Recherche des plus proches voisins

L'algorithme naïf de recherche de voisinage consiste à passer sur l'ensemble des n points de A et à regarder si ce point est plus proche ou non qu'un des plus proches voisins déjà sélectionné, et si oui, l'insérer. On obtient alors un temps de calcul linéaire en la taille de A : O(n) (tant que k << n). Cette méthode est appelée la recherche séquentielle ou recherche linéaire.

Algorithme naïf :

pour i allant de 1 à k
    mettre le point D[i] dans proches_voisins
fin pour
pour i allant de k+1 à n
    si la distance entre D[i] et x est inférieure à la distance d'un des points de proches_voisins à x
        supprimer de proches_voisins le point le plus éloigné de x
        mettre dans proches_voisins le point D[i]
    fin si
fin pour
proches_voisins contient les k plus proches voisins de x

La recherche linéaire souffre d'un problème de lenteur. Si l'ensemble A est grand, il est alors extrêmement coûteux de tester les n points de l'espace.

Les optimisations de cet algorithme se basent souvent sur des cas particuliers du problème. Le plus souvent, l'optimisation consiste à effectuer au préalable un algorithme (pré-traitement) pouvant avoir une complexité supérieure à O(n) mais permettant d'effectuer par la suite très rapidement un grand nombre de recherches. Il s'agit alors de trouver un juste milieu entre le temps de pré-calculs et le nombre de recherches qui auront lieu par la suite.

Recherche du plus proche voisin par un arbre k-d (animation).

Il existe des algorithmes efficaces de recherche lorsque la dimension D est petite (inférieure à ~15). La structure la plus connue est l'arbre k-d, introduite en 1975[1].

Un problème majeur de ces méthodes est de souffrir de la malédiction de la dimension : lorsque la dimension D est trop grande, ces méthodes ont des performances comparables ou inférieures à une recherche linéaire[2].

La recherche des plus proches voisins d'un point C dans un arbre k-d se fait de la manière suivante :

1. On cherche à placer le point C dans l'arbre, on applique donc l'algorithme d'insertion.
2. Une fois arrivé à une feuille, ce point est sauvegardé comme étant le « meilleur candidat pour l'instant ».
3. On remonte l'arbre :
   1. Si le nœud courant est plus proche, il devient le meilleur candidat ;
   2. On détermine si une partie de la cellule située de l'autre côté de l'hyperplan délimité par le nœud peut contenir un point plus proche. Pour cela, on détermine l'intersection de l'hyperplan avec la boule de recherche[3] :
      • si la boule de recherche traverse l'hyperplan, on effectue une recherche en descendant la branche correspondante ;
      • sinon, on élimine la branche et on continue à remonter l'arbre.
4. On s'arrête à la racine.

On remplace les points de l'espace E par une empreinte, typiquement un nombre, calculée par une fonction de hachage. Plutôt que de faire une recherche par les m coordonnées (pour un espace E à m dimensions), on fait une recherche des plus proches voisins par la valeur de l'empreinte. On fait des recherches sur plusieurs empreintes, en utilisant une famille de fonctions de hachage, jusqu'à trouver un candidat statistiquement satisfaisant.