Représentation d'algèbre de Lie

Une représentation de l'algèbre de Lie ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ dans un espace vectoriel V est la donnée d'un morphisme ${\displaystyle \pi \,:\,{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(V)}$. Autrement dit, ${\displaystyle \pi }$ est une application linéaire qui vérifie également ${\displaystyle \forall x,y\in {\mathfrak {g}},\ \pi ([x,y])=\pi (x)\circ \pi (y)-\pi (y)\circ \pi (x)}$. On note ${\displaystyle (\pi ,V)}$ cette représentation ou simplement ${\displaystyle V}$ lorsqu'il n'y a pas d'ambigüité possible sur ${\displaystyle \pi }$. On dit aussi que V est un ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-module ou simplement un module. On note parfois ${\displaystyle x\cdot v}$ au lieu de ${\displaystyle \pi (x)(v)}$ l'action de l'élément ${\displaystyle x\in {\mathfrak {g}}}$ sur le vecteur ${\displaystyle v\in V}$.

Une représentation ${\displaystyle (\pi ,V)}$ est dite fidèle si le morphisme ${\displaystyle \pi }$ est injectif. Dans ce cas, l'algèbre de Lie ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ peut être vue comme une sous-algèbre de Lie de ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(V)}$.

Une sous-représentation d'une représentation ${\displaystyle (\pi ,V)}$ de ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ est la donnée d'un sous-espace vectoriel W de V stable par l'action de ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, i.e. tel que ${\displaystyle \forall x\in {\mathfrak {g}},\ \pi (x)(W)\subset W}$. En particulier, pour qu'une droite vectorielle D engendrée par un vecteur v soit stable il faut et il suffit que v soit un vecteur propre commun à tous les endomorphismes ${\displaystyle \pi (x)}$. Une représentation ${\displaystyle (\pi ,V)}$ est irréductible si elle n'admet aucune sous-représentation propre, c'est-à-dire autre que les sous-espaces ${\displaystyle \{0\}}$ et V. En particulier toute représentation ${\displaystyle (\pi ,V)}$ de dimension 1 est irréductible, car dans ce cas les seuls sous-espaces vectoriels de V sont précisément ${\displaystyle \{0\}}$ et V. Soit ${\displaystyle V'}$ une sous-représentation de ${\displaystyle (\pi ,V)}$. La représentation quotient est la représentation ${\displaystyle {\bar {\pi }}}$ de ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ dans l'espace quotient ${\displaystyle V/V'}$ définie par ${\displaystyle \forall x\in {\mathfrak {g}},\ \forall v\in V,\ {\bar {\pi }}(x)(v+V')=\pi (x)(v)+V'}$.

Un morphisme entre deux représentations ${\displaystyle (\pi ,V)}$ et ${\displaystyle (\pi ',V')}$ d'une même algèbre de Lie ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ est la donnée d'une application linéaire ${\displaystyle \varphi :V\rightarrow V'}$ qui commute à l'action de ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, c'est-à-dire telle que ${\displaystyle \forall x\in {\mathfrak {g}},\ \varphi \circ \pi (x)=\pi '(x)\circ \varphi }$. Lorsque ${\displaystyle \varphi }$ est un isomorphisme d'espaces vectoriels, on dit que les deux représentations sont isomorphes. L'ensemble de tous les morphismes entre les représentations ${\displaystyle (\pi ,V)}$ et ${\displaystyle (\pi ',V')}$ forme un espace vectoriel, noté ${\displaystyle Hom_{\mathfrak {g}}(V,V')}$.

