

f(-p)\ln(p)\times x\times (R_{m}+0{,}01)^{-1}+p\times (-f^{2})\times \left({{\mathcal {S}}_{h/u} \over e_{n}+{\mathcal {S}}_{u8/u5}}\right)=0

-\ln(p)\times x\times (R_{m}+0{,}01)^{-1}=f\times \left({{\mathcal {S}}_{h/u} \over e_{n}+{\mathcal {S}}_{u8/u5}}\right)

-{(R_{m}+0{,}01) \over \ln(p)\times x}=(1+\phi )\times \left({e_{n}+{\mathcal {S}}_{u8/u5} \over {\mathcal {S}}_{h/u}}\right)

${(R_{m}+0{,}01) \over \ln(p)\times x}=-{(R_{m}+1)^{1+x} \over Z\times x\times N_{u8}^{y}}$
$(1+\phi )\times \left({e_{n}+{\mathcal {S}}_{u8/u5} \over {\mathcal {S}}_{h/u}}\right)=\left({e_{n}+{\mathcal {S}}_{u8/u5} \over {\mathcal {S}}_{h/u}}\right)\times \left[1+{\mathcal {S}}_{h/u}\times \left({R_{m}+{\mathcal {S}}_{z/h} \over e_{n}+{\mathcal {S}}_{u8/u5}}\right)\right]$

\left[1+{\mathcal {S}}_{h/u}\times \left({R_{m}+{\mathcal {S}}_{z/h} \over e_{n}+{\mathcal {S}}_{u8/u5}}\right)\right]\times \left({e_{n}+{\mathcal {S}}_{u8/u5} \over {\mathcal {S}}_{h/u}}\right)=R_{m}+\left({e_{n}+{\mathcal {S}}_{u8/u5}+{\mathcal {S}}_{h/u}\times {\mathcal {S}}_{z/h} \over {\mathcal {S}}_{h/u}}\right)

soit à résoudre :

{(R_{m}+0{,}01)^{1+x} \over Z\times x\times N_{u8}^{y}}=R_{m}+\left({e_{n}+{\mathcal {S}}_{u8/u5}+{\mathcal {S}}_{h/u}\times {\mathcal {S}}_{z/h} \over {\mathcal {S}}_{h/u}}\right)

{1 \over Z\times x\times N_{u8}^{y}}\approx 2

\left({e_{n}+{\mathcal {S}}_{u8/u5}+{\mathcal {S}}_{h/u}\times {\mathcal {S}}_{z/h} \over {\mathcal {S}}_{h/u}}\right)\approx 58{,}7

Le terme : $R_{m}\approx 8$ est petit devant $2\times (R_{m}+0{,}01)^{1{,}667}$ et devant $58{,}7$ ; on le suppose en un premier temps constant et égal à la valeur estimée grossièrement du résultat notée $R_{m0}=7$ .

(R_{m}+0{,}01)^{1+x}=Z\times x\times N_{u8}^{y}\times \left[R_{m0}+\left({e_{n}+{\mathcal {S}}_{u8/u5}+{\mathcal {S}}_{h/u}\times {\mathcal {S}}_{z/h} \over {\mathcal {S}}_{h/u}}\right)\right]

$R_{max}\approx \left[Z\times x\times N_{u8}^{y}\times \left(R_{m0}+\left({e_{n}+{\mathcal {S}}_{u8/u5}+{\mathcal {S}}_{h/u}\times {\mathcal {S}}_{z/h} \over {\mathcal {S}}_{h/u}}\right)\right)\right]^{1/(1+x)}-0{,}01$ avec $R_{m0}$ ; valeur estimée du maximum de modération proche de $2\times R_{m}$

Numériquement :

1^re estimation :

R_{m1}=8{,}06

une itération donne :

R_{m}=8{,}13

valeur au 1^er ordre compte tenu des incertitudes existantes sur les équations simplifiées du modèle donnant p et f.

Suivant les valeurs des différents termes et la précision recherchée, un peu illusoire de toute façon, le calcul itératif ci-dessus est ou non nécessaire.

Condition de stabilité du cœur

Le cœur est stable si ${\partial k_{\infty } \over \partial R_{m}}>0$ . En effet toute augmentation de température du cœur provoque une diminution de $R_{m}$ par dilatation de l'eau contenue dans le cœur.

Ceci conduit à la relation:

$x>{(R_{m}+0{,}01)^{1+x} \over Z\times N_{u8}^{y}}\times \left({{\mathcal {S}}_{h/u} \over e_{n}+{\mathcal {S}}_{u8/u5}+{\mathcal {S}}_{h/u}\times (R_{m}+{\mathcal {S}}_{z/h})}\right)$

Cette inégalité doit être vérifiée sur toute la plage de fonctionnement du réacteur :

à chaud conditions nominales

R_{m}\approx 4{,}14

x>\approx 0{,}229

à froid

R_{m}\approx 5{,}63

x>\approx 0{,}373

durant toute l'exploitation donc avec une consommation de matière fissile équivalent au 1^er ordre à une réduction de l'enrichissement.

Plus l'enrichissement du cœur est élevé plus la condition de stabilité est aisée à satisfaire. Parmi les modifications apportées aux RBMK pour les rendre stables en toutes circonstances une a consisté à augmenter l'enrichissement du cœur.

Condition de stabilité du cœur

$\varepsilon$ et $\eta$ sont invariants avec $R_{m}$
${\partial k_{\infty } \over \partial R_{m}}\approx \eta \times \varepsilon \times \left(f\times {\partial p \over \partial R_{m}}+p\times {\partial f \over \partial R_{m}}\right)>0$

{\partial p \over \partial R_{m}}=-p\times \ln(p)\times x\times (R_{m}+0{,}01)^{-1}

{\partial f \over \partial R_{m}}=-f^{2}\times \left({{\mathcal {S}}_{h/u} \over e_{n}+{\mathcal {S}}_{u8/u5}}\right)

Condition de stabilité du cœur: $f\times {\partial p \over \partial R_{m}}+p\times {\partial f \over \partial R_{m}}>0$

f\times (-p)\times \ln(p)\times x\times (R_{m}+0{,}01)^{-1}+p\times (-f^{2})\times \left({{\mathcal {S}}_{h/u} \over e_{n}+{\mathcal {S}}_{u8/u5}}\right)>0

\ln(p)\times x\times (R_{m}+0{,}01)^{-1}+f\times \left({{\mathcal {S}}_{h/u} \over e_{n}+{\mathcal {S}}_{u8/u5}}\right)<0

\ln(p)\times x\times (R_{m}+0{,}01)^{-1}<-f\times \left({{\mathcal {S}}_{h/u} \over e_{n}+{\mathcal {S}}_{u8/u5}}\right)

\ln(p)\times x<-f\times (R_{m}+0{,}01)\times \left({{\mathcal {S}}_{h/u} \over e_{n}+{\mathcal {S}}_{u8/u5}}\right)

(

\ln(p)<0

)

x>{f\times (R_{m}+0{,}01) \over (-\ln(p))}\times \left({{\mathcal {S}}_{h/u} \over e_{n}+{\mathcal {S}}_{u8/u5}}\right)

Condition de stabilité première formulation:

$x>{f\times (R_{m}+0{,}01) \over (-\ln(p))}\times \left({{\mathcal {S}}_{h/u} \over e_{n}+{\mathcal {S}}_{u8/u5}}\right)$

En remplaçant : $\ln(p)$ et : $f$ par leur valeur on obtient la relation importante:

x>{{1 \over 1+\phi }\times (R_{m}+0{,}01) \over Z\times (R_{m}+0{,}01)^{-x}\times N_{u8}^{y}}\times \left({{\mathcal {S}}_{h/u} \over e_{n}+{\mathcal {S}}_{u8/u5}}\right)

x>{(R_{m}+0{,}01)^{1+x} \over Z\times N_{u8}^{y}}\times {1 \over 1+\phi }\times \left({{\mathcal {S}}_{h/u} \over e_{n}+{\mathcal {S}}_{u8/u5}}\right)

1+\phi =1+{\mathcal {S}}_{h/u}\times \left({R_{m}+{\mathcal {S}}_{z/h} \over e_{n}+{\mathcal {S}}_{u8/u5}}\right)={e_{n}+{\mathcal {S}}_{u8/u5}+{\mathcal {S}}_{h/u}\times (R_{m}+{\mathcal {S}}_{z/h}) \over e_{n}+{\mathcal {S}}_{u8/u5}}

x>{(R_{m}+0{,}01)^{1+x} \over Z\times N_{u8}^{y}}\times {e_{n}+{\mathcal {S}}_{u8/u5} \over e_{n}+{\mathcal {S}}_{u8/u5}++{\mathcal {S}}_{h/u}\times (R_{m}+{\mathcal {S}}_{z/h})}\times \left({{\mathcal {S}}_{h/u} \over e_{n}+{\mathcal {S}}_{u8/u5}}\right)

x>{(R_{m}+0{,}01)^{1+x} \over Z\times N_{u8}^{y}}\times \left({{\mathcal {S}}_{h/u} \over e_{n}+{\mathcal {S}}_{u8/u5}+{\mathcal {S}}_{h/u}\times (R_{m}+{\mathcal {S}}_{z/h})}\right)

