Seconde conjecture de Hardy-Littlewood

En théorie des nombres, la seconde conjecture de Hardy-Littlewood prédit que la fonction de compte des nombres premiers est sous-additive.

Graphique avec X et Y

Elle a été formulée en 1923[1].

Soit π(x) le nombre de nombres premiers p tels que p ≤ x, la conjecture postule que

π(x + y) - π(x) ≤ π(y)

pour tous x, y ≥ 2.

Ce qui signifie que le nombre de nombres premiers entre x + 1 et x + y est toujours inférieur ou égal au nombre de nombres premiers entre 1 et y.

Ceci est incompatible avec la première conjecture de Hardy-Littlewood, ainsi que l'a démontré Ian Richards en 1974[2].

La plupart des mathématiciens estiment donc que la conjecture est fausse[3] et qu'un contre exemple doit exister [4] pour x compris entre 1,5 × 10174 et 2,2 × 101 198.

Références
  1. (en) G. H. Hardy et J. E. Littlewood, « On some problems of "partitio numerorum" III: On the expression of a number as a sum of primes », Acta Mathematica, vol. 44,‎ , p. 1–70 (DOI 10.1007/BF02403921)
  2. (en) Ian Richards, « On the Incompatibility of Two Conjectures Concerning Primes », Bull. Amer. Math. Soc., vol. 80,‎ , p. 419–438 (DOI 10.1090/S0002-9904-1974-13434-8)
  3. https://sciencetonnante.wordpress.com/2014/10/13/deuxieme-conjecture-hardy-littlewood/
  4. « 447-tuple calculations » (consulté le )
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