Le lemme de Schur est un résultat important pour la compréhension de cet espace ${\displaystyle Hom_{\mathfrak {g}}(V,V')}$. En voici l'énoncé :

Remarques

• Le premier point du lemme de Schur résulte du fait que ${\displaystyle ker(\varphi )}$ est une sous-représentation de ${\displaystyle V}$ et ${\displaystyle Im(\varphi )}$ une sous-représentation de ${\displaystyle V'}$.
• Le deuxième point du lemme de Schur résulte du fait que tout endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie admet au moins une valeur propre ${\displaystyle \lambda }$ sur un corps algébriquement clos. Par conséquent ${\displaystyle \varphi -\lambda id}$ est un morphisme de V dans V qui n'est pas un isomorphisme. D'après le premier point, il s'agit donc de l'application nulle, i.e. ${\displaystyle \varphi =\lambda id}$. Ce résultat est encore valable en dimension infinie mais nécessite la puissance du théorème spectral.
• Le deuxième point du lemme de Schur est faux pour un corps non algébriquement clos. Supposons par exemple ${\displaystyle K=\mathbb {R} }$. Considérons la représentation ${\displaystyle (\pi ,V)}$ donnée par la formule ${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ,\ \pi (x)=\left({\begin{array}{cc}\cos x&-\sin x\\\sin x&\cos x\end{array}}\right)\in {\mathfrak {gl}}(2,\mathbb {R} )}$. On vérifie que ${\displaystyle (\pi ,V)}$ est une représentation irréductible de l'algèbre de Lie abélienne ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Considérons ${\displaystyle y=45^{o}}$ et posons ${\displaystyle \varphi$ :=\pi (y)} . Comme l'algèbre de Lie ${\displaystyle \mathbb {R} }$ est abélienne, ${\displaystyle \varphi }$ est un morphisme de V dans V. On peut d'ailleurs vérifier que ${\displaystyle \varphi }$ est bien un isomorphisme. Cependant ${\displaystyle \varphi }$ n'est pas un multiple de l'identité. Remarquons à ce propos que ${\displaystyle \varphi }$ n'a pas de valeurs propres réelles (ce qui explique pourquoi la preuve du deuxième point du lemme n'est pas valable dans ce cas).

• Une représentation d'une algèbre de Lie abélienne ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ est une application linéaire à valeurs dans un sous-espace commutatif de l'espace des endomorphismes d'un espace vectoriel V. Par exemple, si V est de dimension finie, on peut représenter ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ par des matrices diagonales (qui commutent entre elles).
• La représentation triviale de ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ dans un espace vectoriel V est la représentation ${\displaystyle \pi }$ définie par ${\displaystyle \forall x\in {\mathfrak {g}},\ \pi (x)=0}$.
• Si ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {gl}}(n,K)}$, on définit la représentation naturelle de ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ comme la représentation ${\displaystyle (\pi ,\ K^{n})}$ définie par ${\displaystyle \forall x\in {\mathfrak {g}},\ \pi (x)=x}$. Plus généralement la représentation naturelle d'une sous-algèbre de Lie ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ de ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n,K)}$ est définie comme l'inclusion de ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ dans ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n,K)}$. Elle est donc à valeurs dans ${\displaystyle K^{n}}$.
• La représentation adjointe d'une algèbre de Lie ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ est la représentation ${\displaystyle (ad,{\mathfrak {g}})}$ définie par ${\displaystyle \forall x\in {\mathfrak {g}},\ ad(x):\ y\in {\mathfrak {g}}\mapsto [x,y]\in {\mathfrak {g}}}$.
• Soit ${\displaystyle {\mathfrak {g}}=\mathbb {R} }$ l'algèbre de Lie abélienne de dimension 1, définie sur ${\displaystyle K=\mathbb {R} }$. Considérons l'espace ${\displaystyle V=L^{2}(\mathbb {R} )}$. On définit une représentation de ${\displaystyle \mathbb {R} }$ dans V par la formule ${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ,\ \pi (x)(f)=f\circ \tau _{x}\ }$, où ${\displaystyle \tau _{x}:\ y\in \mathbb {R} \mapsto y-x\in \mathbb {R} }$.

