Relation d'Euler dans le quadrilatère

Dans un quadrilatère plan ${\displaystyle ABCD}$ de côtés de longueurs ${\displaystyle AB=a,BC=b,CD=c,DA=d}$, de diagonales de longueurs ${\displaystyle AC=e}$ et ${\displaystyle BD=f}$, ${\displaystyle g=MN}$ étant la distance entre les milieux des deux diagonales, la relation d'Euler s'écrit :

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=e^{2}+f^{2}+4g^{2}}$

On trouvera une démonstration, utilisant la relation d'Al Kashi dans les quatre triangles formés par les côtés et les diagonales, dans [2].

Le quadrilatère étant un parallélogramme si et seulement si ses diagonales se coupent en leur milieu, autrement dit si et seulement si ${\displaystyle g=0}$, on obtient le fait qu'un quadrilatère convexe est un parallélogramme si et seulement si la somme des carrés des longueurs de ses côtés est égale à la somme des carrés des longueurs de ses diagonales, ce qui généralise la règle du parallélogramme.

La relation ci-dessus est en fait valable pour tout quadruplet ${\displaystyle (A,B,C,D)}$ de points d'un espace affine euclidien, donc éventuellement non coplanaires, en l'écrivant sous la forme :

${\displaystyle AB^{2}+BC^{2}+CD^{2}+AD^{2}=AC^{2}+BD^{2}+4MN^{2}}$

où ${\displaystyle M{\text{ et }}N}$ sont les milieux de ${\displaystyle [AC]}$ et ${\displaystyle [BD]}$.

Si l'on pose ${\displaystyle {\overrightarrow {a}}={\overrightarrow {AB}},{\overrightarrow {b}}={\overrightarrow {BC}},{\overrightarrow {c}}={\overrightarrow {CD}}}$, alors ${\displaystyle {\overrightarrow {AD}}={\overrightarrow {a}}+{\overrightarrow {b}}+{\overrightarrow {c}}}$ et ${\displaystyle 2{\overrightarrow {MN}}={\overrightarrow {OB}}+{\overrightarrow {OD}}-({\overrightarrow {OA}}+{\overrightarrow {OC}})={\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {CD}}={\overrightarrow {a}}+{\overrightarrow {c}}}$ ; la relation d'Euler s'écrit donc :

${\displaystyle {\overrightarrow {a}}^{2}+{\overrightarrow {b}}^{2}+{\overrightarrow {c}}^{2}+({\overrightarrow {a}}+{\overrightarrow {b}}+{\overrightarrow {c}})^{2}=({\overrightarrow {a}}+{\overrightarrow {b}})^{2}+({\overrightarrow {b}}+{\overrightarrow {c}})^{2}+({\overrightarrow {c}}+{\overrightarrow {a}})^{2}}$

ce qui se montre facilement en développant.

• Quadrilatère
• Égalité du parallélogramme
• Formule de Bretschneider
• Liste de sujets portant le nom d'Euler

• Eric W. Weisstein, "Quadrilateral" ; MathWorld.

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