Série de Bertrand

Cette condition nécessaire et suffisante se résume en (α, β) > (1, 1), où l'ordre sur les couples de réels est l'ordre lexicographique (celui adopté pour trier les mots dans un dictionnaire : on tient compte de la première lettre, puis de la deuxième, etc.).

La série de Bertrand a même comportement que l'intégrale en +∞ de la fonction

${\displaystyle f:x\mapsto {\frac {1}{x^{\alpha }\ln ^{\beta }x}}}$

(définie et strictement positive sur ]1,+∞[), car f est monotone au-delà d'une certaine valeur. On a donc la même conclusion que pour l'intégrale de Bertrand associée :

• si α > 1, la série converge ;
• si α < 1, elle diverge ;
• si α = 1, elle converge si et seulement si β > 1.

On peut de plus remarquer que si α < 0 ou si α = 0 et β ≤ 0, alors f est croissante au-delà d'une certaine valeur donc la divergence est grossière.

Les cas α ≠ 1 se traitent facilement par comparaison avec des séries de Riemann (et croissances comparées).

Si α = β = 1, la série diverge car son terme général est équivalent à celui, ${\displaystyle \ln \ln(n+1)-\ln \ln n}$, d'une série télescopique divergente. Par comparaison avec ce cas limite, on en déduit que la série diverge si α = 1 et β ≤ 1 (et a fortiori si α < 1).

Si α = 1 et β ≠ 1, on peut procéder de même en remarquant que pour tout γ ≠ 0, ${\displaystyle {\frac {\gamma }{n\ln ^{1+\gamma }n}}\sim {\frac {1}{\ln ^{\gamma }n}}-{\frac {1}{\ln ^{\gamma }(n+1)}}}$, ou utiliser le test de condensation de Cauchy. (On retrouve ensuite, par comparaison, les cas α ≠ 1.)