Signature de cercle

Comme l'indique le titre de l'article où elle est décrite pour la première fois, How to Leak a Secret[1], le but premier de cette signature est de permettre la fuite d'information.

Dans cet article est donné l'exemple d'un membre d'un cabinet ministériel voulant donner à un journaliste des informations sur le premier ministre. Il ne désire évidemment pas divulguer son identité, mais souhaite que le journaliste sache que la fuite vient du cabinet et non pas d'un plaisantin. La signature de cercle lui permet ainsi de signer en tant que membre du cabinet ministériel, et non en tant qu'individu, sans que ses collègues soient au courant, ni que quiconque puisse remonter à lui, contrairement à la signature de groupe qui impose une coopération des membres inclus dans la signature et la possibilité pour une personne déterminée à l'initialisation de connaître l'identité du signataire.

Une autre utilisation proposée dans cet article est celle permettant de générer une signature qui n'aura de valeur que pour le destinataire. Ainsi la source envoie un document signé à l'aide d'une signature de cercle comprenant sa clef et celle du destinataire. Ce dernier, sachant qu'il ne l'a pas produit, a donc la preuve que le message provient bien de la source. Mais s'il montre le document à un tiers, ce dernier ne peut pas être sûr que le message n'est pas un faux, créé par le destinataire.

Une signature d’anneau[2] est définie comme étant la donnée de quatre algorithmes, certains similaires à ceux d’une signature numérique: (Init, Gén, Signer, Vérifier). Ceux-ci fonctionnent de la manière suivante :

• L'initialisation Init prend en entrée un paramètre de sécurité et renvoie une chaîne de référence commune ρ.
• La génération de clefs Gén, qui est lancée par l'utilisateur, prend en entrée la chaîne de référence commune, et renvoie un couple de clefs : une clef de vérification vk, et une clef de signature sk.
• La signature Signer prend en entrée la clef de signature sk, la chaîne de référence commune, le message à signer, un ensemble R de clefs de vérification telle que celle associée à la clef de signature sk y appartient. Et cet algorithme renvoie une signature σ.
• La vérification Vérifier prend en entrée la chaîne de référence commune, un ensemble R de clefs de vérifications, un message M et une signature σ, et renvoie accepte ou rejette.

Ces algorithmes vont de pair avec des notions de sécurité associés, qui sont la correction de la signature, qui spécifie que si une signature est honnêtement générée, alors elle sera toujours acceptée. La non-falsifiabilité, qui requiert que sans posséder de clefs privée associée à un des éléments de l'ensemble R, il est impossible de concevoir une signature valide, et l’anonymat, qui dit qu'il est impossible de lier une signature à son signataire.

Schéma explicatif du fonctionnement de la signature d'anneau.

Dans cette partie, une description du schéma proposé par Rivest, Shamir et Tauman[1] est donnée.

Dans ce schéma, l'utilisateur génère une signature σ pour le message M à signer, un aléa v, son couple clef privée/publique et les clefs publiques des autres membres du cercle R = (pk_i)_{i ∈ [1;n]}. De plus ce schéma dépend d’un schéma de chiffrement (Enc, Dec).

Les utilisateurs peuvent ainsi vérifier cette signature à l'aide de σ, M, v et de l'ensemble des clefs publiques impliquées dans le processus de création.

import os, hashlib, random, functools, Crypto.PublicKey.RSA
 
class ring:
    def __init__(self, k, l=2048):
        self.k, self.l, self.n, self.q = k, l, len(k), 1 << l - 1
 
    def sign(self, m, z):
        self.permut(m)
        s, u = [None]*self.n, random.randint(0, self.q)
        c = v = self.E(u) 
        for i in list(range(z+1, self.n)) + list(range(z)):
            s[i] = random.randint(0, self.q)
            v = self.E(v^self.g(s[i], self.k[i].e, self.k[i].n)) 
            if (i+1) % self.n == 0: c = v
        s[z] = self.g(v^u, self.k[z].d, self.k[z].n)
        return [c, ] + s
 
    def verify(self, m, X):
        self.permut(m)
        y = [self.g(X[i+1], self.k[i].e, self.k[i].n) for i in range(len(X)-1)]
        return functools.reduce(lambda x, i:self.E(x^y[i]), range(self.n), X[0]) == X[0]
 
    def permut(self, m):
        self.p = int(hashlib.sha1(m.encode('utf8')).hexdigest(), 16)
 
    def E(self, x): 
        return int(hashlib.sha1(('%s%s'% (x, self.p)).encode('utf8')).hexdigest(), 16)

    def g(self, x, e, n):
        q, r = divmod(x, n)
        return q*n + pow(r, e, n) if (q+1)*n <= (1<<self.l)-1 else x

if __name__ == '__main__':
    size, msg1, msg2 = 4, 'hello', 'world!'
    r = ring([Crypto.PublicKey.RSA.generate(2048, os.urandom) for x in range(size)])
    for i in range(size):
        s1, s2 = r.sign(msg1, i), r.sign(msg2, i)
        assert r.verify(msg1, s1) and r.verify(msg2, s2) and not r.verify(msg1, s2)

Par la suite, d'autres schémas ont été conçus, dont celui de Dodis, Kiayias, Nicolosi et Shoup[3], qui propose un schéma à signatures de taille constante en le nombre d'utilisateurs en utilisant des accumulateurs et le schéma d'authentification de Fiat-Shamir. Une autre version, dans le modèle standard, possédant une taille qui croît comme la racine carrée du nombre d'utilisateur (O(√N)) a été proposée par Chandran, Groth et Sahai[4].

La technologie Cryptonote[5] utilise des signatures de cercles. Celle-ci est utilisée dans des crypto-monnaies comme Monero, Bytecoin ou DarkNote.

Le principe de signature d’anneau a également été portée sur ShadowCash[6], une crypto-monnaie inspirée de Bitcoin.

• [Bender, Katz et Morselli 2006] (en) Adam Bender, Jonathan Katz et Ruggero Morselli, « Ring signatures: Stronger definitions, and constructions without random oracles », TCC,‎ 2006, p. 60−79
• [Chandran, Groth et Sahai 2007] (en) Nishanth Chandran, Jens Groth et Amit Sahai, « Ring signatures of sub-linear size without random oracles », Automata, Languages, Programming,‎ 2007
• [Dodis, Kiayias, Nicolosi et Shoup 2004] (en) Yevgeniy Dodis, Aggelos Kiayias, Antonio Nicolosi et Victor Shoup, « Anonymous Identification in ad-hoc Groups », