Nombres premiers jumeaux

En 1940, Paul Erdős démontra l'existence d'une constante positive c < 1 pour laquelle l'ensemble des nombres premiers p tels que p' – p < c ln(p) est infini, où p' désigne le nombre premier suivant immédiatement p.

Ce résultat fut plusieurs fois amélioré ; en 1986, Helmut Maier montra que c peut être choisi inférieur à 1/4. En 2005, Daniel Goldston, János Pintz et Cem Yıldırım démontrèrent que c peut être choisi arbitrairement petit.

Par ailleurs, en 1966, Chen Jingrun démontra l'existence d'une infinité de « nombres premiers de Chen », c'est-à-dire de nombres premiers p tels que p + 2 soit premier ou semi-premier (un nombre semi-premier est le produit de deux nombres premiers). Son approche est celle de la théorie des cribles, qu'il a utilisée pour traiter de façon similaire la conjecture des nombres premiers jumeaux et la conjecture de Goldbach (voir Théorème de Chen).

À partir de 2009, à la suite de la découverte d'une optimisation du crible d'Eratosthène, Zhang Yitang établit qu'il existe une infinité de nombres premiers consécutifs dont l'écart est inférieur à 70 000 000, résultat qui constitue une forme faible de la conjecture des nombres premiers jumeaux. Le résultat de Zhang a été publié dans les Annals of Mathematics[7]. Dans un premier temps, il a été difficile de trouver des relecteurs acceptant d'évaluer le travail[8].

Début 2013, le projet Polymath, un projet de mathématiques collaboratives mené par Tim Gowers et Terence Tao, a proposé de réduire progressivement cet écart N = 70 millions pour le faire tendre vers 2 : en septembre 2013 l'écart a été réduit à N = 4 680[9]^,[10]. En novembre 2013, une amélioration significative de ces résultats est annoncée indépendamment par James Maynard et Terence Tao[11] : non seulement l'écart entre deux nombres premiers consécutifs est inférieur ou égal à 600 infiniment souvent, mais un résultat équivalent est valable pour m nombres premiers consécutifs, quel que soit m ≥ 2. Une nouvelle amélioration est annoncée par le projet Polymath (section Polymath8) début 2014 : d'une part, l'écart serait inférieur à 270 infiniment souvent, d'autre part, en admettant une version généralisée de la conjecture d'Elliott-Halberstam, l'écart serait alors inférieur ou égal à 6[12]. L'écart inconditionnel a été réduit à 246 quelques mois plus tard[13], puis le projet a été suspendu, l'équipe estimant avoir atteint la limite des techniques employées[14].

En 2019, une version transposée aux polynômes irréductibles sur un corps fini a été prouvée par Sawin et Shusterman : étant donné un polynôme R donné, il existe une infinité de paires de polynômes irréductibles (P, Q) dont la différence est égale à R[15]^,[16].

Il existe aussi une généralisation de la conjecture des nombres premiers jumeaux, connue sous le nom de première[17] conjecture de Hardy-Littlewood, en rapport avec la distribution des premiers jumeaux, par analogie avec le théorème des nombres premiers. Soit π₂(x) le nombre de nombres premiers p ≤ x tels que p + 2 soit aussi premier.

On note C₂ le nombre obtenu de la façon suivante :

${\displaystyle C_{2}=\prod _{p\geq 3}{\frac {p(p-2)}{(p-1)^{2}}}\approx 0,66016\ldots }$[18]

(ici le produit s'étend à l'ensemble des nombres premiers p ≥ 3). C₂ est appelé constante des nombres premiers jumeaux[19]^,[20] ou constante de Shah et Wilson[21].

Alors la conjecture de Hardy-Littlewood s'énonce de la façon suivante :

${\displaystyle \pi _{2}(x)\sim 2C_{2}\int _{2}^{x}{{\rm {d}}t \over (\ln t)^{2}}}$

(ce qui signifie que le quotient des deux expressions tend vers 1 quand x tend vers l'infini).

Comme le second membre a une limite infinie quand x tend vers l'infini, cette conjecture démontrerait que le nombre de nombres premiers jumeaux est bien infini.

Cette conjecture peut être justifiée (mais pas démontrée) en supposant que 1/ln(t) est la fonction de densité de la distribution des nombres premiers, une hypothèse suggérée par le théorème des nombres premiers. Cette conjecture est un cas particulier d'une conjecture plus générale appelée conjecture des n-uplets premiers de Hardy-Littlewood[22] utilisée dans les recherches sur la conjecture de Goldbach.

• Conjecture de Dickson
• Conjecture de Dubner

• (en) Introduction to Twin Primes and Brun's Constant (Xavier Gourdon, Pascal Sebah)
• Liste des 20 000 premiers couples de nombres premiers jumeaux
• Liste des 100 000 premiers couples de nombres premiers jumeaux

• Arithmétique et théorie des nombres