• Somme directe : soient ${\displaystyle (\pi ,V)}$ et ${\displaystyle (\pi ',V')}$ deux représentations de ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. On définit la représentation somme directe ${\displaystyle \pi \oplus \pi '}$ dans l'espace vectoriel ${\displaystyle V\oplus V'}$ par la formule ${\displaystyle \forall x\in {\mathfrak {g}},\ \forall v\in V,\ \forall v'\in V',\ (\pi \oplus \pi ')(x)(v,v')=(\pi (x)(v),\pi '(x)(v'))}$. Dans ce cas, ${\displaystyle V\oplus \{0\}}$ et ${\displaystyle \{0\}\oplus V'}$ sont des sous-représentations de ${\displaystyle (\pi \oplus \pi ',V\oplus V')}$.
• Produit tensoriel : soient ${\displaystyle (\pi ,V)}$ et ${\displaystyle (\pi ',V')}$ deux représentations de ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. On définit la représentation produit tensoriel ${\displaystyle \pi \otimes \pi '}$ dans l'espace vectoriel ${\displaystyle V\otimes V'}$ par la formule ${\displaystyle \forall x\in {\mathfrak {g}},\ \forall v\in V,\ \forall v'\in V',\ (\pi \otimes \pi ')(x)(v\otimes v')=\pi (x)(v)\otimes v'+v\otimes \pi '(x)(v')}$.
• Contragrédiente : soit ${\displaystyle (\pi ,V)}$ une représentation de ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. On définit la représentation contragrédiente ${\displaystyle \pi ^{*}}$ dans l'espace vectoriel dual ${\displaystyle V^{*}}$ par la formule ${\displaystyle \forall x\in {\mathfrak {g}},\ \forall v^{*}\in V^{*},\ \pi ^{*}(x)(v^{*})=-v^{*}\circ \pi (x)}$.
• Espace des morphismes : soient ${\displaystyle (\pi ,V)}$ et ${\displaystyle (\pi ',V')}$ deux représentations de ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. Nous avons vu comment définir l'espace vectoriel ${\displaystyle Hom_{\mathfrak {g}}(V,V')}$ des morphimes de V dans ${\displaystyle V'}$. On définit une représentation encore notée ${\displaystyle \pi }$ de ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ sur cet espace par la formule ${\displaystyle \forall x\in {\mathfrak {g}},\ \forall \varphi \in Hom_{\mathfrak {g}}(V,V'),\ \pi (x)(\varphi )=-\varphi \circ \pi (x)}$.
• Restriction à une sous-algèbre de Lie : soit ${\displaystyle (\pi ,V)}$ une représentation de ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. Soit ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ une sous-algèbre de Lie de ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. Alors ${\displaystyle (\pi _{|{\mathfrak {h}}},V)}$ est une représentation de ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$, appelée la restriction de ${\displaystyle (\pi ,V)}$ à ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$. On la note parfois ${\displaystyle V_{|{\mathfrak {h}}}}$ par abus de notations.

Une représentation de ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ est indécomposable si elle n'est pas isomorphe à la somme directe de deux sous-représentations propres. En particulier, toute représentation irréductible est indécomposable, mais la réciproque est fausse. Une représentation est semi-simple (ou complètement réductible) si elle est isomorphe à une somme directe de sous-représentations irréductibles (éventuellement en nombre infini). Une représentation indécomposable et semi-simple est nécessairement irréductible.

