Sphère de Hill

En astronomie, la sphère de Hill (ou sphère de Roche) d'un corps A en orbite autour d'un autre B, plus massif, est une approximation de la zone d'influence gravitationnelle de ce premier corps A, c'est-à-dire du volume d'espace où la satellisation d'un troisième corps C de masse négligeable devant les 2 premiers, est possible autour du premier corps A, lui-même en orbite, sans être capturé par le deuxième B.

Le concept a été défini par l'astronome américain George William Hill, sur la base de travaux antérieurs de l'astronome français Édouard Roche.

Tracé de courbes d'un système à deux corps considérant la gravité et l'inertie à un instant. Les sphères de Hill sont les régions circulaires autour des deux grandes masses.
Pour la Terre la sphère de Hill s'étend entre les points L1 et L2 (les rayons de la Terre et du Soleil ne sont pas à l'échelle).

Explication simplifiée

Dans le cas de la planète Jupiter, en orbite autour du Soleil, il est possible de calculer en tout point de l'espace la somme des trois forces suivantes :

la force de gravitation causée par Jupiter ;
la force de gravitation causée par le Soleil ;
la force centrifuge expérimentée par une particule située en ce point et se déplaçant à la même vitesse angulaire que Jupiter autour du Soleil.

La sphère de Hill de Jupiter est la plus grande sphère, centrée sur Jupiter, à l'intérieur de laquelle la somme de ces trois forces est toujours dirigée vers la planète. En d'autres termes, la résultante de ces trois forces est une force centripète et la sphère de Hill décrit la limite qu'un objet plus petit comme une lune ou un satellite artificiel peut occuper pour tourner autour de Jupiter. Mathématiquement parlant, la sphère de Hill est le lieu où le gradient des champs gravitationnels de Jupiter et du Soleil s'équilibrent. Il est également possible d'exprimer ceci comme le lieu où les forces de marée des deux objets sont égales. Au-delà de cette sphère, un troisième objet en orbite autour de Jupiter serait petit à petit dévié par les forces de marée du Soleil et finirait par orbiter autour de ce dernier.

Détails

Rayon

Si un objet de masse m orbite un objet plus lourd de masse M avec un demi-grand axe a et une excentricité e, alors le rayon r de sa sphère de Hill est, approximativement[1]^,[2] :

r\approx a(1-e){\sqrt[{3}]{\frac {m}{3M}}}

Si l'excentricité est négligeable, cette valeur devient :

r\approx a{\sqrt[{3}]{\frac {m}{3M}}}

Le diamètre de la sphère de Hill est grosso-modo égal à la distance séparant les points de Lagrange L₁ et L₂ de l'objet $m$ .

Relation remarquable à propos de la période

En négligeant l'excentricité de l'orbite, la période de révolution T_Hill d'un objet orbitant au rayon de Hill r du corps de masse m est toujours proportionnelle à la période de révolution T de ce corps de masse m << M orbitant autour du corps de masse M au demi-grand axe a, d'un facteur tel que :

T\approx {\sqrt {3}}T_{Hill}

et ce, quelles que soient la masse des objets considérés et leur distance relative, pourvu que l'approximation de Hill s'applique.

Démonstration

Le rayon de Hill s'exprime :

r\approx a{\sqrt[{3}]{\frac {m}{3M}}}

Le rapport entre les périodes est :

{\frac {T}{T_{Hill}}}={\frac {2\pi }{\sqrt {\frac {G(M+m)}{a^{3}}}}}*{\frac {\sqrt {\frac {Gm}{r^{3}}}}{2\pi }}\approx {\sqrt {{\frac {m}{M}}*\left({\frac {a}{r}}\right)^{3}}}

en considérant : $m<<M$ . En remplaçant, on obtient finalement :

{\frac {T}{T_{Hill}}}\approx {\sqrt {{\frac {m}{M}}*{\frac {3M}{m}}}}={\sqrt {3}}

Véritable région de stabilité

La sphère de Hill n'est qu'une approximation car d'autres forces entrent en jeu (comme la pression de radiation ou l'effet Yarkovsky) qui peuvent également perturber l'orbite de l'objet. En outre, le troisième objet doit être de masse suffisamment petite par rapport aux deux autres pour ne pas compliquer le résultat.