Condition de stabilité deuxième formulation:

$x>{(R_{m}+0{,}01)^{1+x} \over Z\times N_{u8}^{y}}\times \left({{\mathcal {S}}_{h/u} \over e_{n}+{\mathcal {S}}_{u8/u5}+{\mathcal {S}}_{h/u}\times (R_{m}+{\mathcal {S}}_{z/h})}\right)$

Numériquement

$x>{(4{,}142+0{,}01)^{1+0{,}425} \over 2{,}148\times 10^{-12}\times (6{,}59\times 10^{21})^{0{,}522}}\times \left({5{,}482\times 10^{-4} \over 2{,}464\;\%+4{,}314\times 10^{-3}+5{,}482\times 10^{-4}\times (4{,}142+0{,}3244)}\right)$

$x>\approx 0{,}252$

La condition dot également être vérifiée réacteur froid donc avec une valeur de $R_{m}$ plus élevée du fait de la plus grande masse volumique de l'eau $R_{m}\approx 5{,}63$ et une concentration en atomes d'uranium 238 légèrement plus élevée du fait de la réduction de volume du cœur, ce qui conduit à $x>\approx 0{,}376$

Coefficient de température modérateur - Reprise de réactivité "froid-chaud"

Coefficient modérateur

La modélisation de la variation de $k_{\infty }$ en fonction de $R_{m}$ permet d'apprécier le coefficient de réactivité de température du modérateur dont l'importance est déterminante pour le fonctionnement puisqu'il autorise l'auto-stabilité du réacteur à eau pressurisée.

La valeur trouvée avec le modèle simplifié est de - 37,8 pcm/°C.

Évaluation du coefficient de réactivité du modérateur

Évaluation de ${\partial k_{\infty } \over \partial R_{m}}$

{\partial k_{\infty } \over \partial R_{m}}\approx \eta \times \varepsilon \times (f\times {\partial p \over \partial R_{m}}+p\times {\partial f \over \partial R_{m}})>0

on a vu ci-avant que:

{\partial p \over \partial R_{m}}=-p\times \ln(p)\times x\times (R_{m}+0{,}01)^{-1}

{\partial f \over \partial R_{m}}=-f^{2}\times \left({{\mathcal {S}}_{h/u} \over e_{n}+{\mathcal {S}}_{u8/u5}}\right)

{\partial k_{\infty } \over \partial R_{m}}\approx \eta \times \varepsilon \times (f\times (-p)\times \ln(p)\times x\times (R_{m}+0{,}01)^{-1}-p\times f^{2}\times \left({{\mathcal {S}}_{h/u} \over e_{n}+{\mathcal {S}}_{u8/u5}}\right)

{\partial k_{\infty } \over \partial R_{m}}\approx 1{,}753\times 1{,}039\times (0{,}922\times (-0{,}75)\times \ln(0{,}75)\times 0{,}425\times (4{,}142+0{,}01)^{-1}-0{,}75\times 0{,}922^{2}\times \left({5{,}482\times 10^{-4} \over 0{,}024\,64+4{,}3141\times 10^{-3}}\right)

{\partial k_{\infty } \over \partial R_{m}}\approx 1{,}753\times 1{,}039\times (0{,}922\times (-0{,}75)\times \ln(0{,}75)\times 0{,}425\times (4{,}142+0{,}01)^{-1}-0{,}75\times 0{,}922^{2}\times \left({5{,}482\times 10^{-4} \over 0{,}024\,64+4{,}314\times 10^{-3}}\right)=0{,}015\,11

{\partial k_{\infty } \over \partial R_{m}}\approx =0{,}015\,11~(uk_{\infty }/uR_{m})

Évaluation de ${\partial R_{m} \over \partial T_{m}}$ :

T_{m}

= Température moyenne du modérateur dans le cœur

\rho _{H2O}

= Masse volumique de l'eau (L'article Molécule d'eau fourni une corrélation donnant la masse volumique de l'eau qui peut être utilisée)

V_{H2O}

= Volume d'eau dans le cœur

R_{m}={V_{H2O}\times \rho _{H2O} \over M_{H2O}}\times {{\mathcal {N}}_{A} \over N_{u}}

{\partial R_{m} \over \partial T_{m}}={2\times {\mathcal {N}}_{A} \over N_{u}\times M_{H2O}}\times {\partial ({\mathcal {V_{H2O}}}\times \rho _{H2O}) \over \partial T_{m}}

On néglige en un premier temps

{\partial {\mathcal {V_{H2O}}} \over \partial T_{m}}

{\partial \rho _{H2O} \over \partial T_{m}}\approx -2{,}2\;{\rm {kg/m^{3}/K=-2{,}2\times 10^{-3}g/cm^{3}}}

M_{UO2}=235{,}0439\times 0{,}024\,64+238{,}0508\times (1-0{,}024\,64)+2\times 15{,}9994=269{,}976~{\rm {g/mol}}

M_{H2O}=2\times 1{,}007\,94+15{,}9994=18{,}0153~{\rm {g/mol}}

{\partial R_{m} \over \partial T_{m}}={2\times {\mathcal {N}}_{A}\times {\mathcal {V_{H2O}}} \over N_{u}\times M_{UO2}}\times {\partial \rho _{H2O} \over \partial T_{m}}

{\partial R_{m} \over \partial T_{m}}={2\times 6{,}022\times 10^{23}\times 15{,}831\times 10^{6} \over 1{,}831\,33\times 10^{29}\times 18{,}0153}\times -2{,}2\times 10^{-3}=-0{,}012\,71~(uR_{m}/K)

{\partial R_{m} \over \partial T_{m}}=-0{,}012\,71~(uR_{m}/K)

Appréciation du coefficient de température modérateur

{\partial k_{\infty } \over \partial T_{m}}={\partial k_{\infty } \over \partial R_{m}}\times {\partial R_{m} \over \partial T_{m}}

{\partial k_{\infty } \over \partial T_{m}}=-0{,}015\,11\times 0{,}012\,71=-0{,}000\,192~(uk_{\infty }/K)

\rho =100\,000\times \ln(k_{\infty })

{\partial \rho  \over \partial T_{m}}={100\,000 \over k_{\infty }}\times {\partial k_{\infty } \over \partial T_{m}}

{\partial \rho  \over \partial T_{m}}={100\,000 \over 1{,}260}\times -0{,}000\,192=-15{,}2~{\rm {(pcm/K)}}

Reprise froid/chaud

Le réchauffage du réacteur à puissance nulle à partir des conditions d'arrêt froid est consommateur de réactivité. On peut en donner une appréciation à l'aide des formules simples.

Valeurs influant sur la réactivité à chaud:

R_{m}=4{,}140

\ln(k_{\infty })=1{,}288

Valeurs influant sur la réactivité à froid:

R_{m}=5{,}631

k_{\infty }=1{,}317\;R_{m}

\Delta \rho _{F/C}=100\,000\times \ln(k_{\infty })=100\,000\times \ln \left({\frac {1{,}317}{1{,}288}}\right)\approx 2\,256\;{\rm {pcm\;N_{u8}}}

Modération - Aspect pratique

Courbe donnant l'allure de l'évolution du rapport de modération atomique.

À la conception du cœur il est possible de choisir le rapport de modération c'est-à-dire le rapport entre la concentration volumique des atomes modérateurs et la concentration volumique des atomes fissiles. Par exemple de façon pratique dans le cas des réacteurs à eau pressurisée en faisant varier le pas régulier de disposition des crayons combustibles :

Si les crayons sont très rapprochés les uns des autres la quantité de modérateur offerte aux neutrons pour être ralentis est insuffisante et le rapport de multiplication en réseau infini $k_{infty}$ diminue.
Si les crayons sont très éloignés les uns des autres la probabilité qu'un neutron émis dans le combustible et thermalisé dans le modérateur rencontre un autre atome fissile diminue et le rapport de multiplication en réseau infini $k_{infty}$ diminue.
Entre les deux situations ci-dessus, il s'en trouve une ou le rapport : nombre d'atomes modérateurs / nombre d'atomes fissiles conduit au maximum de $k_{infty}$ ; c'est l'optimum de modération.

Le dessin du réseau combustible détermine au 1^er ordre le rapport atomique (ou molaire de modération). La généralisation des assemblages 17 × 17 ou 15 × 15 pour raison industrielle en usage sur les REP électrogènes encadre ainsi la plage de modération accessible dans la plage où les conditions générales de stabilité du cœur sont satisfaites avec de bonnes marges permettant l'optimisation du cycle du combustible.

