Radical d'un entier

En arithmétique, le radical d'un entier n strictement positif est le produit des nombres premiers qui divisent n :

\displaystyle \mathrm {rad} (n)=\prod _{p\mid n \atop p{\text{ premier}}}p~.

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Exemples

La suite A007947 de l'OEIS des radicaux des entiers strictement positifs commence parrad(1) = 1, rad(2) = 2, rad(3) = 3, rad(4) = 2, rad(5) = 5, rad(6) = 6, rad(7) = 7, rad(8) = 2, rad(9) = 3, rad(10) = 10.
rad(504) = rad(2³ × 3² × 7) = 2 × 3 × 7 = 42.

Propriétés

La fonction $rad$ est multiplicative, mais non complètement multiplicative.
Le radical de tout entier n > 0 est le plus grand diviseur de n sans facteur carré.
Dans l'anneau des entiers relatifs, le radical de l'idéal engendré par n est l'idéal engendré par le radical de n.
Les éléments nilpotents de ℤ/nℤ sont les multiples de rad(n).
Une des utilisations les plus frappantes de la notion de radical est la conjecture abc.

Références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Radical of an integer » (voir la liste des auteurs).
(en) Richard Guy, Unsolved Problems in Number Theory, New York, Springer-Verlag, 2004, 437 p. (ISBN 0-387-20860-7, lire en ligne), p. 102

Arithmétique et théorie des nombres

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