Réponse impulsionnelle

Représentation entrée-sortie d'un système d'entrée u et de sortie y = u * h, h étant la réponse impulsionnelle du système.

Exemple de sortie y d'un signal en fonction de son entrée u et de sa réponse impulsionnelle h (ici, des signaux binaires en temps discret).

Soit T la représentation mathématique d’un système à temps discret ; à une entrée u correspond une sortie y satisfaisant la relation :

${\displaystyle \{y(n)\}=T[\{u(n)\}].}$

T est ainsi une application de l’espace des suites dans lui-même.

Supposons de plus que T soit linéaire et invariant par translation temporelle. Dans ce cas, la réponse impulsionnelle

${\displaystyle \{h(n)\}=T[\{\delta (n)\}]}$

caractérise entièrement le système, la sortie y pouvant être calculée à partir de n’importe quelle entrée u en appliquant la relation suivante dans le cas discret :

${\displaystyle y(n)=\sum _{k\in \mathbb {Z} }h(n-k)u(k)=\sum _{k\in \mathbb {Z} }h(k)u(n-k)\ }$

Dans le cas continu, cette relation s’écrit, similairement :

${\displaystyle y(t)=\int _{-\infty }^{\infty }h(t-\tau )u(\tau )d\tau =\int _{-\infty }^{\infty }h(\tau )u(t-\tau )d\tau .}$

Ces opérations correspondent à un produit de convolution entre l'entrée u et la réponse impulsionnelle h, que l'on note u ∗ h. On a donc la relation y = u ∗ h.

L'impulsion unité δ possède la propriété suivante : ${\displaystyle u(\cdot )\delta (\cdot )=u(0)\delta (\cdot )}$ Cette propriété permet d'extraire la valeur du signal u en n = 0 en le multipliant simplement par ${\displaystyle \delta (\cdot )}$. De même, pour récupérer la valeur du signal en un instant n = k, il suffit de le multiplier par l'impulsion décalée ${\displaystyle \delta (\cdot -k)}$.

On remarque ainsi qu'une entrée u est une suite d'impulsions discrètes décalées dans le temps. Puisque le système est invariant, le décalage des impulsions produit simplement une sortie elle aussi décalée (voir système invariant). La linéarité du système permet ensuite d’exprimer la sortie y par la somme des réponses spécifiques à chacune de ses impulsions.

Considérons alors la contribution à l'instant n de l'impulsion décalée de k₀ : pour une entrée ${\displaystyle u(k_{0})\delta (\cdot -k_{0})}$, la sortie à l'instant n vaut h(n –k₀) u(k₀).

La réponse totale s'obtient ainsi en sommant les contributions de toutes les impulsions décalées, soit :

${\displaystyle y(n)=\sum _{k\in \mathbb {Z} }h(n-k)u(k),}$

un produit de convolution qui, par commutativité, conduit à :

${\displaystyle y(n)=\sum _{k\in \mathbb {Z} }h(k)u(n-k).}$

Un raisonnement similaire permet de généraliser ce résultat au cas continu. Les sommes seront remplacées par des intégrales.