Classe de Pontriaguine

Soit E un fibré vectoriel réel au-dessus de M. La k-ième classe de Pontriaguine p_k(E) est définie par :

p_k(E) = p_k(E, ℤ) = (−1)^k c_2k(E ⊗ ℂ) ∈ H^4k(M, ℤ),

où

• c_2k(E ⊗ ℂ) est la 2k-ième classe de Chern du complexifié E ⊗ ℂ = E ⊕ iE de E ;
• H^4k(M, ℤ) est le 4k-ième groupe de cohomologie de M à coefficients entiers.

La classe totale de Pontriaguine est définie par

${\displaystyle p(E)=1+p_{1}(E)+p_{2}(E)+\cdots \in H^{*}(M,\mathbb {Z} ).}$

La classe de Pontriaguine rationnelle p_k(E, ℚ) est définie comme étant l'image de p_k(E) dans H^4k(M, ℚ), le 4k-ième groupe de cohomologie de M à coefficients rationnels.

• Pour deux fibrés vectoriels réels E et F au-dessus de M,

${\displaystyle 2p(E\oplus F)=2(p(E)\smile p(F)),}$

où ${\displaystyle \smile }$ est le cup-produit.

C'est-à-dire, pour les classes de Pontriaguine p_k,

${\displaystyle 2p_{1}(E\oplus F)=2p_{1}(E)+2p_{1}(F);}$

${\displaystyle 2p_{2}(E\oplus F)=2p_{2}(E)+2p_{1}(E)\smile p_{1}(F)+2p_{2}(F);}$

...

• Si E est un fibré vectoriel réel orienté de dimension 2k, de classe d'Euler e(E) ∈ H^2k(M, ℤ), alors

${\displaystyle p_{k}(E)=e(E)\smile e(E).}$

Les nombres de Pontriaguine sont des invariants topologiques d'une variété lisse. Ils sont définis à l'aide des classes de Pontriaguine :

soit M une variété lisse de dimension 4n et k₁, k₂, ..., k_m des entiers naturels tels que k₁+k₂+...+k_m = n.

Les nombres de Pontriaguine ${\displaystyle P_{k_{1},k_{2},\dots ,k_{m}}}$ sont définis par :

${\displaystyle P_{k_{1},k_{2},\dots ,k_{m}}=p_{k_{1}}\smile p_{k_{2}}\smile \cdots \smile p_{k_{m}}([M])}$

où p_k est la k-ième classe de Pontriaguine et [M] est la classe fondamentale (en) de M.

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Pontyagin class » (voir la liste des auteurs).

• (en) John Milnor et James Stasheff, Characteristic Classes, Princeton University Press, coll. « Annals of Mathematics Studies » (n^o 76), 1974 (lire en ligne)
• (en) Allen Hatcher, Vector Bundles and K-Theory, 2.1, 2009, 111 p. (lire en ligne), p. 94-97

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