Groupe orthogonal

Dans cette section on suppose que K est le corps ℝ des nombres réels.

Si q est définie positive, alors O(q) et SO(q) sont isomorphes à O(n, ℝ) et SO(n, ℝ). On les note O(n) et SO(n).

Géométriquement, O(n) est le groupe des isométries euclidiennes de ℝⁿ qui préservent l'origine (ou, ce qui est équivalent, appartiennent à GL(n, ℝ)), SO(n) son sous-groupe des éléments qui préservent l'orientation (isométries directes).

SO(2) est isomorphe (en tant que groupe de Lie, voir plus loin) au cercle S¹, formé des nombres complexes de module 1, muni de la multiplication. Cet isomorphisme lie le nombre complexe e^it = cos t + i sin t à la matrice orthogonale

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\cos t&-\sin t\\\sin t&\cos t\end{pmatrix}}.}$

Le groupe SO(3) est souvent appelé groupe des rotations (vectorielles) dans l'espace (tridimensionnel).

Les groupes O(n) et SO(n) sont des sous-groupes fermés du groupe de Lie GL(n, ℝ) (par exemple : O(n) est fermé dans GL(n, ℝ) — et même dans M_n(ℝ) ≅ ℝⁿ² — car c'est l'image réciproque du singleton {I_n} par l'application continue M ↦ ^tMM). Ce sont donc des groupes de Lie réels. Leurs dimensions sont égales à n(n – 1)/2.

Ce sont même des groupes de Lie compacts car ils sont non seulement fermés dans M_n(ℝ) mais bornés (la norme d'opérateur de toute isométrie est égale à 1). O(n) est d'ailleurs un sous-groupe compact maximal de GL(n, ℝ). C'est même le seul à isomorphisme près, puisque tout sous-groupe compact de GL(n, ℝ) est conjugué d'un sous-groupe de O(n).

Le groupe O(n) a deux composantes connexes car sa composante neutre (en) est SO(n).

L'algèbre de Lie associée aux groupes de Lie O(n) et SO(n) est formée des matrices carrées d'ordre n qui sont antisymétriques. Elle est généralement notée ${\displaystyle {\mathfrak {o}}\!}$ (n) ou ${\displaystyle {\mathfrak {so}}\,\!}$(n).

En termes de topologie algébrique, pour n > 2, le groupe fondamental de SO(n) est d'ordre 2 et son revêtement universel est Spin(n). Pour n = 2, le groupe fondamental est Z et le revêtement universel est ℝ.

Si K est le corps C des nombres complexes, alors O(q) et SO(q) sont isomorphes à O(n, C) et SO(n, C).

De manière analogue aux groupes orthogonaux euclidiens (en remplaçant R par C), O(n, C) et SO(n, C) sont des sous-groupes fermés du groupe de Lie GL(n, C) et sont donc des groupes de Lie complexes. Leurs dimensions (sur C) sont égales à n(n – 1)/2.

Si n ≥ 2, les groupes topologiques O(n, C) et SO(n, C) ne sont pas compacts, mais O(n) et SO(n) sont des sous-groupes compacts maximaux de ces groupes.

La composante neutre de O(n, C) est SO(n, C).

L'algèbre de Lie associée aux groupes de Lie O(n, C) et SO(n, C) est formée des matrices complexes carrées d'ordre n qui sont antisymétriques. Elle est généralement notée ${\displaystyle {\mathfrak {o}}\!}$ (n, C) ou ${\displaystyle {\mathfrak {so}}\,\!}$(n, C).

Pour n > 2, le groupe fondamental de SO(n, C) est d'ordre 2 et son revêtement universel est le groupe spinoriel complexe Spin(n, C). Pour n = 2, le groupe fondamental est Z et le revêtement universel est C.

On suppose que K est le corps R des nombres réels ou le corps C des nombres complexes.

O(q) et SO(q) sont des sous-groupes fermés du groupe de Lie GL(E) (ils sont même fermés dans End_K(E) ≅ Kⁿ²) et sont donc des groupes de Lie sur K. Les dimensions de O(q) et SO(q) sur K sont égales à n(n – 1)/2.

Si K = C, ou si K = R et si q est définie positive ou négative, alors O(q) et SO(q) s'identifient à O(n, K) et SO(n, K). Si K = R et si q est indéfinie (en), alors la composante neutre SO₀(q) de SO(q) est d'indice 2 dans SO(q) donc d'indice 4 dans O(q) (O(q)/SO₀(q) est isomorphe au groupe de Klein Z/2Z × Z/2Z).

L'algèbre de Lie associée aux groupes de Lie O(q) et SO(q), notée ${\displaystyle {\mathfrak {o}}\!}$(q) ou ${\displaystyle {\mathfrak {so}}\!}$(q), est canoniquement isomorphe à la sous-K-algèbre de Lie de ${\displaystyle {\mathfrak {g}}l\!}$(E) constituée des endomorphismes f de E tels que φ(f(x), y) + φ(x, f(x)) = 0, où φ désigne la forme bilinéaire symétrique associée à q.

Le groupe spinoriel Spin(q) est un sous-K-groupe de Lie du groupe des inversibles de Cl ⁰(q). De plus, Spin(q) est un 2-revêtement de SO(q) si K = C, et de la composante neutre SO₀(q) de SO(q) si K = R. L'algèbre de Lie de Spin(q) s'identifie canoniquement à ${\displaystyle {\mathfrak {o}}\!}$(q).