Système invariant

Pour savoir comment déterminer si un système est invariant, considérons les deux systèmes :

• Système A: ${\displaystyle y(t)=t\,x(t)}$
• Système B: ${\displaystyle \,\!y(t)=10x(t)}$

Comme le système A dépend explicitement du temps t en dehors de ${\displaystyle x(t)\,}$ et ${\displaystyle y(t)\,}$, alors le système n'est pas invariant. Le système B, lui, ne dépend pas explicitement du temps t et est donc invariant.

Une preuve plus formelle de l'invariance (ou non) des systèmes A et B ci-dessus est présentée ici. Pour effectuer cette preuve, la seconde définition va être utilisée.

Système A :

À partir de l'entrée avec un décalage ${\displaystyle x_{d}(t)=\,\!x(t+\delta )}$

${\displaystyle y(t)=t\,x_{d}(t)}$

${\displaystyle y_{1}(t)=t\,x_{d}(t)=t\,x(t+\delta )}$

Maintenant retardons la sortie par ${\displaystyle \delta }$

${\displaystyle y(t)=t\,x_{d}(t)}$

${\displaystyle y_{2}(t)=\,\!y(t+\delta )=(t+\delta )x(t+\delta )}$

Clairement ${\displaystyle y_{1}(t)\,\!\neq y_{2}(t)}$, c'est pourquoi le système n'est pas invariant.

Système B :

À partir de l'entrée avec un décalage ${\displaystyle x_{d}(t)=\,\!x(t+\delta )}$

${\displaystyle y(t)=10\,x_{d}(t)}$

${\displaystyle y_{1}(t)=10\,x_{d}(t)=10\,x(t+\delta )}$

Maintenant retardons la sortie par ${\displaystyle \,\!\delta }$

${\displaystyle y(t)=10\,x_{d}(t)}$

${\displaystyle y_{2}(t)=y(t+\delta )=10\,x(t+\delta )}$

Clairement ${\displaystyle y_{1}(t)=\,\!y_{2}(t)}$, c'est pourquoi le système est invariant

Notons l'opérateur retard par ${\displaystyle \mathbb {T} _{r}}$ où ${\displaystyle r}$ est la quantité par laquelle le paramètre vectoriel doit être retardé. Par exemple, le système "avance de 1" :

${\displaystyle x(t+1)=\,\!\delta (t+1)*x(t)}$

peut être représenté par la notation abstraite :

${\displaystyle {\tilde {x}}_{1}=\mathbb {T} _{1}\,{\tilde {x}}}$

où ${\displaystyle {\tilde {x}}}$ est la fonction donnée par

${\displaystyle {\tilde {x}}=x(t)\,\forall \,t\in \mathbb {R} }$

le système produisant la sortie décalée

${\displaystyle {\tilde {x}}_{1}=x(t+1)\,\forall \,t\in \mathbb {R} }$

Donc ${\displaystyle \mathbb {T} _{1}}$ est un opérateur qui avance l'entrée vectorielle de 1.

Supposons que nous représentions le système par un opérateur ${\displaystyle \mathbb {H} }$. Ce système est invariant s'il commute avec l'opérateur retard, c’est-à-dire :

${\displaystyle \mathbb {T} _{r}\,\mathbb {H} =\mathbb {H} \,\mathbb {T} _{r}\,\,\forall \,r}$

Si l'équation du système est donnée par :

${\displaystyle {\tilde {y}}=\mathbb {H} \,{\tilde {x}}}$

Alors c'est un système invariant si on peut appliquer l'opérateur ${\displaystyle \mathbb {H} }$ sur ${\displaystyle {\tilde {x}}}$ suivi de l'opérateur retard ${\displaystyle \mathbb {T} _{r}}$, ou appliquer l'opérateur retard ${\displaystyle \mathbb {T} _{r}}$ suivi de l'opérateur du système ${\displaystyle \mathbb {H} }$, les 2 calculs produisant un résultat équivalent.

Appliquons l'opérateur du système en premier :

${\displaystyle \mathbb {T} _{r}\,\mathbb {H} \,{\tilde {x}}=\mathbb {T} _{r}\,{\tilde {y}}={\tilde {y}}_{r}}$

Appliquer l'opérateur retard en premier donne:

${\displaystyle \mathbb {H} \,\mathbb {T} _{r}\,{\tilde {x}}=\mathbb {H} \,{\tilde {x}}_{r}}$

Si le système est invariant, alors

${\displaystyle \mathbb {H} \,{\tilde {x}}_{r}={\tilde {y}}_{r}}$