Comparaison avec les réacteurs d'Oklo

Il pourra être tiré du résultat ci-dessus quelques conclusions simples sur les réacteurs de la mine d'Oklo et de Bangombé au Gabon qui présentent un certain nombre de points communs avec les REP électrogènes de puissance. En effet, si on compare le réseau combustible d'un REP 900 MWe à celui des réacteurs de la mine d'Oklo :

le combustible est de l'oxyde d'uranium dans les deux cas
le modérateur est de l'eau légère dans les deux cas
le réacteur REP tel que calculé ci-dessus est chaud, il est sous modéré dans ces conditions
le réacteur REP est à l'optimum de modération à froid (20 °C)[Note 8]
le rapport atomique (ou molaire) optimal de modération à froid du REP 900 MWe (= rapport des concentrations en hydrogène et uranium 235) vaut sensiblement = 228,6 ; les conditions de criticité dans le cas de Oklo sont évaluées avec la même valeur.
la valeur de $k_{\infty ~REP~froid}$ est égale à $k_{\infty ~REP~froid}=k_{\infty ~REP~chaud}\times \mathrm {e} ^{5\,000/100\,000}=k_{\infty ~REP~chaud}\times 1{,}051\,27$ en retenant une reprise froid chaud de 5 000 pcm
le facteur supplémentaire d'optimum de modération (reprise froid/chaud = 1,051 27) est supposé influer sur le facteur f en ce qui concerne la capture dans l'uranium 238 dont la section efficace microscopique de capture est prise moins élevée qu'à chaud jusqu'à obtenir la valeur de f souhaitée (environ 1,1353 contre 2,72 barn)[Note 9]
le réacteur d'Oklo diverge à minima à froid $k_{\infty ~Oklo}=1$ à l'optimum de modération [Note 10]
la gangue du minerai d'Oklo se compare au zirconium du REP 900 [Note 11], en tous les cas on peut admettre que la section efficace macroscopique correspondante ne peut être inférieure à celle du zirconium du REP 900 soit 0,000 863 5 cm⁻¹
la valeur du facteur antitrappe est inchangée
la valeur du facteur ε est inchangée ; il pourrait toutefois être tenu compte de ce que le facteur ε est grossièrement proportionnel à la proportion d'uranium 238 laquelle est un peu plus élevée dans le REP 900 MWe qu'à Oklo
l'enrichissement moyen du REP 900 MWe vaut 2,433 % (en noyaux = 2,464 %) ; l'enrichissement du 1^er réacteur d'Oklo qui a fonctionné il y a près de 1,95 milliard d'années est pris égal à 3,61 % en masse (en noyaux = 3,66 %)
en effectuant le calcul des 4 facteurs par la méthode simple donnée dans la boite déroulante, la concentration en uranium 235 qui rend critique à froid ( $k_{\infty ~Oklo}=1$ )à l'optimum de modération le réacteur d'Oklo est trouvée égale à 2,474 × 10¹⁸ at/cm³ (soit une concentration environ 100 fois moindre que celle du REP 900 MWe)
la teneur en uranium du minerai de densité égale à 2,5 correspondante est proche de 10,7 kg d'uranium par tonne de minerai ce qui est élevé mais rencontré dans les gisements en exploitation dans le monde
la concentration en atomes d'hydrogène est prise égale à celle de l'optimum de modération = 5,656 × 10²⁰ at/cm³ ; elle correspond à une teneur massique en eau du minerai de 3,38 kg/tonne ce qui semble réaliste
à simplement remarquer que les évaluations faites du fonctionnement des réacteurs d'Oklo conduisent bien entendu à une contribution du plutonium 239 formé mais la période est très faible devant la durée totale du fonctionnement des réacteurs

Grandeur physique	REP 900 à 304,5 °C	REP 900 à 20 °C	Oklo	Unité	Commentaire
Coefficient $k_{\infty }$	1,356	1,425	1	sans dim	Valeur minimale à Oklo
Rapport de modération atomique	164,1	228,6	228,6	sans dim	Valeur minimale à Oklo
Enrichissement en noyau en U5	2,464 %	2,464 %	3,6584 %	at/cm³	Valeur estimée à Oklo il y a 1,95 milliard d'années
Concentration des atomes d'U5	1,698 × 10²⁰	1,698 × 10²⁰	2,474 × 10¹⁸	at/cm³	Valeur minimale à Oklo
Concentration des atomes d'H	2,786 × 10²²	3,881 × 10²²	5,656 × 10²⁰	at/cm³	Valeur pouvant varier quelque peu à Oklo
Section efficace de capture dans l'U8	2,72	1,1353	1,1353	barn	Moins élevé à froid
Coefficient ε = facteur correctif de fissions rapides	1,07	1,07	1,0565	sans dim	Moins élevé à Oklo du fait de l'enrichissement plus élevé
Coefficient η = neutrons de fission	2,105	2,105	2,105	sans dim	Ne dépend que du seul atome fissile = uranium 235
Coefficient p = facteur antitrappe	0,75	0,75	0,75	sans dim	Modérateur identique
Coefficient f = utilisation thermique	0,8025	0,8437	0,5992	sans dim
Section efficace macroscopique des gaines ou gangue	0,000 863 5	0,000 863 5	0,000 863 5	cm⁻¹	Valeur minimale à Oklo
Densité moyenne du minerai			2,5	sans dim	Valeur classique
Teneur massique en uranium du minerai			10,69	kg/t	Valeur minimale à Oklo pour diverger [Note 12]
Teneur massique en eau du minerai			3,38	kg/t	Valeur ayant fluctué à Oklo
Puissance thermique	104,2 × 10⁶		100	W/m³	Valeur ayant largement fluctué à Oklo
Durée de fonctionnement	1		500 000	ans	En moyenne

Réactivité d'un milieu limité

Le facteur de multiplication effectif (noté $k_{\mathrm {eff} }$ ) est évalué en prenant en compte le fait que la zone réactive est d'extension finie, et qu'une partie des neutrons sont perdus par effet de fuite. La proportion de neutrons qui fuient dépend de la taille et de la forme du milieu considéré.

Le rapport entre $k_{\infty }$ et $k_{\mathrm {eff} }$ vaut $k_{\mathrm {eff} }={\frac {k_{\infty }}{1+M^{2}\times B_{g}^{2}}}$

où :

$k_{\infty }$ est le coefficient de multiplication en milieu infini des neutrons
$M^{2}$ est l’aire de migration des neutrons
$B_{g}^{2}$ est le laplacien géométrique des neutrons.

À titre d'exemple, pour un cœur de géométrie cylindrique, $B_{g}^{2}$ est donné par la relation suivante :

B_{g}^{2}=\left({\pi  \over H+2\times \lambda _{z}}\right)^{2}+\left({2{,}404\,83 \over R+\lambda _{r}}\right)^{2}

où :

2,404 83 est le premier zéro de la fonction de Bessel de 1^er rang noté $J_{o}$
$H$ est la hauteur du cœur
$\lambda _{z}$ est la distance axiale d'extrapolation
$R$ est le rayon du cœur
$\lambda _{r}$ est la distance radiale d'extrapolation.

En pratique, $\lambda _{r}=\lambda _{z}$ pour un grand cœur proche de l'ortho-cylindre.

Forme du cœur minimisant les fuites

Pour un volume donné du cœur (un volume V donné de combustible), le dessin minimisant les fuites est bien entendu celui d'une sphère. Cependant le réacteur sphérique est malcommode de construction et d'exploitation. En pratique la majorité des réacteurs sont de forme cylindrique à axe vertical (ce qui permet d'avoir des éléments unitaires -surement sous-critiques- identiques, une manutention commode de ces éléments pour la constitution du cœur et le rechargement du combustible et qui rend possible la manœuvre gravitaire des absorbants de contrôle de la réactivité)[Note 13]. On peut alors s'intéresser à la forme du cylindre qui minime les fuites à volume donné de combustible.

La probabilité de non-fuite s'écrit : ${1 \over 1+M^{2}\times B_{g}^{2}}$ avec :

$M^{2}$ = aire de migration ;
$B_{g}^{2}=\left({\pi \over H+2\times \lambda _{z}}\right)^{2}+\left({J_{o} \over R+\lambda _{r}}\right)^{2}$ ;
$\lambda _{r}=\lambda _{z}=\lambda$ = Économie de réflecteur = Constante qui dépend du réflecteur.

À volume V de cœur donné, la probabilité de non-fuite est maximale lorsque $B_{g}^{2}$ est minimal.

