Résidu d'un entier naturel

Soit ${\displaystyle n}$ un entier naturel. Pour une base ${\displaystyle b>1}$ donnée on définit la somme des chiffres de ${\displaystyle n}$ en base ${\displaystyle b}$, notée ${\displaystyle F_{b}(n):\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N} }$ par

${\displaystyle F_{b}(n)=\sum _{i=0}^{k-1}d_{i}}$

où ${\displaystyle k=\lfloor \log _{b}{n}\rfloor +1}$ est le nombre de chiffres de ${\displaystyle n}$ base ${\displaystyle b}$, et

${\displaystyle d_{i}={\frac {n{\bmod {b^{i+1}}}-n{\bmod {b}}^{i}}{b^{i}}}}$

est la valeur du i^ème chiffre. ${\displaystyle n}$ est un résidu si c'est un point fixe de ${\displaystyle F_{b}}$, c'est-à-dire si ${\displaystyle F_{b}(n)=n}$.

En base ${\displaystyle b}$ les seuls résidus possibles sont les nombres de 0 à ${\displaystyle b-1}$. En effet si ${\displaystyle n\geq b}$ on a nécessairement ${\displaystyle F_{b}(n)<n}$ car ${\displaystyle k>1}$ et donc

${\displaystyle \sum _{i=0}^{k-1}d_{i}<\sum _{i=0}^{k-1}d_{i}b^{i}}$.

En revanche, si ${\displaystyle n<b}$ on a ${\displaystyle F_{b}(n)=n}$.

Les seuls résidus possibles sont donc compris entre 0 et ${\displaystyle b-1}$ ; de plus, il n'y a pas de cycle en dehors des points fixes, ce qui garantit que l'application répétée de la fonction ${\displaystyle F_{b}}$ aboutit nécessairement au résidu en un nombre fini d'étapes.

La persistance additive d'un nombre ${\displaystyle n}$ est le nombre de fois où l'on doit sommer les chiffres pour atteindre son résidu. En d'autres termes, il s'agit du nombre d'itérations de ${\displaystyle F_{b}}$ nécessaires pour atteindre son point fixe.

Par exemple la persistance additive de 65 535 en base 10 est de 2, puisque l'on passe par deux étapes (25 et 7) pour atteindre le résidu.

Quelle que soit la base ${\displaystyle b}$, la persistance additive n'est pas bornée, c'est-à-dire qu'il existe des nombres dont la persistance additive est arbitrairement grande.

Démonstration : s'il existait une plus grande persistance additive M, soit n un nombre dont la persistance additive est M. Le nombre s'écrivant comme n fois le chiffre 1 a une persistance additive de M+1 (il faut une étape pour sommer tous les 1 puis M étapes pour obtenir le résidu de n), ce qui contredit l'hypothèse.

Le nombre 10 et ses puissances successives (100, 1000, etc.) étant congrus à 1 modulo 9, un nombre écrit en base 10 est congru à la somme de ses chiffres (propriétés algébriques des congruences). Ainsi, dans le cas d'un nombre à trois chiffres qui s'écrit abc, comme 10 ≡ 1 (mod 9) et 10² ≡ 1² ≡ 1(mod 9) ${\displaystyle {\overline {abc}}^{10}=10^{2}a+10b+c\equiv a+b+c{\pmod {9}}.}$ Cette somme étant nécessairement plus petite que le nombre initial dès que celui-ci a plusieurs chiffres, le procédé itératif se termine sur un nombre à un seul chiffre, non nul dès que l'entier initial est non nul. Celui-ci caractérise la classe de congruence puisqu'il y a exactement 9 chiffres différents de 0 et 9 classes de congruences[3]. On en déduit le reste de la division par 9 du nombre initial, appelé aussi résidu modulo 9 de ce nombre[4].

• si la somme des chiffres itérée de n est 9, le reste de la division de n par 9 est 0 ;
• sinon, la somme des chiffres itérée de n égale le reste de la division de n par 9.

• Arithmétique et théorie des nombres