Problèmes de Hilbert

Tout sous-ensemble infini des réels peut être mis en bijection avec l'ensemble des entiers naturels ou avec l'ensemble des réels lui-même.

Il s'agit de l'hypothèse du continu de Cantor, notée HC. Ce résultat aurait eu pour conséquence que le cardinal infini qui suit immédiatement le dénombrable, est celui du continu.

Kurt Gödel a montré en 1938 que l'on ne pouvait pas démontrer la négation de HC dans la théorie des ensembles ZFC — plus précisément : que si ZF est cohérente alors ZFC+HC aussi — et Paul Cohen, en 1963, que l'on ne pouvait pas non plus démontrer HC (dans cette même théorie) : on dit que cette conjecture est indécidable dans la théorie ZFC (ou indépendante de celle-ci). Ce qui amène à des théories des ensembles avec ou sans cette hypothèse.

Comme on considère que la théorie ZFC permet largement de formaliser le développement des mathématiques jusqu'à aujourd'hui, la question peut paraître réglée. Cependant, l'existence d'axiomes supplémentaires « naturels » qui s'ajouteraient à la théorie ZFC et pourraient décider l'hypothèse du continu reste un domaine de recherche[5].

Dans son premier problème, Hilbert rappelait une autre conjecture de Cantor dont il espérait — à double tort — qu'elle ait une solution effective et qu'elle aide à résoudre la précédente :

Il existe un bon ordre sur l'ensemble des réels.

En effet, cet énoncé est indécidable dans ZF[6] mais — d'après le théorème de Zermelo — démontrable dans ZFC.

Peut-on prouver la cohérence de l'arithmétique ? En d'autres termes, peut-on démontrer que les axiomes de l'arithmétique ne sont pas contradictoires ?

Gödel montra en 1931, via son théorème d'incomplétude, que cela ne pouvait être démontré sans sortir de l'arithmétique. Gentzen montra en 1936 que la cohérence de l'arithmétique dérive du fait que le nombre transfini ε₀ est défini par une récurrence bien fondée.

Étant donnés deux polyèdres d'égal volume, peut-on découper le premier polyèdre en des polyèdres et les rassembler pour former le second polyèdre ?

Max Dehn, élève de Hilbert, montra que non, en 1902, en démontrant qu'il était impossible de diviser un cube et un tétraèdre régulier de même volume en un nombre fini de polyèdres deux à deux identiques. Malgré tout, le paradoxe de Banach-Tarski constitue un résultat positif pour cette question si l'on n'exige pas que les morceaux intermédiaires soient des polyèdres et surtout si l'on suppose l'axiome du choix.

Définir toutes les géométries dont la plus courte distance entre deux points est un segment de droite.

La géométrie différentielle a permis de répondre en partie à ce problème, bien que l'on ne puisse pas à proprement parler de réponse ferme.

Démontrer que les groupes de Lie sont nécessairement différentiables.

Le théorème de Gleason-Montgomery (de)-Zippin (en) en 1953 y répond par l'affirmative.

L'axiomatisation, fondée sur le modèle mathématique, de la physique.

Du fait de l'apparition de la théorie de la relativité et de la mécanique quantique, le problème fut vite obsolète. Malgré tout, la physique théorique et les mathématiques ne cessent de se rapprocher. En axiomatisant la théorie des probabilités, Kolmogorov a résolu en partie ce problème.

Démontrer la transcendance des nombres a^b, avec a algébrique différent de 0 et 1, et b algébrique irrationnel.

Les travaux de Gelfond et de Schneider ont permis de résoudre ce problème (voir Théorème de Gelfond-Schneider), généralisant ainsi le résultat que la constante de Gelfond-Schneider, 2^√2, est transcendante. Ce théorème a été généralisé par Baker (voir Théorème de Baker).

Il s'agit en réalité de quatre problèmes de théorie des nombres, dont les trois plus célèbres sont :

Démontrer l'hypothèse de Riemann ;

démontrer la conjecture de Goldbach ;

démontrer la conjecture des nombres premiers jumeaux.

Malgré les progrès faits notamment par Deligne (hypothèse de Riemann) qui démontra les conjectures de Weil, et reçut pour cela la médaille Fields en 1978, par Ramaré (conjecture de Goldbach), qui a établi en 1995 que chaque entier est somme de sept nombres premiers au plus, et par Chen Jingrun (premiers jumeaux), qui a démontré l'existence d'une infinité de nombres premiers p tels que p + 2 soit le produit d'au plus deux facteurs premiers, on est encore loin d'avoir résolu ces problèmes, qui s'annoncent comme ceux du XXI^e siècle.

Établir une loi de réciprocité dans les corps de nombres.

Une réponse à ce problème est apportée par la loi de réciprocité d'Artin, démontrée par Emil Artin en 1927. Ce théorème enrichit la connaissance de la théorie des corps de classes, dont le développement fut facilité par l'introduction des idèles (en) par Chevalley en 1936.

Trouver un algorithme déterminant si une équation diophantienne a des solutions.

