Calcul de Schubert

L'explication des contraintes numériques de la définition vient de ce qu'un ${\displaystyle k}$-plan ${\displaystyle \Lambda \subset V}$ générique sera d'intersection nulle avec les ${\displaystyle V_{i}}$ pour ${\displaystyle i\leq n-k}$ et que ${\displaystyle \dim(V_{n-k+i}\cap \Lambda )}$ vaudra ${\displaystyle i}$ pour ${\displaystyle i>n-k}$, d'après la formule de Grassmann.

L'ordre partiel défini sur les ${\displaystyle k}$-uples par ${\displaystyle \mathbb {a} \geq \mathbb {b} \iff }$ ${\displaystyle a_{i}\geq b_{i}}$ pour tout ${\displaystyle i}$ définit l'inclusion des cycles de Schubert  : ${\displaystyle \Sigma _{\mathbb {a} }\subset \Sigma _{\mathbb {b} }\iff \mathbb {a} \geq \mathbb {b} }$.

On définit la codimension d'un cycle de Schubert ${\displaystyle \Sigma _{\mathbb {a} }}$ (ou de la classe de Schubert associée ${\displaystyle \sigma _{\mathbb {a} }}$) par la formule ${\displaystyle {\rm {codim}}(\Sigma _{\mathbb {a} })=\sum a_{i}}$, laquelle est stable pour l'inclusion des grassmanniennes, c'est-à-dire que l'application ${\displaystyle i:G(k,n)\hookrightarrow G(k+1,n+1)}$ définie en ajoutant à chaque ${\displaystyle k}$-plan le vecteur supplémentaire ${\displaystyle e_{n+1}}$ (obtenant un ${\displaystyle (k+1)}$-plan) vérifie ${\displaystyle {\rm {codim}}(i(\Sigma _{\mathbb {a} }))={\rm {codim}}(\Sigma _{\mathbb {a} })}$ (en appliquant ${\displaystyle i}$ à chaque élément de ${\displaystyle \Sigma _{\mathbb {a} }}$). L'inclusion ordinaire ${\displaystyle j:G(k,n)\hookrightarrow G(k,n+1)}$ vérifie la même propriété.

Le produit de la classe spéciale ${\displaystyle \sigma _{b}}$ avec une classe de Schubert arbitraire ${\displaystyle \sigma _{a_{1},\ldots ,a_{k}}}$ est donné par la formule ${\displaystyle \sigma _{b}\cdot \sigma _{a_{1},\ldots ,a_{k}}=\sum _{\begin{matrix}|\mathbb {c} |=|\mathbb {a} |+b\\a_{i}\leq c_{i}\leq a_{i-1}\end{matrix}}\sigma _{\mathbb {c} }}$ (où ${\displaystyle |\mathbb {a} |=a_{1}+\cdots +a_{k}}$), appelée formule de Pieri. Par exemple, ${\displaystyle \sigma _{2}\cdot \sigma _{2}=\sigma _{2}^{2}=\sigma _{2,2}}$, ${\displaystyle \sigma _{1}\cdot \sigma _{4,2,1}=\sigma _{5,2,1}+\sigma _{4,3,1}+\sigma _{4,2,1,1}}$ et ${\displaystyle \sigma _{2}\cdot \sigma _{4,3}=\sigma _{4,3,2}+\sigma _{4,4,1}+\sigma _{5,3,1}+\sigma _{5,4}+\sigma _{6,3}}$.

Le calcul du produit pour des classes quelconques se fait en remplaçant la classe ${\displaystyle \sigma _{a_{1},\ldots ,a_{k}}}$ par un déterminant (formel) d'une matrice ${\displaystyle k\times k}$ de classes spéciales :

${\displaystyle {\begin{vmatrix}\sigma _{a_{1}}&\sigma _{a_{1}+1}&\sigma _{a_{1}+2}&\cdots &\sigma _{a_{1}+k-1}\\\sigma _{a_{2}-1}&\sigma _{a_{2}}&\sigma _{a_{2}+1}&\cdots &\sigma _{a_{2}+k-2}\\\sigma _{a_{3}-2}&\sigma _{a_{3}-1}&\sigma _{a_{3}}&\cdots &\sigma _{a_{3}+k-3}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\sigma _{a_{k}-k+1}&\sigma _{a_{k}-k+2}&\sigma _{a_{k}-k+3}&\cdots &\sigma _{a_{k}}\end{vmatrix}}}$ (formule de Giambelli). Par exemple, ${\displaystyle \sigma _{2,2}}$ devient ${\displaystyle {\begin{vmatrix}\sigma _{2}&\sigma _{3}\\\sigma _{1}&\sigma _{2}\end{vmatrix}}=\sigma _{2}^{2}-\sigma _{1}\cdot \sigma _{3}}$ et ${\displaystyle \sigma _{2,1,1}}$ devient ${\displaystyle {\begin{vmatrix}\sigma _{2}&\sigma _{3}&\sigma _{4}\\\sigma _{0}&\sigma _{1}&\sigma _{2}\\0&\sigma _{0}&\sigma _{1}\end{vmatrix}}}$.

