Série de Kempner

La preuve est élémentaire : les entiers à n chiffres ne contenant pas de 9 ont un premier chiffre compris entre 1 et 8 et les n − 1 suivants entre 0 et 8 ; il y en a donc 8(9ⁿ⁻¹), et chacun d'eux est minoré par 10ⁿ⁻¹, donc la série de Kempner est majorée par la série géométrique

${\displaystyle 8\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {9}{10}}\right)^{n-1}=80}$.

Sa somme vaut[2] 22,92067... , voir la suite A082838 de l'OEIS.

La preuve de convergence est la même en remplaçant 9 par tout autre chiffre et la base dix par toute autre base, et la généralisation à toute séquence finie de chiffres de longueur autre que 1 s'en déduit facilement[3].

Ainsi, si par exemple on omet le chiffre 0, on obtient la borne supérieure

${\displaystyle 9\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {9}{10}}\right)^{n-1}=90}$,

et une convergence vers 23,10344[4]^,[2]... voir la suite A082839 de l'OEIS.

Les valeurs approchées des sommes des séries, à la vingtième décimale, sont données dans le tableau suivant, en fonction du chiffre supprimé[2] :

chiffre supprimé	valeur approchée
0	23,103 447 909 420 541 616 03
1	16,176 969 528 123 444 266 58
2	19,257 356 532 808 072 224 53
3	20,569 877 950 961 230 371 08
4	21,327 465 799 590 036 686 64
5	21,834 600 812 296 918 163 41
6	22,205 598 159 556 091 884 17
7	22,493 475 311 705 945 398 18
8	22,726 365 402 679 370 602 83
9	22,920 676 619 264 150 348 16

Ce résultat entraine que tous ces ensembles d'entiers naturels ${\displaystyle A_{s}}$ dont l'écriture en base b ne comporte pas la séquence s ont une densité logarithmique ${\displaystyle {\text{D}}_{\log }(A_{s})=\lim _{n\rightarrow \infty }{\dfrac {\sum _{k\in [1,n]\cap A_{s}}{\dfrac {1}{k}}}{{\underset {k\in [1,n]}{\sum }}{\dfrac {1}{k}}}}}$ nulle.