Il fallut attendre les travaux de Church et Turing en 1930 pour définir rigoureusement la notion d'algorithme. En 1970, Yuri Matijasevic, établissant une équivalence entre les ensembles récursivement énumérables et les ensembles diophantiens, a établi qu'un tel algorithme ne pouvait pas exister.

Classer les formes quadratiques à coefficients dans les corps de nombres ou dans leurs anneaux d'entiers.

Le théorème de Hasse-Minkowski résout le problème sur ℚ, et Siegel le résolut sur certains anneaux d'entiers.

Étendre le théorème de Kronecker-Weber aux extensions abéliennes de n'importe quel corps de nombres.

Montrer l'impossibilité de résoudre les équations du septième degré au moyen de fonctions continues de seulement deux variables.

Vladimir Arnold a réfuté cette conjecture en 1957, d'après les travaux de Kolmogorov, en montrant, plus généralement, que toute fonction continue d'un nombre fini de variables s'exprime par composition à partir de fonctions continues de deux variables.

En revanche, la question de la résolubilité de l'équation du septième degré par des fonctions analytiques de deux variables est encore ouverte.

Prouver le caractère fini de certains systèmes complets des fonctions.

Le problème est le suivant : on considère un corps k et un sous-corps K de k(X₁, … , X_n) ; on pose R = k[X₁, … , X_n] ; l'anneau K∩R est-il une k-algèbre de type fini ? La réponse est positive pour n = 1 ou 2, comme l'a montré Oscar Zariski en 1954 (qui donna l'interprétation géométrique suivante : il existe une variété projective X de corps des fonctions K et un diviseur effectif D sur X tel que K∩R soit l'ensemble des fonctions de K n'ayant de pôles que sur R). La recherche de conditions suffisantes pour la validité du résultat de Hilbert a été source d'idées très fécondes en géométrie.

Nagata donna en 1959 un contre-exemple réfutant la conjecture.

Mettre en place les bases du calcul énumératif de Schubert.

Il s'agit là de rendre rigoureux certains calculs sur les objets « en position générale » en théorie de l'intersection (en), et en particulier le « principe de conservation des nombres ». Ce problème a donné naissance aux théories de la multiplicité de Samuel et Grothendieck.

Résolu par van der Waerden en 1930[4].

Ce problème comporte deux parties. La première concerne le nombre de branches réelles (ovales) d'une courbe algébrique, et leur disposition ; de nombreux résultats modernes (Petrovskii, Thom, Arnold) apportent des informations à leur sujet.

La seconde partie du problème pose la question du nombre maximal et de la position mutuelle des cycles limites de Poincaré (orbites périodiques isolées) pour une équation différentielle polynomiale plane de degré donné ; cette question est encore ouverte.

Montrer qu'une fonction rationnelle positive peut s'écrire sous la forme de somme de carrés de fonctions rationnelles.

Résolu par Emil Artin en 1927. Une démonstration par la théorie des modèles a été trouvée par le logicien Abraham Robinson.

Construire un espace euclidien avec des polyèdres congruents.

Le problème comporte trois parties :

• premièrement, montrer qu'il n'existe à isomorphisme près qu'un nombre fini de groupes discrets d'isométries de ℝⁿ admettant un domaine fondamental compact ; cette question fut résolue par Ludwig Bieberbach en 1910 ;
• deuxièmement, la question de l'existence de polyèdres qui ne sont pas des domaines fondamentaux, mais qui peuvent cependant paver l'espace ; de tels polyèdres furent construits par Reinhardt (de) et Heesch dans les années 1930 ;
• troisièmement, ce problème comporte aussi la fameuse conjecture de Kepler sur l'empilement des sphères dans l'espace, résolue en 1998 par Thomas Hales (confirmé par le projet Flyspeck, un assistant de preuve informatique).

Prouver que le calcul des variations est toujours nécessairement analytique.

Résolu par Bernstein, Ennio De Giorgi et John Forbes Nash[4] ^,[7].

Étudier la solution générale des problèmes aux limites pour les équations aux dérivées partielles.

Prouver que toute représentation complexe de dimension finie peut s'obtenir par action de monodromie sur une équation différentielle de Fuchs.

Résolu par Helmut Rörl en 1957.

Uniformiser des courbes analytiques au moyen de fonctions automorphes (en).

Résolu par Paul Koebe et Henri Poincaré en 1907.

Développer une méthode générale de résolution dans le calcul des variations.

• Carlos M. Madrid Casado et Anne Postel (Trad.), À la recherche des axiomes universels : Hilbert, Barcelone, RBA Coleccionables, 2018, 174 p. (ISBN 978-84-473-9333-6)

• Problèmes du prix du millénaire
• Problèmes de Smale
• Problèmes de Landau
• Problèmes non résolus en mathématiques

• Sur les problèmes futurs des mathématiques : traduction en français de la conférence de Hilbert, par Léonce Laugel
• Un billet d'Étienne Ghys sur l'introduction de la conférence, sur Images des Maths
• Jean-Michel Kantor, « Les problèmes de Hilbert et leur devenir », Cahiers du séminaire d'histoire des mathématiques, 2^e série, tome 3, 1993, p. 95-112

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