Exemples

Dans le système solaire, la planète qui a la plus grande sphère de Hill est Neptune, avec un rayon de 116 millions de kilomètres, soit 0,775 ua : sa grande distance au Soleil compense sa masse par rapport à Jupiter, dont la sphère de Hill mesure 53 millions de kilomètres de rayon. Pour la Terre, le rayon atteint 1,5 million de kilomètres, soit 0,01 ua. La Lune orbite à la distance de 380 000 km et est donc située bien à l'intérieur de la sphère de Hill terrestre. Dans la ceinture d'astéroïdes, le rayon de la sphère de Hill de Cérès mesure 220 000 km ; cette valeur décroit rapidement avec la masse des astéroïdes situés dans la même région. Dans le cas de (66391) Moshup, un astéroïde herméocroiseur doté d'une lune (Squannit), le rayon de la sphère de Hill varie entre 120 et 22 km selon que l'astéroïde est à son aphélie ou son périhélie. Par exemple la sonde Phobos-Grunt, qui devait explorer Phobos, la lune de Mars (mais ne put mener à bien sa mission), n'aurait pas pu se placer en orbite autour de Phobos car le rapport de masse entre Phobos et Mars (rapport de 1 pour 60 millions) et le demi-grand axe de l'orbite de Phobos autour de Mars (9 377 km) fixent la limite de l'influence gravitationnelle de Phobos à 16 km. Compte tenu de l'irrégularité de la forme de Phobos, cette orbite n'aurait pas pu être viable.

Corps du système solaire

Rayons (en km) de la sphère de Hill des planètes du système solaire

Rayons de Hill des planètes et de certaines planètes naines
	Nom	Masse (Terre = 1)	Masse (kg)	Demi-grand axe (UA)	Excentricité de l'orbite	Rayon de Hill (km)	Rayon de Hill (UA)
Planètes telluriques	Mercure	0.055	0.33 × 10²⁴	0.387	0.206	180 000	0.001
	Vénus	0.815	4.86 × 10²⁴	0.723	0.007	1 000 000	0.007
	Terre	1	5.97 × 10²⁴	1	0.0167	1 500 000	0.010
	Mars	0.107	0.64 × 10²⁴	1.523	0.093	1 000 000	0.007
Planètes géantes gazeuses	Jupiter	317.7	1898.6 × 10²⁴	5.203	0.048	50 600 000	0.338
Planètes géantes gazeuses	Saturne	95.2	568.46 × 10²⁴	9.537	0.054	61 600 000	0.412
Planètes géantes de glaces	Uranus	14.5	86.81 × 10²⁴	19.229	0.044	67 100 000	0.448
Planètes géantes de glaces	Neptune	17.1	102.43 × 10²⁴	30.104	0.009	115 000 000	0.769
Planètes naines	Cérès	0.000 15	0.0009 × 10²⁴	2.77	0.080	200 000	0.001
	Pluton	0.002 2	0.013 × 10²⁴	39.48	0.250	5 800 000	0.039
	Éris	0.002 8	0.016 × 10²⁴	67.67	0.442	8 000 000	0.053

Références

(en) D.P. Hamilton, J.A. Burns, « Orbital stability zones about asteroids », Icarus, vol. 92,‎ juillet 1991, p. 118-131 (DOI 10.1016/0019-1035(91)90039-V, résumé)
(en) D.P. Hamilton, J.A. Burns, « Orbital stability zones about asteroids. II - The destabilizing effects of eccentric orbits and of solar radiation », Icarus, vol. 96,‎ mars 1992, p. 43-64 (DOI 10.1016/0019-1035(92)90005-R, résumé)

Voir aussi

Articles connexes

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[HamiltonBurns91-1] (en) D.P. Hamilton, J.A. Burns, « Orbital stability zones about asteroids », Icarus, vol. 92,‎ juillet 1991, p. 118-131 (DOI 10.1016/0019-1035(91)90039-V, résumé)

[HamiltonBurns92-2] (en) D.P. Hamilton, J.A. Burns, « Orbital stability zones about asteroids. II - The destabilizing effects of eccentric orbits and of solar radiation », Icarus, vol. 96,‎ mars 1992, p. 43-64 (DOI 10.1016/0019-1035(92)90005-R, résumé)