Classe de Chern

Soit n ≥ 1, U(n) le groupe unitaire et BU(n) son espace classifiantespace classifiant. Les classes de Chern de l'espace classifiant du groupe unitaire sont les éléments

${\displaystyle c_{i}\in H^{2i}(BU(n),\mathbb {Z} )}$

qui vérifient :

• ${\displaystyle c_{0}=1}$ et ${\displaystyle c_{i}=0}$ pour tout i > n ;
• pour n = 1, ${\displaystyle c_{1}}$ engendre ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ;
• pour l'inclusion ${\displaystyle i:BU(n)\to BU(n+1)}$, on a pour tout produit fibré ${\displaystyle i^{*}c_{i}^{(n+1)}=c_{i}^{(n)}}$ ;
• pour l'inclusion ${\displaystyle BU(k)\times BU(l)\hookrightarrow BU(k+l)}$, on a ${\displaystyle i^{*}c_{i}=\sum _{j=0}^{i}c_{i}\cup c_{j-i}}$.

En particulier, l'anneau de cohomologie (en) de BU(n) est l'algèbre de polynômes sur les classes de Chern :

${\displaystyle H^{\bullet }(BU(n),\mathbb {Z} )\simeq \mathbb {Z} (c_{1},\ldots ,c_{n}).}$

Les classes de Chern peuvent être définies de manière axiomatique. Si V est un fibré vectoriel sur un espace topologique X, les classes de Chern de V sont les éléments

${\displaystyle c_{i}(V)\in H^{2i}(X,\mathbb {Z} )}$

qui vérifient les propriétés suivantes :

• fonctorialité : si ${\displaystyle f:Y\to X}$ est continue et ${\displaystyle f^{*}V}$ est le fibré vectoriel correspondant au produit fibré de V, on a ${\displaystyle c_{k}(f^{*}V)=f^{*}c_{k}(V)}$ ;
• additivité : si ${\displaystyle 0\to E'\to E\to E''\to 0}$ est une suite exacte courte de fibrés vectoriels, alors ${\displaystyle c(E)=c(E')\smile c(E'')}$, où ${\displaystyle \smile }$ désigne le cup-produit ;
• normalisation : si E est un fibré en droites, ${\displaystyle c(E)=1+e(E_{\mathbf {R} })}$ avec ${\displaystyle e(E_{\mathbf {R} })}$ la classe d'Euler du fibré vectoriel réel sous-jacent.

La quantité ${\displaystyle c(V)=1+c_{1}(V)+\cdots +c_{n}(V)}$ est appelée classe de Chern totale de V.