La recherche analytique du minimum de $B_{g}^{2}$ est malaisée du fait de la lourdeur de la fonction dérivée (polynôme du 6^e degré). En revanche, si on néglige les effets de bords (par exemple s'il n'y a pas de réflecteur), ce qui revient à prendre $\lambda =0$ , on peut aisément donner une solution analytique à la recherche du minimum de $B_{g}^{2}$

${D \over H}={J_{o}\times {\sqrt {2}} \over \pi }=1{,}0826$ $D=2\;\left({\frac {J_{o}}{{\sqrt {2}}\times \pi ^{2}}}\right)^{1/3}\times V^{1/3}=1{,}1129\times V^{1/3}$ $H=\pi ^{1/3}\times \left({{\sqrt {2}} \over J_{o}}\right)^{2/3}\times V^{1/3}=1{,}0280\times V^{1/3}$

Dans le cas général où $\lambda$ ne peut être négligé, on effectue la recherche du rapport optimal ${D \over H}$ en deux temps :

Une première estimation consiste à appliquer les relations ci-dessus au cœur non extrapolé qui donnent d et h (valeurs intermédiaires) :

d=1{,}1129\times V^{1/3}

h=1{,}0280\times V^{1/3}

on en déduit le volume extrapolé du cœur[Note 14].

V_{e}=\pi \times (d+2\;\lambda )^{2}\times (h+2\;\lambda )

.

Une bonne approximation du dessin à fuites minimales est alors obtenue en appliquant les relations ci-dessus au volume et dimensions extrapolés du cœur, soit donc pour finir :

$D=1{,}1129\times V_{e}^{1/3}-2\;\lambda$ $H=1{,}0280\times V_{e}^{1/3}-2\;\lambda$ avec : $V_{e}$ = volume extrapolé du cœur $\lambda$ = distance d'extrapolation

Numériquement: (cf. Tableau en fin d'article)

V=26{,}671\times {\rm {m^{3}}}

= Valeur proche du cas d'un REP 900 MWe

d=1{,}1129\times V^{1/3}=332{,}1{\rm {cm}}

h=1{,}0280\times V^{1/3}=306{,}8{\rm {cm}}

\lambda =8{,}3\;{\rm {cm}}

V_{e}={\pi  \over 4}\times (d+2\;\lambda )^{2}\times (h+2\times \lambda )=30\,860\,500\;{\rm {cm^{3}}}

D=1{,}1129\times V_{e}^{1/3}-2\;\lambda =332{,}5\;{\rm {cm}}

H=1{,}0280\times V_{e}^{1/3}-2\;\lambda =305{,}9\;{\rm {cm}}

En étudiant pas à pas le signe de la fonction dérivée au voisinage des valeurs ci-dessus on montre que le cas d'un cœur de volume proche de celui d'un REP 900 MWe, la valeur minimale de $B_{g}^{2}$ est obtenue pour R = 166,4 cm, soit D = 332,8 cm et H = 305,4 cm et un rapport diamètre / hauteur égal à 1,0895, donc un cylindre de forme légèrement plus aplatie que l'orthocylindre dans lequel D = H = 323,40 cm et de hauteur moindre que la hauteur réelle du cœur égale à 366 cm. Ce résultat ne dépend pas de la valeur de l'aire de migration.

Démonstration

Cas général avec une économie de réflecteur non négligeable

Probabilité de non-fuite $={1 \over 1+M^{2}\times B_{g}^{2}}$
$B_{g}^{2}=\left({\pi \over H+2\;\lambda _{z}}\right)^{2}+\left({J_{o} \over R+\lambda _{r}}\right)^{2}$
$\lambda _{r}=\lambda _{z}=\lambda$ = Constante qui dépend du réflecteur = 8,27 cm environ dans le cas de l'eau à la température de fonctionnement d'un REP
Volume du cœur = V = 26,671 m³ = Constante = Valeur proche du cas d'un REP 900 MWe

V=\pi \times R^{2}\times H

H={V \over \pi \times R^{2}}

La probabilité de non-fuite est maximale lorsque $B_{g}^{2}$ est minimal
$B_{g}^{2}=\left({\pi \over H+2\;\lambda _{z}}\right)^{2}+\left({J_{o} \over R+\lambda _{r}}\right)^{2}=\left({\pi \over ({V \over \pi \times R^{2}})+2\;\lambda }\right)^{2}+\left({J_{o} \over R+\lambda }\right)^{2}$
Il n'est pas aisé de donner une solution analytique à la recherche du minimum de $B_{g}^{2}$ . La dérivation par rapport à $R$ débouche en effet sur la résolution -aléatoire- d'un polynôme du 6^e degré. Pour simplifier le problème on s’intéresse en un premier temps au cas où $\lambda =0$

Cas simplifié où l'économie de réflecteur est égale à zéro: $B_{g}^{2}=\left({\pi \over H}\right)^{2}+\left({J_{o} \over R}\right)^{2}$

H={V \over \pi \times R^{2}}

où V = volume du cœur = constante

B_{g}^{2}={\pi ^{4}\times R^{4} \over V^{2}}+{J_{o}^{2} \over R^{2}}

{dB_{g}^{2} \over dR}={4\times \pi ^{4} \over V^{2}}\times R^{3}-{2\times J_{o}^{2} \over R^{3}}=0

R^{6}={J_{o}^{2}\times V^{2} \over 2\times \pi ^{4}}

V^{2}=\pi ^{2}\times R^{4}\times H^{2}

R^{6}=J_{o}^{2}\times {\pi ^{2}\times R^{4}\times H^{2} \over 2\times \pi ^{4}}={J_{o}^{2} \over 2\times \pi ^{2}}\times R^{4}\times H^{2}

\left({R \over H}\right)^{2}={J_{o}^{2} \over 2\times \pi ^{2}}

{R \over H}={J_{o} \over {\sqrt {2}}\times \pi }={J_{o}\times {\sqrt {2}} \over \ 2\times \pi }={J_{o}\times {\sqrt {2}} \over \ 2\times \pi }

Par ailleurs :

$R^{6}={J_{o}^{2}\times V^{2} \over 2\times \pi ^{4}}$

$R^{3}={J_{o}\times V \over {\sqrt {2}}\times \pi ^{2}}$ , d'où $D=2\;\left({J_{o} \over {\sqrt {2}}\times \pi ^{2}}\right)^{1/3}\times V^{1/3}$

$H={\pi \over J_{o}\times {\sqrt {2}}}\times D={\pi \over J_{o}\times {\sqrt {2}}}\times 2\;\left({J_{o} \over {\sqrt {2}}\times \pi ^{2}}\right)^{1/3}\times V^{1/3}=\pi ^{1/3}\times \left({{\sqrt {2}} \over J_{o}}\right)^{2/3}\times V^{1/3}$

En résumé :

${D \over H}={J_{o}\times {\sqrt {2}} \over \pi }=1{,}0826$ $D=2\;\left({\frac {J_{o}}{{\sqrt {2}}\times \pi ^{2}}}\right)^{1/3}\times V^{1/3}=1{,}1129\times V^{1/3}$ $H=\pi ^{1/3}\times \left({{\sqrt {2}} \over J_{o}}\right)^{2/3}\times V^{1/3}=1{,}0280\times V^{1/3}$

La forme qui minimise les fuites est donc celle d'un orthocylindre légèrement aplati.

Toutefois, dans l'exemple ci-dessus les fuites calculées avec une aire de migration M² = 46,06 cm² valent 1 338 pcm avec la hauteur combustible réelle du cœur du REP 900 MWe égale à 366 cm et 1 303 pcm avec la hauteur de 305,5 cm. L'écart est donc faible (Il représente cependant sensiblement 1 °C de température de fonctionnement).

Ces résultats sont surtout intéressants dans le cas des petits cœurs où les fuites sont importantes. Par exemple, si le volume du cœur vaut 1 m³ (donc pour une puissance de l'ordre de 100 MWth) et en tenant compte de l'économie de réflecteur :

Fuites dans un cœur de 1 m³
	Cœur à fuites minimales	Cœur orthocylindrique	Cœur élancé	Cœur aplati	Unité
Hauteur	102,0	108,4	127,3	80,0	cm
Diamètre	111,7	108,4	100,0	126,2	cm
Fuites	-9508	-9534	-9822	-9899	pcm
Température de fonctionnement	Nominale	-1	-10	-12	°C

Dans le cas des réacteurs à eau sous-pression on doit également tenir compte de ce que le diamètre du cœur détermine aussi celui de la cuve ce qui peut inciter à avoir un cœur plus élancé que celui qui minimise les fuites.

En dépit de cela, le cœur de l'EPR augmente sensiblement le nombre d'assemblages par rapport au cœur N4 sans accroitre la hauteur combustible pour de multiples raisons industrielles ce qui ne nuit pas aux fuites totales hors du cœur comme démontré ci-dessus et la cuve est de diamètre augmenté. Comme souvent les choix d’ingénierie sont à compromis multiples et les optimums sont plats.

Autres paramètres du réseau influant sur la réactivité

Échantillonnage du combustible

Suivant la forme géométrique suivant laquelle le combustible est disposé pour une même puissance spécifique la température à cœur du combustible peut varier de façon importante. On montre que pour une même densité de puissance, l'écart de température entre les températures moyennes et maximales à cœur du combustible et la température du réfrigérant varie au 1^er ordre comme le carré du diamètre des pastilles combustibles et partant, l'anti-réactivité d'effet Döppler se trouve augmentée en rapport dans le cours du fonctionnement et les sollicitations thermomécaniques du combustible accrues.