Exemples

• Soit ${\displaystyle {\mathfrak {g}}=\mathbb {R} }$ l'algèbre de Lie abélienne de dimension 1 sur le corps ${\displaystyle K=\mathbb {R} }$. On définit une représentation ${\displaystyle \pi }$ de ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ dans ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ par la formule ${\displaystyle \pi (x)=\left({\begin{array}{cc}x&0\\0&-x\end{array}}\right)\in {\mathfrak {gl}}(2,\mathbb {R} )}$. Cette représentation n'est pas irréductible. Par exemple la droite ${\displaystyle D_{1}}$ engendrée par le vecteur ${\displaystyle \left({\begin{array}{c}1\\0\end{array}}\right)}$ est stable, tout comme la droite ${\displaystyle D_{2}}$ engendrée par le vecteur ${\displaystyle \left({\begin{array}{c}0\\1\end{array}}\right)}$. Il s'agit donc de deux sous-représentations de ${\displaystyle \pi }$, irréductibles car de dimension 1. Or on a ${\displaystyle D_{1}\oplus D_{2}=\mathbb {R} ^{2}}$. Donc la représentation ${\displaystyle \pi }$ est semi-simple.
• Avec les notations de l'exemple précédent, on peut aussi considérer la représentation ${\displaystyle \pi '}$ dans ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ définie par la formule ${\displaystyle \pi '(x)=\left({\begin{array}{cc}1&x\\0&1\end{array}}\right)\in {\mathfrak {gl}}(2,\mathbb {R} )}$. A nouveau la droite ${\displaystyle D_{1}}$ est un sous-espace stable. Donc la représentation ${\displaystyle \pi '}$ n'est pas irréductible. Plus généralement, on peut vérifier que ${\displaystyle D_{1}}$ est la seule droite stable et donc la seule sous-représentation de ${\displaystyle \pi '}$. Ainsi ${\displaystyle \pi '}$ est indécomposable.
• Gardons toujours les mêmes notations. On définit la représentation ${\displaystyle \pi ''}$ de ${\displaystyle \mathbb {R} }$ dans ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ par la formule ${\displaystyle \pi ''(x)=\left({\begin{array}{cc}\cos x&-\sin x\\\sin x&\cos x\end{array}}\right)\in {\mathfrak {gl}}(2,\mathbb {R} )}$. On peut vérifier qu'il n'y a pas de droites stables par la représentation ${\displaystyle \pi ''}$. En d'autres termes, ${\displaystyle \pi ''}$ est irréductible.

Ces trois exemples traduisent le fait qu'une matrice réelle peut être soit diagonalisable, soit trigonalisable mais pas diagonalisble, ou ne possède pas de valeurs propres réelles. On voit ainsi que la notion de représentation d'une algèbre de Lie généralise la notion classique de réduction des endomorphismes.

Soit A une algèbre associative avec unité. Alors il existe sur A une structure d'algèbre de Lie pour laquelle le crochet de Lie est donné par la formule ${\displaystyle \forall a,b\in A,\ [a,b]=ab-ba}$. On note parfois ${\displaystyle A_{L}}$ cette algèbre de Lie. Ainsi toute algèbre associative fournit une algèbre de Lie. Nous avons vu que ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(V)}$ est un exemple de cette construction. Peut-on donner une réciproque à ce résultat ? Peut-on construire une algèbre associative à partir d'une algèbre de Lie. Cette idée conduit à la notion d'algèbre enveloppante d'une algèbre de Lie.

Soit ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ une algèbre de Lie sur K. Soit ${\displaystyle T({\mathfrak {g}})}$ l'algèbre tensorielle de ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. Soit J l'idéal bilatère de ${\displaystyle T({\mathfrak {g}})}$ engendré par les tenseurs ${\displaystyle x\otimes y-y\otimes x-[x,y]\in T({\mathfrak {g}})}$ pour tous x et y de ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. L'algèbre enveloppante de ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ est l'algèbre associative unitaire définie comme le quotient ${\displaystyle T({\mathfrak {g}})/J}$. On la note ${\displaystyle {\mathcal {U}}({\mathfrak {g}})}$. La composition ${\displaystyle \iota$ :{\mathfrak {g}}\hookrightarrow T({\mathfrak {g}})\rightarrow {\mathcal {U}}({\mathfrak {g}})} s'appelle l'application canonique de ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ dans son algèbre enveloppante. En tant qu'algèbre, ${\displaystyle {\mathcal {U}}({\mathfrak {g}})}$ est engendrée par 1 et l'image ${\displaystyle \iota ({\mathfrak {g}})}$. De plus, ${\displaystyle \iota }$ est un morphisme d'algèbres de Lie de ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ dans ${\displaystyle {\mathcal {U}}({\mathfrak {g}})_{L}}$. L'algèbre enveloppante d'une algèbre de Lie satisfait la propriété universelle suivante :

Exemple

• Si ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ est une algèbre de Lie abélienne, alors son algèbre enveloppante s'identifie à son algèbre symétrique ${\displaystyle {\mathcal {S}}({\mathfrak {g}})}$, qui elle-même s'identifie (après choix d'une base) à une algèbre de polynômes. En particulier, ${\displaystyle {\mathcal {U}}(K)}$ est isomorphe à l'algèbre des polynômes à une indéterminée ${\displaystyle K[X]}$.