On a vu que l'anneau de Chow a la présentation

${\displaystyle A^{*}(G(2,4))={\frac {\mathbb {Z} [\sigma _{1},\sigma _{1,1},\sigma _{2}]}{(1-\sigma _{1}+\sigma _{1,1})(1+\sigma _{1}+\sigma _{2})}}}$ ;

en tant que groupe abélien gradué, il est donné par

${\displaystyle {\begin{aligned}A^{0}(G(2,4))&=\mathbb {Z} \cdot 1\\A^{2}(G(2,4))&=\mathbb {Z} \cdot \sigma _{1}\\A^{4}(G(2,4))&=\mathbb {Z} \cdot \sigma _{2}\oplus \mathbb {Z} \cdot \sigma _{1,1}\\A^{6}(G(2,4))&=\mathbb {Z} \cdot \sigma _{2,1}\\A^{8}(G(2,4))&=\mathbb {Z} \cdot \sigma _{2,2}\\\end{aligned}}}$[2]

Un modèle de la surface de Clebsch montrant ses 27 droites réelles.

L'anneau de Chow précédent peut être utilisé pour calculer le nombre de droites sur une surface cubique[1]. Une droite de ${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}}$ correspond à un 2-plan de ${\displaystyle \mathbb {A} ^{4}}$, et donc ${\displaystyle \mathbb {G} (1,3)\cong G(2,4)}$. L'équation d'une droite peut être vue comme une section de ${\displaystyle \Gamma (\mathbb {G} (1,3),T^{*})}$. Comme une surface cubique ${\displaystyle X}$ est représentée par un polynôme homogène de degré 3 (générique), cela correspond à une section générique de ${\displaystyle s\in \Gamma (\mathbb {G} (1,3),{\text{Sym}}^{3}(T^{*}))}$. Ainsi, une droite ${\displaystyle L\subset \mathbb {P} ^{3}}$ est une sous-variété de ${\displaystyle X}$ si et seulement si la section s'annule sur ${\displaystyle [L]\in \mathbb {G} (1,3)}$. On peut donc intégrer la classe d'Euler de ${\displaystyle {\text{Sym}}^{3}(T^{*})}$ sur ${\displaystyle \mathbb {G} (1,3)}$ pour obtenir le nombre de points où la section générique s'annule sur ${\displaystyle \mathbb {G} (1,3)}$. Pour déterminer la classe d'Euler, on doit calculer la classe de Chern totale de ${\displaystyle T^{*}}$ ; elle est donnée par ${\displaystyle c(T^{*})=1+\sigma _{1}+\sigma _{1,1}}$. La factorisation usuelle (en) ${\displaystyle c(T^{*})=(1+\alpha )(1+\beta )=1+\alpha +\beta +\alpha \cdot \beta }$, où ${\displaystyle c({\mathcal {L}})=1+\alpha }$ et ${\displaystyle c({\mathcal {M}})=1+\beta }$ sont les classes des fibrés en droites ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ et ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$, donne les relations ${\displaystyle \sigma _{1}=\alpha +\beta }$ et ${\displaystyle \sigma _{1,1}=\alpha \cdot \beta }$.

Comme ${\displaystyle {\text{Sym}}^{3}(T^{*})}$ peut être vu comme somme directe de fibrés formels ${\displaystyle {\text{Sym}}^{3}(T^{*})={\mathcal {L}}^{\otimes 3}\oplus ({\mathcal {L}}^{\otimes 2}\otimes {\mathcal {M}})\oplus ({\mathcal {L}}\otimes {\mathcal {M}}^{\otimes 2})\oplus {\mathcal {M}}^{\otimes 3}}$, ayant pour classe de Chern totale ${\displaystyle c({\text{Sym}}^{3}(T^{*}))=(1+3\alpha )(1+2\alpha +\beta )(1+\alpha +2\beta )(1+3\beta )}$, on a

${\displaystyle {\begin{aligned}c_{4}({\text{Sym}}^{3}(T^{*}))&=3\alpha (2\alpha +\beta )(\alpha +2\beta )3\beta \\&=9\alpha \beta (2(\alpha +\beta )^{2}+\alpha \beta )\\&=9\sigma _{1,1}(2\sigma _{1}^{2}+\sigma _{1,1})\\&=27\sigma _{2,2}\end{aligned}}}$

(en utilisant ${\displaystyle \sigma _{1,1}\cdot \sigma _{1}^{2}=\sigma _{2,1}\sigma _{1}=\sigma _{2,2}}$ et ${\displaystyle \sigma _{1,1}\cdot \sigma _{1,1}=\sigma _{2,2}}$).

L'intégrale est donc${\displaystyle \int _{\mathbb {G} (1,3)}27\sigma _{2,2}=27}$, puisque ${\displaystyle \sigma _{2,2}}$ est la classe la plus haute. Ceci démontre qu'il y a ${\displaystyle 27}$ droites (dans l'espace projectif complexe) sur une surface cubique générale (sans singularités).