Notations, données et résultats

Le présent article utilise un assez grand nombre de données numériques qui pour raison de commodité sont regroupées les tableaux déroulants ci-dessous.

Sont données dans l'ordre:

les caractéristiques géométriques typiques d'un cœur de réacteur à eau sous pression électrogène proches de celles d'un réacteur du palier p. 4/P'4
les données fonctionnelles principales
les sections efficaces intervenant dans la modélisation simplifiée
les autres données.

Avertissement: les valeurs sont données en général avec 4 chiffres significatifs pour éliminer les erreurs d'arrondis de calcul, toutefois la précision de l'estimation n'est pas meilleure que +/- 5 %; soit donc l'inégalité :

0,95 × Valeur estimée par le calcul < Valeur exacte < 1,05 × Valeur estimée par le calcul

Caractéristiques typiques d'un réacteur à eau sous-pression
Grandeur physique	État réacteur	Notation	Valeur	Unité	Source	Commentaire
Puissance thermique du cœur		$W$	3 797	MWth	Réacteurs nucléaires en France	Puissance chaudière = Puissance cœur + puissance thermique des pompes primaires
Température moyenne de l'eau primaire dans le cœur		$T_{m}$	292,8	°C	REP	Conditions d'arrêt chaud critique
Masse volumique moyenne de l'eau primaire dans le cœur	C	$\rho$	740,84	kg/m³	Molécule d'eau	Corrélation donnée à l'article molécule d'eau
Masse volumique moyenne de l'eau primaire dans le cœur	F	$\rho$	998,3	kg/m³
Dilatabilité de l'eau~.	C		-1,980	kg/m³/K	Molécule d'eau	Grandeur utile pour évaluer le coefficient de température modérateur
	100 °C 30 bar		-0,7177	kg/m³/K		Corrélation donnée à l'article molécule d'eau - La valeur donnée est cependant issue directement des tables
	20 °C 6 bar		-0,1992	kg/m³/K		La corrélation (dérivable) permet d'évaluer la dilatabilité de l'eau - La valeur donnée est cependant issue directement des tables
Volume du cœur	C		38,703	m³	Centrales en France	La situation C (à chaud) s'entend réacteur à l'arrêt chaud critique à puissance nulle
Volume du cœur	F		38,107	m³
Hauteur combustible	C		4,270	m
Hauteur combustible	F		4,229	m
Diamètre équivalent	C		3,387	m
Diamètre équivalent	F		3,371	m
Flux neutronique thermique		$\phi$		n/cm²/s
Flux neutronique thermique à l'équilibre		$\phi _{o}$	3,2 × 10¹³	n/cm²/s		[Note 15]
Masse d’uranium		$M_{U}$	103 801	kg	Centrales en France	La masse d'uranium varie légèrement avec l'enrichissement du cœur
Enrichissement moyen en uranium 235	M	$e_{m}$	2,283 %	sans dim	REP	Valeur cohérente avec la référence[Référence 2]
Enrichissement moyen en uranium 235	A	$e_{n}$	2,312 %	sans dim
Masse d’uranium 235		$M_{U5}$	2 370		REP
Masse de zirconium dans le cœur	C		26 070	kg
Masse de zirconium dans le cœur	F		25 952	kg		La dilatation plus importante de l'oxyde d'uranium fait qu'une quantité plus importante de zirconium se trouve dans le réseau combustible à chaud qu'à froid
Masse d'eau primaire dans le cœur	C		17 044	kg	REP
Masse d'eau primaire dans le cœur	F		22 147	kg		[Note 16]
Masse molaire de l'hydrogène		${\mathcal {M}}_{H}$	1,007 94	g/mol	CODATA	[Note 17]La composition isotopique protium / deutérium est la composition naturelle
Masse molaire de l'oxygène		${\mathcal {M}}_{O}$	15,9994	g/mol	CODATA	[Note 17]
Masse molaire de l'uranium 235		${\mathcal {M}}_{U5}$	235,0439	g/mol	CODATA	[Note 17]
Masse molaire de l'uranium 238		${\mathcal {M}}_{U5}$	238,0508	g/mol	CODATA	[Note 17]
Masse molaire de l'uranium enrichi à 2,283 % massique		${\mathcal {M}}_{U}$	237,977	g/mol	Calcul
Masse molaire de l'oxyde d'uranium enrichi à 2,283 % massique		${\mathcal {M}}_{UO2}$	269,980	g/mol	Calcul
Nombre de moles d'uranium dans le cœur		$N_{U}$	4,362 × 10⁵	sans dim	Calcul
Nombre de moles d'uranium 235 dans le cœur		$N_{U5}$	1,008 × 10⁴	sans dim	Calcul	L'uranium 234 est bien sûr négligé et inclus, ipso facto, dans l'uranium 238
Nombre de moles d'uranium 238 dans le cœur			4,261 × 10⁵	sans dim	Calcul
Concentration des atomes d'uranium	C	$N_{u}$	11,270 6,787 × 10²¹	mol/L at/cm³	Calcul	[Note 18]
Concentration des atomes d'uranium	F	$N_{u}$	11,446 6,892 × 10²¹	mol/L at/cm³	Calcul
Nombre de moles d'hydrogène dans le cœur	C		1,892 × 10⁶	sans dim
Nombre de moles d'hydrogène dans le cœur	F		2,459 × 10⁶	sans dim
Concentration des atomes d'hydrogène dans le cœur	C		48,89 2,944 × 10²²	mol/L at/cm³		[Note 18]
Concentration des atomes d'hydrogène dans le cœur	F		64,52 3,885 × 10²²	mol/L at/cm³		[Note 18]
Nombre total de moles d'oxygène dans le cœur	C		1,818 × 10⁶	sans dim	Calcul	2 \times U + H / 2
Nombre total de moles d'oxygène dans le cœur	F		2,102 × 10⁵	sans dim	Calcul	Quasiment autant d'atomes d'oxygène que d'hydrogène dans le cœur
Rapport de modération molaire (ou atomique)	C	$R_{m}$	4,338	sans dim	Calcul	[Note 18]^,[Note 3]
Rapport de modération molaire (ou atomique)	F	$R_{m}$	5,637	sans dim	Calcul
Rapport de modération volumique	C		1,970	sans dim	Calcul	= Volume eau / Volume UO₂ - Valeur cohérente avec la référence[Référence 2]
Rapport de modération volumique	F		1,936	sans dim	Calcul	[Note 19]
Rapport de modération massique	C		0,1447	sans dim	Calcul	= Masse eau / Masse UO2
Rapport de modération massique	F		0,1881	sans dim	Calcul
Nombre de moles de zirconium dans le cœur	C		2,858 × 10⁵	sans dim		[Note 20]
Nombre de moles de zirconium dans le cœur	F		2,845 × 10⁵	sans dim
Concentration du zirconium dans le cœur	C		4,447 × 10²¹	at/cm³		[Note 20]
Concentration du zirconium dans le cœur	F		4,496 × 10²¹	at/cm³
Rapport des concentrations du zirconium/uranium dans le cœur	C		0,6522	sans dim		[Note 20]
	F		0,6552	sans dim