Soit ${\displaystyle (\pi ,V)}$ une représentation de ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. Comme ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(V)}$ est une algèbre associative avec unité, la propriété universelle de ${\displaystyle {\mathcal {U}}({\mathfrak {g}})}$ implique qu'il existe un unique morphisme d'algèbres ${\displaystyle {\tilde {\pi }}:{\mathcal {U}}({\mathfrak {g}})\rightarrow {\mathfrak {gl}}(V)}$ telle que ${\displaystyle \forall x\in {\mathfrak {g}},\ {\tilde {\pi }}(x)=\pi (x)}$. Cette opération permet donc de passer d'une représentation d'une algèbre de Lie à un morphisme d'algèbres associatives. Réciproquement, tout morphisme d'algèbres associatives ${\displaystyle {\tilde {\pi }}:{\mathcal {U}}({\mathfrak {g}})\rightarrow {\mathfrak {gl}}(V)}$ donne par restriction à ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ un morphisme d'algèbres de Lie, c'est-à-dire à une représentation de ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. Ce principe s'interprète comme une équivalence de catégories entre la catégorie des représentations d'une algèbre de Lie donnée et la catégorie des représentations de son algèbre enveloppante.

Ce nouveau point de vue est important car il permet de considérer de nouveaux objets fondamentaux. Le premier d'entre eux est l'annulateur d'une représentation. Soit ${\displaystyle (\pi ,V)}$ une représentation de ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. Notons encore par la lettre ${\displaystyle \pi }$ la représentation de ${\displaystyle {\mathcal {U}}({\mathfrak {g}})}$ qu'il s'en déduit. Alors l'annulateur de V est l'ensemble ${\displaystyle Ann(V):=\{u\in {\mathcal {U}}({\mathfrak {g}}),\ \pi (u)=0\}}$. C'est un idéal bilatère de ${\displaystyle {\mathcal {U}}({\mathfrak {g}})}$ car ${\displaystyle \pi }$ est un morphisme d'algèbres. Tout idéal qui est l'annulateur d'une représentation irréductible de ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ s'appelle un idéal primitif.

Soit ${\displaystyle (\pi ,V)}$ une représentation de ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. Notons encore par la lettre ${\displaystyle \pi }$ la représentation de ${\displaystyle {\mathcal {U}}({\mathfrak {g}})}$ qu'il s'en déduit. Pour tout v dans V, l'ensemble ${\displaystyle \pi ({\mathcal {U}}({\mathfrak {g}}))(v)}$ définit une sous-représentation non nulle de V. Lorsque V est irréductible, on a donc ${\displaystyle V=\pi ({\mathcal {U}}({\mathfrak {g}}))(v)}$. Plus généralement, une représentation V est dite cyclique s'il existe ${\displaystyle v\in V}$ tel que ${\displaystyle V=\pi ({\mathcal {U}}({\mathfrak {g}}))(v)}$. Le vecteur v est appelé un vecteur cyclique. Une représentation V est irréductible si et seulement si tout vecteur non nul de V est cyclique. Une représentation V est dite de type fini s'il existe un nombre fini de vecteurs ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{n}}$ de V tels que ${\displaystyle V=\sum _{k=1}^{n}\ \pi ({\mathcal {U}}({\mathfrak {g}}))(v_{k})}$. Une représentation irréductible est donc de type finie. Soit V une représentation cyclique et soit v un vecteur cyclique. On définit alors une application ${\displaystyle \varphi$ :{\mathcal {U}}({\mathfrak {g}})\rightarrow V} par la formule ${\displaystyle \varphi (u)=\pi (u)(v)}$. Le noyau de ${\displaystyle \varphi }$ est l'annulateur de v, noté ${\displaystyle Ann(v)}$. Il s'agit d'un idéal à gauche de ${\displaystyle {\mathcal {U}}({\mathfrak {g}})}$. Comme V est cyclique, l'image de ${\displaystyle \varphi }$ est égale à tout V. On en déduit donc que ${\displaystyle V\cong {\mathcal {U}}({\mathfrak {g}})/Ann(v)}$. Ainsi toute représentation cyclique (et en particulier toute représentation irréductible) apparaît comme un quotient de l'algèbre enveloppante de ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. De plus, lorsque V est irréductible l'idéal ${\displaystyle Ann(v)}$ est maximal. Ainsi la classification des représentations irréductibles de ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ est équivalente à la classification des idéaux à gauche maximaux de son algèbre enveloppante.

