Alphonse de Polignac

Il est l'auteur de la conjecture de Polignac (1849) qui est redevenue d'actualité en mai 2013, en connexion avec le théoreme de Zhang Yitang[5].

Alphonse de Polignac a également formulé une seconde conjecture qui, elle, s'est révélée fausse[6]. Elle a été présentée en 1849 à l'Académie des sciences en ces termes[7] :

« Tout nombre impair est égal à une puissance de 2, plus un nombre premier. (Vérifié jusqu'à 3 millions.) »

Cette conjecture est effectivement vérifiée pour les premiers nombres impairs. Cependant un relativement petit contre-exemple[6] démontre non seulement que la proposition est fausse mais qu'elle n'a pu être vérifiée jusqu'à 3 millions comme annoncé.

En effet, cherchons à décomposer le nombre impair 127 comme prescrit :

${\displaystyle {\begin{aligned}127&=1+126=2^{0}+2\times 63\\&=2+125=2^{1}+5\times 25\\&=4+123=2^{2}+3\times 41\\&=8+119=2^{3}+7\times 17\\&=16+111=2^{4}+3\times 37\\&=32+95=2^{5}+5\times 19\\&=64+63=2^{6}+3\times 21\end{aligned}}}$

Comme 2⁷ = 128 > 127, ce sont là les seules décompositions possibles de 127 en tant que somme d'une puissance de 2 et d'un nombre positif. Puisqu'aucun des nombres en question n'est premier, de Polignac n'avait clairement pas bien fait les vérifications qu'il mettait en avant.

Le théorème d'Erdős[8] démontre même qu'il existe une infinité de contre-exemples à cette conjecture : à l'aide d'un système couvrant, Paul Erdős démontre en effet de façon élémentaire[9] qu'il existe une suite arithmétique d'entiers impairs dont aucun n'est de la forme indiquée par de Polignac.

Il épouse à Paris 9^e le 4 juin 1860 Jeanne Émilie Mirès (Bordeaux, 13 janvier 1838 - Boulogne-Billancourt, 2 février 1933), fille de Jules Mirès, banquier, et de Jeanne Clarisse Laclairgerie. Veuve en 1863, elle se remarie en 1865 avec Gustave, comte Rozan. De son premier mariage, elle a une fille :

• princesse Jeanne de Polignac (Paris, 17 mars 1861 - Paris 7ème, 27 juin 1919), femme de lettres, mariée en 1889 avec François d'Oilliamson, officier, chevalier de la Légion d'honneur (1855-1897)[10], dont postérité.

• Maison de Polignac

• Notices d'autorité :

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  • Bibliothèque nationale de France (données)
  • Système universitaire de documentation
  • Gemeinsame Normdatei
  • WorldCat
• Alphonse de Polignac, Recherches nouvelles sur les nombres premiers, 1851, éd. Bachelier, Paris.
• Nouvelles Annales de mathématiques. Journal des candidats aux écoles Polytechnique et Normale, 1849, sér. 1, t. 8., p. 215

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