Les 4 facteurs - Variation avec l'enrichissement
Grandeur physique	État réacteur	Notation	Valeur	Unité	Source	Commentaire
Coefficient multiplicatif infini $k_{\infty }$	chaud	$k_{\infty }$	1,287	sans dim	Calcul	Cœur neuf, sans poison, aux conditions nominales d'arrêt chaud - Puissance nulle. pour $e_{m}=2{,}283~\%$ et $R_{m}=4{,}338$
Coefficient multiplicatif infini $k_{\infty }$	froid	$k_{\infty }$	1,304	sans dim	Calcul
Facteur de reproduction $\eta$	chaud	$\eta$	1,777	sans dim	Calcul	Cœur neuf, sans poisons, aux conditions nominales de fonctionnement à chaud, à puissance nulle.
Facteur de reproduction $\eta$	froid	$\eta$	1,777	sans dim	Calcul	La valeur de $\eta$ à puissance nulle ne dépend pas des conditions de température
Valeur asymptotique de $\eta$ à 100 % d'enrichissement			2,073	sans dim	Calcul	Évaluation théorique donnant l'allure de la variation de $\eta$ avec $e_{n}$
Facteur d'utilisation thermique $f$	à chaud	$f$	0,9216	sans dim
Facteur d'utilisation thermique $f$	froid	$f$	0,9021	sans dim		L'augmentation de $R_{m}$ fait diminuer $f$ à froid
Valeur asymptotique de $f$ à 100 % d'enrichissement			≈0,998	sans dim	Calcul	Calcul théorique "de tendance" destiné à illustrer le sens de variation du facteur $f$
Facteur anti-trappe $p$	chaud	$p$	0,7572	sans dim	Calcul	En cours de consolidation
Facteur anti-trappe $p$	froid	$p$	0,7902	sans dim	Calcul
Facteur de fissions rapides	chaud	$\varepsilon$	1,039	sans dim
Facteur de fissions rapides	froid	$\varepsilon$	1,028	sans dim
Dérivée: ${\partial k_{\infty } \over \partial e_{n}}\times {1 \over k_{\infty }}$	C	${\partial k_{\infty } \over k_{\infty }\times \partial e_{n}}$	9,239	%/%		La valeur à chaud est seule donnée. L'effet de température sur ${\partial k_{\infty } \over \partial e_{n}}$ n' a pas d'importance pratique.
Dérivée: ${\partial \eta \over \partial e_{n}}\times {1 \over \eta }$	C	${\partial \eta \over \eta \times \partial e_{n}}$	6,322	%/%		Pour l'enrichissement nominal de 2,283 % en masse et 2,312 % en noyaux
Dérivée: ${\partial f \over \partial e_{n}}\times {1 \over f}$	C	${\partial f \over f\times \partial e_{n}}$	2,896	%/%
Dérivée: ${\partial p \over \partial e_{n}}\times {1 \over p}$	C	${\partial p \over p\times \partial e_{n}}$	0,1486	%/%		$p$ est faiblement croissant avec $e_{n}$
Dérivée: ${\partial \varepsilon \over \partial e_{n}}\times {1 \over \varepsilon }$	C	${\partial \varepsilon \over \varepsilon \times \partial e_{n}}$	-0,1272	%/%		$\varepsilon$ est légèrement décroissant avec $e_{n}$
Dérivée: ${\partial \varepsilon \times p \over \partial e_{n}}\times {1 \over \varepsilon \times p}$	C		0,037 44	%/%		Le produit $p\times \varepsilon$ est très faiblement croissant avec $e_{n}$ . Sa variation peut être négligée devant celle du produit $f\times \eta$
Valeur en réactivité de 1 % d'enrichissement massique	C		8 212	pcm		Variation centrée géométriquement autour du point 2,433 % soit de 1,984 à 2,984 % en masse et de 2,009 à 3,021 % en noyaux. Cette valeur dépend fortement de l'enrichissement au point central.

Variation des facteurs avec la modération
Grandeur physique	État réacteur	Notation	Valeur	Unité	Source	Commentaire
Dérivée: ${\partial k_{\infty } \over \partial R_{m}}$	C	${\partial k_{\infty } \over \partial R_{m}}$	0,033 44	sans dim	Calcul
Dérivée: ${\partial k_{\infty } \over \partial R_{m}}$	F	${\partial k_{\infty } \over \partial R_{m}}$	0,012 62	sans dim	Calcul	Malgré ses imperfections, le modèle simplifié rend compte de la stabilité du cœur
Dérivée: ${\partial R_{m} \over \partial T_{m}}$	à chaud	${\partial R_{m} \over \partial T_{m}}$	-0,011 13	sans dim	Calcul	[Note 21]
Dérivée: ${\partial R_{m} \over \partial T_{m}}$	F	${\partial R_{m} \over \partial T_{m}}$	−6,827 × 10⁻⁴	sans dim	Calcul
Dérivée: ${\partial k_{\infty } \over \partial T_{m}}$	C	${\partial k_{\infty } \over \partial T_{m}}$	−4,865 × 10⁻⁴	sans dim	Calcul	Avec l'enrichissement retenu le cœur est stable en eau claire à toute température
Dérivée: ${\partial k_{\infty } \over \partial T_{m}}$	F	${\partial k_{\infty } \over \partial T_{m}}$	−1,467 × 10⁻⁵	sans dim	Calcul	La stabilité du cœur à froid, avec des marges faibles, est décrite par le modèle simplifié.

Grandeurs fonctionnelles principales
Grandeur physique	État réacteur	Notation	Valeur	Unité	Commentaire
[Note 3]Reprise "froid/chaud" de réactivité du cœur		$\Delta \rho$	1348	pcm	Le modèle simplifié rend grossièrement compte de la reprise de réactivité en eau claire - Valeur cependant sous estimée par rapport au constat en exploitation des réacteurs.
Coefficient de température modérateur	à chaud	${\partial \rho \over \partial T_{m}}$	-28,91	pcm/°C	L'eau primaire est supposée exempte d'acide borique, son utilisation fait baisser le coefficient de température modérateur en valeur absolue. À basse température et en eau borée le coefficient peut devenir positif
Coefficient de température modérateur	à froid	$\varepsilon$	-0,66	pcm/°C	Pour des températures inférieures à 100 °C et dès lors que l'intégrale reste modérée (< 100 pcm), on peut admettre un coefficient de température légèrement positif

Formules et coefficients de détermination des 4 facteurs - Sections efficaces
Grandeur physique	État réacteur	Notation	Valeur	Unité	Source	Commentaire
Nombre de neutrons émis par fission thermique $\nu$		$\nu$	2,425	sans dim	Fission nucléaire	[Référence 2]^,[Référence 3]
Terme ${\mathcal {F}}_{5}$		${\mathcal {F}}_{5}$	2,082	sans dim	Calcul	${\mathcal {F}}_{u5}=\left({\nu \times \sigma _{f5} \over \sigma _{u5}-\sigma _{u8}}\right)$ Les valeurs à froid et à chaud sont égales
Terme ${\mathcal {S}}_{u8/u5}$		${\mathcal {S}}_{u8/u5}$	3,949 × 10⁻³	sans dim	Calcul	${\mathcal {S}}_{u8/u5}=\left({\sigma _{u8}+2\;\sigma _{o} \over \sigma _{u5}-\sigma _{u8}}\right)$ Les valeurs à froid et à chaud sont égales
Facteur $f$ Terme ${\mathcal {S}}_{h/u}$		${\mathcal {S}}_{h/u}$	4,902 × 10⁻⁴	sans dim	Calcul	${\mathcal {S}}_{h/u}=\left({\sigma _{h}+\sigma _{o}/2 \over \sigma _{u5}-\sigma _{u8}}\right)$ Invariant avec la température
Facteur $f$ Terme ${\mathcal {S}}_{z/h}$	à chaud	${\mathcal {S}}_{z/h}$	0,3641	sans dim	Calcul	${\mathcal {S}}_{z/h}=\left({\sigma _{z}\times 0661 \over \sigma _{h}\times \sigma _{o}/2}\right)$
Facteur $f$ Terme ${\mathcal {S}}_{z/h}$	à froid	${\mathcal {S}}_{z/h}$	0,3626	sans dim	Calcul	Faible variation du fait de la variation de la quantité de zirconium présente dans le flux neutronique entre les situations cœur chaud/cœur froid
Facteur anti-trappe Terme $Z$		$Z$	3,014 0 × 10⁻¹²	sans dim		En cours de consolidation
Facteur anti-trappe Exposant $x$		$x$	0,667	sans dim		En cours de consolidation
Facteur anti-trappe Exposant $y$		$y$	0,522	sans dim
Facteur $\varepsilon$ Relation donnant $\alpha$				sans dim		$\alpha =0{,}137\times \mathrm {e} ^{-0{,}0546\times R_{m}}$ Il pourra être recherché un terme fonction de l'enrichissement du cœur dans la formule donnant $\alpha$
Facteur $\varepsilon$ Terme $\alpha$	C	$\alpha$	0,1081	sans dim		$\alpha =(\varepsilon -1)\times {p\times f \over (1-p)}$
Facteur $\varepsilon$ Terme $\alpha$	F	$\alpha$	0,1007	sans dim
Section efficace microscopique de fission thermique de l'uranium 235	C	$\sigma _{f5}$	419,3	barn	Fission nucléaire	1 barn = 10⁻²⁴ cm²
	à froid	$\sigma _{f5}$	582,6	barn		[Référence 4]
Section efficace microscopique de capture de l'uranium 235	à chaud	$\sigma _{u5}$	490,4	barn		On entend par absorption le total fission + capture par l'uranium 235
Section efficace microscopique de capture de l'uranium 235	F	$\sigma _{u5}$	681,4	barn		Les sections efficaces varient comme l'inverse de la racine carrée de la température absolue du corps considéré
Section efficace microscopique de capture d'un neutron thermique par le zirconium	à chaud	$\sigma _{z}$	0,1324	barn	HBCP	[Référence 5]
	à froid	$\sigma _{z}$	0,1840	barn	HBCP	La température à laquelle sont données les sections efficaces est dans la littérature technique est de 20 °C
Section efficace microscopique de capture d'un neutron thermique par l'hydrogène	à chaud	$\sigma _{h}$	0,2393	barn	HBCP	La section efficace est la section pondérée protium/deutérium. Cette valeur a un grand impact sur le résultat de la modélisation
	à froid	$\sigma _{h}$	0,3326	barn	HBCP
Section efficace microscopique de capture d'un neutron thermique par l'uranium 238	à chaud	$\sigma _{8}$	1,933	barn
	à froid	$\sigma _{8}$	2,685	barn
Section efficace microscopique de capture d'un neutron thermique par l'oxygène		$\sigma _{o}$	0,2 × 10⁻³	barn cm²		Valeur "forfaitaire" sans grande importance sur le résultat[Note 22]