Exemple Considérons l'algèbre de Lie commutative ${\displaystyle \mathbb {C} }$. Identifions son algèbre enveloppante avec l'anneau de polynômes ${\displaystyle \mathbb {C} [X]}$. Cet anneau est principal et donc ses idéaux sont engendrés par un unique polynôme. De plus, si un polynôme P(X) peut se décomposer sous la forme ${\displaystyle P(X)=Q(X)(X-a)}$, alors l'idéal ${\displaystyle (P)}$ engendré par P est contenu dans l'idéal ${\displaystyle (X-a)}$ engendré par ${\displaystyle X-a}$. Le théorème de d'Alembert-Gauss implique alors que les idéaux maximaux de ${\displaystyle \mathbb {C} [X]}$ sont les idéaux de la forme ${\displaystyle (X-a)}$, pour a décrivant tout ${\displaystyle \mathbb {C} }$. Le quotient ${\displaystyle \mathbb {C} [X]/(X-a)}$ correspondant est alors isomorphe à ${\displaystyle \mathbb {C} }$ et l'action de ${\displaystyle \mathbb {C} [X]}$ est donnée par ${\displaystyle 1\cdot {\bar {1}}={\bar {1}}}$ et ${\displaystyle X\cdot {\bar {1}}={\bar {a}}}$. Regardons à présent le quotient ${\displaystyle \mathbb {C} [X]/(P)}$ où ${\displaystyle P(X)=(X-a)(X-b)}$. Si ${\displaystyle a\not =b}$, le quotient est une représentation semi-simple, somme directe des deux représentations irréductibles ${\displaystyle \mathbb {C} [X]/(X-a)}$ et ${\displaystyle \mathbb {C} [X]/(X-b)}$. La situation est fondamentalement différente lorsque ${\displaystyle a=b}$. Dans ce cas, le quotient est un espace vectoriel de dimension 2 sur lequel l'opérateur donné par la multiplication par ${\displaystyle X-a}$ est nilpotent d'indice 2. En termes de représentation de l'algèbre de Lie ${\displaystyle \mathbb {C} }$, ce quotient correspond à la représentation donnée par la formule ${\displaystyle \pi (z)=\left({\begin{array}{cc}a&z\\0&a\end{array}}\right)}$, qui est indécomposable mais pas irréductible.

Soit ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ une algèbre de Lie. Soit ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ une sous-algèbre de Lie de ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. Soit ${\displaystyle (\pi ,V)}$ une représentation de ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. Nous avons vu que nous pouvons obtenir une représentation de ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ par restriction. La notion d'algèbre enveloppante va donner un moyen simple de considérer le problème réciproque. Soit donc ${\displaystyle (\pi ',V')}$ une représentation de ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$, que l'on voit comme une représentation de son algèbre enveloppante ${\displaystyle {\mathcal {U}}({\mathfrak {h}})}$. Une conséquence du théorème de Poincaré-Birkhoff-Witt est que ${\displaystyle {\mathcal {U}}({\mathfrak {h}})}$ apparaît comme une sous-algèbre de ${\displaystyle {\mathcal {U}}({\mathfrak {g}})}$. D'autre part, ${\displaystyle {\mathcal {U}}({\mathfrak {g}})}$ fournit une représentation de ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ en faisant agir ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ par multiplication à gauche sur les tenseurs. On construit alors la représentation ${\displaystyle Ind_{\mathfrak {h}}^{\mathfrak {g}}(V'):={\mathcal {U}}({\mathfrak {g}})\otimes _{{\mathcal {U}}({\mathfrak {h}})}V'}$. On l'appelle la représentation induite de ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ à ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ par ${\displaystyle (\pi ',V')}$.