Équivalence logique

En logique classique, deux propositions P et Q sont dites logiquement équivalentes ou simplement équivalentes quand il est possible de déduire Q à partir de P et de déduire P à partir de Q. En calcul des propositions, cela revient à dire que P et Q ont même valeur de vérité : P et Q sont soit toutes les deux vraies, soit toutes les deux fausses. L'équivalence logique s'exprime souvent sous la forme si et seulement si, dans des cadres comme l'enseignement ou la métamathématique pour parler des propriétés de la logique elle-même, et non du connecteur logique qui lie deux propositions.

La relation d'équivalence logique entre propositions est étroitement liée au connecteur d’équivalence, souvent noté ⇔ ou ↔, qui peut être défini (de façon très générale, aussi bien en logique classique que par exemple en logique intuitionniste) comme la conjonction de l'implication PQ Q si P ») et de sa réciproque QP (Q seulement si P), soit (P ⇒ Q) ∧ (Q ⇒ P).

L'affirmation que PQ revient à dire que P et Q sont équivalentes. Dit autrement (en logique classique), la proposition PQ prend la valeur « vraie » quand P et Q sont logiquement équivalentes, et seulement dans ce cas. En logique, la relation d'équivalence est parfois notée ≡ (la notation ⇔ ou ↔ étant réservée au connecteur).

En électronique, une fonction similaire est appelée opérateur de coïncidence, voire ET inclusif, et est symbolisée par le signe «  ». Cette fonction est conçue comme la négation du ou exclusif, noté XOR, qui est bien l'opposé logique de l'équivalence.

L'équivalence dans la langue mathématique

Dans les textes mathématiques, on exprime que deux propositions P et Q sont équivalentes par :

  • P si et seulement si Q (parfois abrégé en P ssi Q) ;
  • Pour que P, il faut et il suffit que Q ;
  • Une condition nécessaire et suffisante (CNS) pour P est Q ;
  • P est une condition nécessaire et suffisante pour Q ;
  • P équivaut à Q.

Calcul propositionnel

En logique classique, qui n'a que deux valeurs de vérité, la table de vérité du connecteur d'équivalence est :

PQP ⇔ Q
VraiVraiVrai
VraiFauxFaux
FauxVraiFaux
FauxFauxVrai

La proposition PQ équivaut à :

  • (PQ) ∧ (QP) ((P implique Q) et (Q implique P)) ;
  • (PQ) ∧ (¬P ⇒ ¬Q) ((P implique Q) et la contraposée de (Q implique P)) ;
  • ¬P ⇔ ¬Q (équivalence contraposée) ;
  • (PQ) ∨ (¬Q ∧ ¬P) ((P et Q) ou (non P et non Q)).

Propriétés

La relation d'équivalence logique, notée ≡ ci-dessous, est une relation d'équivalence, soit :

  • PP (la relation d'équivalence est réflexive) ;
  • Si PQ, alors QP (la relation d'équivalence est symétrique) ;
  • Si PQ et QR, alors PR (la relation d'équivalence est transitive).

Cette relation d'équivalence est compatible avec les connecteurs logiques. De plus en logique classique :

  • ¬¬P ≡ P.
Exemples
  • Pour tous réels x non nul et y, on a
  • L’équivalence (x = yx2 = y2) (en élevant au carré) n'est pas vraie pour tous réels x et y : par exemple 22 = (–2)2 n’implique pas 2 = –2.
  • Pour tous réel x positif et y, l'équivalence suivante est vraie (en élevant au carré)En élevant au carré, on perd l’information que est supérieur à une racine carrée et doit être positif et pour avoir l’équivalence, on doit ajouter la propriété .

Pour démontrer une équivalence PQ, on peut démontrer l’implication PQ et sa réciproque QP.

Équivalence entre plusieurs propositions

Soient trois propositions P, Q et R.

Pour démontrer les 3 équivalences PQ, QR et PR, il suffit de démontrer 2 d'entre elles, ou encore il suffit de démontrer les 3 implications :

PQ, QR et RP.

Démonstration :

Soient les implications PQ, QR et RP établies.

De QR et RP on déduit QP.

De RP et PQ on déduit RQ.

De PQ et QR on déduit PR.

On peut généraliser à n propositions P1, P2, … , Pn : pour démontrer que ces propositions sont équivalentes il suffit de démontrer les implications

P1P2, P2P3Pn-1Pn et PnP1.

Exemples de formulations usuelles

Soient deux propositions et .

  • On dit que est une condition nécessaire à si on a et peut être traduit par "pour que , il faut que ".
  • On dit que est une condition suffisante à si on a et peut être traduit par "pour que , il suffit que ".
  • On dit que est une condition nécessaire et suffisante à si on a et si on a et peut être traduit par "pour que , il faut et il suffit que ". Cela revient à dire que est équivalent à et se note . Ainsi par commutativité de l'équivalence on peut aussi dire que est une condition nécessaire et suffisante à .

Voir aussi

  • Portail des mathématiques
  • Portail de la logique
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