Notes

Les réseaux combustibles des réacteurs à eau sous-pression électrogènes sont similaires du point de vue de leurs caractéristiques neutroniques
Il est également possible de définir la concentration relative en hydrogène par rapport à la matière fissile par le rapport $R_{m5}={\frac {N_{h}}{N_{u5}}}$ , cependant les deux grandeurs $e_{n}$ et $R_{m5}$ ne sont pas indépendantes avec $R_{m5}=e_{n}\times R_{m}$ . Une augmentation de l'enrichissement se traduit, toutes choses égales, par une diminution du rapport $R_{m5}$ . Ceci conduit à préférer le paramètre $R_{m}$ pour paramétrer la modération du cœur
Les valeurs à plus de 3 chiffres significatifs sont données, simplement pour éviter un cumul d'erreurs "d'arrondis" sans que ceci veuille dire que le résultat soit précis à mieux que +/- 3 %
Les définitions des facteurs $\eta$ $\text{[math]}$ et $f$ $\text{[math]}$ souffrent d'une ambiguïté liée à la définition de ce que l'on entend par « combustible ». Le « combustible » peut comprendre l'ensemble des atomes lourds fissiles et non fissiles ou les seuls atomes fissiles. L'approche consistant à limiter le « combustible » aux seuls atomes fissiles :
- est cohérente avec la définition du facteur $\eta$ donnée dans le tableau
- conduit à des relations un peu plus simples que l'autre
- élimine l’ambiguïté relative aux atomes de forme chimique et structure du combustible (l'oxygène et le zirconium)
- a l'avantage de faire que $\eta$ est indépendant de la géométrie du cœur et ne dépend que des caractéristiques physiques des corps fissiles.
- rend la formulation du facteur $f$ un peu plus simple
L'approche « atomes lourds » :
- est plus cohérente avec le fait que des atomes lourds non fissiles en neutrons thermiques le sont en neutrons rapides.
- est également plus homogène avec le fait que des atomes lourds non fissiles le deviennent (et réciproquement) par capture neutronique dans le cours de l'évolution du cœur.
- a été semble-t-il historiquement plus utilisée que celle ci-dessus dans les ouvrages de neutronique ; on peut raisonnablement penser que c'est celle qui était en usage en 1942 à Chicago, compte tenu de la nature de la pile au graphite.
Dans tous les cas, le produit $\eta \times f$ $\text{[math]}$ est conservé, en revanche le facteur $\varepsilon \cdot f$ $\text{[math]}$ dépend de la valeur de $f$ $\text{[math]}$ ; même si les écarts restent faibles, il ne s'agit donc pas uniquement d'une question formelle de présentation. Pour analyser un résultat d'étude il est nécessaire de savoir laquelle des deux visions a été mise en œuvre. Dans le présent article on retient l'approche atomes lourds, donc : « combustible » = « oxyde d'uranium » pour un cœur neuf. L'oxygène, lié chimiquement aux atomes lourds fait nécessairement partie du combustible. En outre le combustible est généralement gainé, il convient de préciser si le gainage est considéré comme faisant partie du combustible ou des matériaux de structure. Dans le présent article le gainage est considéré comme matériau de structure
Dans le cœur d'un REP il n'y a en fait de structures quasiment que le zirconium des gaines et les tubes guides des assemblages de combustible
L'oxyde se dilate beaucoup plus que le zirconium ce qui fait que le nombre d'atomes de zirconium présents dans le flux rapporté au nombre d'atomes d'uranium varie avec la température
Du fait de la légère variation de $\varepsilon$ et $\eta$ en fonction de $R_{m}$ l'optimum de modération est trouvé pour une valeur de $R_{m}$ légèrement inférieure (5 % environ)à la valeur du maximum du produit $p\times f$ donné par cette formule
La manutention sure des éléments en piscine est telle que si le pas entre éléments est augmenté en vue des manutentions le $k_{\infty }$ diminue, donc le réseau est proche de l'optimum de modération ; ceci est corroboré par le fait qu'à froid le coefficient de température du REP 900 sans acide borique est pratiquement nul
Cette façon de faire fait porter sur la capture dans l'U8 l'intégrale de l'effet de reprise froid chaud ce qui est bien sûr contestable mais préserve la constance de ε et de p dans la variation de température ce qui semble plus acceptable qu'une autre hypothèse
Il a cependant été établi que les réacteurs d'Oklo ont fonctionné en température jusqu'à une valeur assez élevée, pour autant les conditions minimales de divergence ont forcément été réunies à froid
l'analyse du minerai conduit à constater que la gangue d'Oklo constituée majoritairement d'oxydes est assez faiblement capturante des neutrons
Les teneurs mesurées et estimées à Oklo sont plus élevées
Il existe cependant des réacteurs à cœur cylindrique à axe horizontal comme les réacteurs CANDU
Il est également possible d'évaluer le volume extrapolé du cœur à partir de dimensions intermédiaires $\scriptstyle d'\simeq h'$ proches de l'ortho-cylindre et qui respectent bien sûr la relation $\scriptstyle h'*{\pi \over 4}\times d'^{2}=V$
En toute rigueur la valeur du flux thermique donnée dans l'article flux neutronique serait à augmenter de 7 % pour tenir compte de ce que le flux thermique est évalué dans cet article en tenant compte d'un flux rapide responsable de 7 % des fissions
Dans la variation "froid/chaud" de la masse d'eau présente dans le cœur, outre l'aspect prépondérant de la dilatation de l'eau, le "jeu" pastille gaine présent à froid est annulé à chaud par la pression primaire qui plaque le zirconium sur l'oxyde
Les masses molaires utilisées sont celles de la littérature scientifique, la mention faite dans le tableau défini la notation utilisée dans l'article
Les valeurs des concentrations en atomes sont susceptibles de variations avec la température de fonctionnement qui modifie la géométrie du cœur : la hauteur combustible du fait de la dilatation de l'oxyde d'uranium et le diamètre du fait de la dilatation de l'acier inoxydable des structures de maintien) et la quantité d'eau présente dans le cœur ; bien que faibles ces variations affectent les résultats du calcul
Un jeu existe à froid entre les pastilles d'UO₂ et la gaine en zirconium, rattrapé à chaud par plaquage de la gaine en zirconium sur l'oxyde. Le rapport volumique de modération varie en conséquence
La quantité de zirconium effectivement présente dans le cœur varie avec la température du fait de la dilatation différentielle de l'oxyde d'uranium et des différentes structures en zirconium (gaine et systèmes de maintien). Ce faible effet est imparfaitement rendu par la modélisation simplifiée qui fait l'hypothèse d'un rapport constant entre le nombre d'atomes d'uranium et le nombre d'atomes de zirconium
Valeur légèrement inférieure à celle qu'on peut déduire de la dilatabilité de l'eau du fait de la variation du volume du cœur.
L' oxygène est l'élément chimique le moins capturant ce qui a rendu possible et attractive la technologie des réacteurs à eau et oxyde d'uranium

Références

Naudet R Le phénomène d'Oklo, AIEA, PDF, 3 pages
[PDF] Reuss P (1996), Bases de neutronique : coefficients de réactivité dans les réacteurs nucléaires, INSTN/UERTI, Saclay, septembre 1996, 32 p.
Formule des quatre facteurs

Voir aussi

Naudet R & Filip A (1975) Étude du bilan neutronique des réacteurs naturels d'Oklo. Le Phénomène D'Oklo, IAEA, Vienna, 527-540.

Articles connexes

Bibliographie

[PDF] Reuss P (1996), Bases de neutronique : coefficients de réactivité dans les réacteurs nucléaires, INSTN/UERTI, Saclay, septembre 1996, 32 p.
Théorie de la réaction de fission en chaîne par A. Blaquière

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[1] Les réseaux combustibles des réacteurs à eau sous-pression électrogènes sont similaires du point de vue de leurs caractéristiques neutroniques

[2] Il est également possible de définir la concentration relative en hydrogène par rapport à la matière fissile par le rapport $R_{m5}={\frac {N_{h}}{N_{u5}}}$ , cependant les deux grandeurs $e_{n}$ et $R_{m5}$ ne sont pas indépendantes avec $R_{m5}=e_{n}\times R_{m}$ . Une augmentation de l'enrichissement se traduit, toutes choses égales, par une diminution du rapport $R_{m5}$ . Ceci conduit à préférer le paramètre $R_{m}$ pour paramétrer la modération du cœur

[Approx-3] Les valeurs à plus de 3 chiffres significatifs sont données, simplement pour éviter un cumul d'erreurs "d'arrondis" sans que ceci veuille dire que le résultat soit précis à mieux que +/- 3 %

[eta-4] Les définitions des facteurs $\eta$ et $f$ souffrent d'une ambiguïté liée à la définition de ce que l'on entend par « combustible ». Le « combustible » peut comprendre l'ensemble des atomes lourds fissiles et non fissiles ou les seuls atomes fissiles. L'approche consistant à limiter le « combustible » aux seuls atomes fissiles :
est cohérente avec la définition du facteur $\eta$ donnée dans le tableau

conduit à des relations un peu plus simples que l'autre

élimine l’ambiguïté relative aux atomes de forme chimique et structure du combustible (l'oxygène et le zirconium)

a l'avantage de faire que $\eta$ est indépendant de la géométrie du cœur et ne dépend que des caractéristiques physiques des corps fissiles.

rend la formulation du facteur $f$ un peu plus simple
L'approche « atomes lourds » :
est plus cohérente avec le fait que des atomes lourds non fissiles en neutrons thermiques le sont en neutrons rapides.

est également plus homogène avec le fait que des atomes lourds non fissiles le deviennent (et réciproquement) par capture neutronique dans le cours de l'évolution du cœur.

a été semble-t-il historiquement plus utilisée que celle ci-dessus dans les ouvrages de neutronique ; on peut raisonnablement penser que c'est celle qui était en usage en 1942 à Chicago, compte tenu de la nature de la pile au graphite.
Dans tous les cas, le produit $\eta \times f$ est conservé, en revanche le facteur $\varepsilon \cdot f$ dépend de la valeur de $f$ ; même si les écarts restent faibles, il ne s'agit donc pas uniquement d'une question formelle de présentation. Pour analyser un résultat d'étude il est nécessaire de savoir laquelle des deux visions a été mise en œuvre. Dans le présent article on retient l'approche atomes lourds, donc : « combustible » = « oxyde d'uranium » pour un cœur neuf. L'oxygène, lié chimiquement aux atomes lourds fait nécessairement partie du combustible. En outre le combustible est généralement gainé, il convient de préciser si le gainage est considéré comme faisant partie du combustible ou des matériaux de structure. Dans le présent article le gainage est considéré comme matériau de structure

[5] st cohérente avec la définition du facteur $\eta$ donnée dans le tableau

[6] uit à des relations un peu plus simples que l'autre

[7] élimine l’ambiguïté relative aux atomes de forme chimique et structure du combustible (l'oxygène et le zirconium)

[8] 'avantage de faire que $\eta$ est indépendant de la géométrie du cœur et ne dépend que des caractéristiques physiques des corps fissiles.

[9] rend la formulation du facteur $f$ un peu plus simple

[10] st plus cohérente avec le fait que des atomes lourds non fissiles en neutrons thermiques le sont en neutrons rapides.

[11] st également plus homogène avec le fait que des atomes lourds non fissiles le deviennent (et réciproquement) par capture neutronique dans le cours de l'évolution du cœur.

[12] été semble-t-il historiquement plus utilisée que celle ci-dessus dans les ouvrages de neutronique ; on peut raisonnablement penser que c'est celle qui était en usage en 1942 à Chicago, compte tenu de la nature de la pile au graphite.

[5] Dans le cœur d'un REP il n'y a en fait de structures quasiment que le zirconium des gaines et les tubes guides des assemblages de combustible

[6] L'oxyde se dilate beaucoup plus que le zirconium ce qui fait que le nombre d'atomes de zirconium présents dans le flux rapporté au nombre d'atomes d'uranium varie avec la température

[9] Du fait de la légère variation de $\varepsilon$ et $\eta$ en fonction de $R_{m}$ l'optimum de modération est trouvé pour une valeur de $R_{m}$ légèrement inférieure (5 % environ)à la valeur du maximum du produit $p\times f$ donné par cette formule

[10] La manutention sure des éléments en piscine est telle que si le pas entre éléments est augmenté en vue des manutentions le $k_{\infty }$ diminue, donc le réseau est proche de l'optimum de modération ; ceci est corroboré par le fait qu'à froid le coefficient de température du REP 900 sans acide borique est pratiquement nul

[11] Cette façon de faire fait porter sur la capture dans l'U8 l'intégrale de l'effet de reprise froid chaud ce qui est bien sûr contestable mais préserve la constance de ε et de p dans la variation de température ce qui semble plus acceptable qu'une autre hypothèse

[12] Il a cependant été établi que les réacteurs d'Oklo ont fonctionné en température jusqu'à une valeur assez élevée, pour autant les conditions minimales de divergence ont forcément été réunies à froid

[13] 'analyse du minerai conduit à constater que la gangue d'Oklo constituée majoritairement d'oxydes est assez faiblement capturante des neutrons

[14] Les teneurs mesurées et estimées à Oklo sont plus élevées

[15] Il existe cependant des réacteurs à cœur cylindrique à axe horizontal comme les réacteurs CANDU

[16] Il est également possible d'évaluer le volume extrapolé du cœur à partir de dimensions intermédiaires $\scriptstyle d'\simeq h'$ proches de l'ortho-cylindre et qui respectent bien sûr la relation $\scriptstyle h'*{\pi \over 4}\times d'^{2}=V$

[17] En toute rigueur la valeur du flux thermique donnée dans l'article flux neutronique serait à augmenter de 7 % pour tenir compte de ce que le flux thermique est évalué dans cet article en tenant compte d'un flux rapide responsable de 7 % des fissions

[18] Dans la variation "froid/chaud" de la masse d'eau présente dans le cœur, outre l'aspect prépondérant de la dilatation de l'eau, le "jeu" pastille gaine présent à froid est annulé à chaud par la pression primaire qui plaque le zirconium sur l'oxyde

[Masse-19] Les masses molaires utilisées sont celles de la littérature scientifique, la mention faite dans le tableau défini la notation utilisée dans l'article

[Temp-20] Les valeurs des concentrations en atomes sont susceptibles de variations avec la température de fonctionnement qui modifie la géométrie du cœur : la hauteur combustible du fait de la dilatation de l'oxyde d'uranium et le diamètre du fait de la dilatation de l'acier inoxydable des structures de maintien) et la quantité d'eau présente dans le cœur ; bien que faibles ces variations affectent les résultats du calcul

[21] Un jeu existe à froid entre les pastilles d'UO₂ et la gaine en zirconium, rattrapé à chaud par plaquage de la gaine en zirconium sur l'oxyde. Le rapport volumique de modération varie en conséquence

[zirconium-22] La quantité de zirconium effectivement présente dans le cœur varie avec la température du fait de la dilatation différentielle de l'oxyde d'uranium et des différentes structures en zirconium (gaine et systèmes de maintien). Ce faible effet est imparfaitement rendu par la modélisation simplifiée qui fait l'hypothèse d'un rapport constant entre le nombre d'atomes d'uranium et le nombre d'atomes de zirconium

[23] Valeur légèrement inférieure à celle qu'on peut déduire de la dilatabilité de l'eau du fait de la variation du volume du cœur.

[27] L' oxygène est l'élément chimique le moins capturant ce qui a rendu possible et attractive la technologie des réacteurs à eau et oxyde d'uranium

[NaudetAIEA-7] Naudet R Le phénomène d'Oklo, AIEA, PDF, 3 pages

[ReussINSTN-8] [PDF] Reuss P (1996), Bases de neutronique : coefficients de réactivité dans les réacteurs nucléaires, INSTN/UERTI, Saclay, septembre 1996, 32 p.

[24] Formule des quatre facteurs

Réactivité d'un assemblage nucléaire

Réactivité d'un milieu infini

Évaluation estimative de k ∞ {\displaystyle k_{\infty }} dans le cas d'un réseau combustible type

Évaluation simplifiée du facteur η

Évaluation simplifiée du facteur f

Évaluation simplifiée du facteur p

Évaluation simplifiée du facteur ε

Évolution de k ∞ {\displaystyle k_{\infty }} et k e f f {\displaystyle k_{eff}} en fonction des paramètres principaux du cœur

Effet d'une variation de l'enrichissement sur les valeurs de k ∞ {\displaystyle k_{\infty }} et k e f f {\displaystyle k_{eff}}

Évolution de k ∞ {\displaystyle k_{\infty }} avec la modération - Optimum de modération - Coefficient de température modérateur - Condition de stabilité - Reprise froid chaud

Optimum de modération et condition de stabilité du cœur

Coefficient de température modérateur - Reprise de réactivité "froid-chaud"

Comparaison avec les réacteurs d'Oklo

Réactivité d'un milieu limité

Forme du cœur minimisant les fuites

Autres paramètres du réseau influant sur la réactivité

Échantillonnage du combustible

Notations, données et résultats

Notes

Références

Voir aussi

Articles connexes

Bibliographie

Évaluation estimative de $k_{\infty }$ dans le cas d'un réseau combustible type

Évolution de $k_{\infty }$ et $k_{eff}$ en fonction des paramètres principaux du cœur

Effet d'une variation de l'enrichissement sur les valeurs de $k_{\infty }$ et $k_{eff}$

Évolution de $k_{\infty }$ avec la modération - Optimum de modération - Coefficient de température modérateur - Condition de stabilité - Reprise froid chaud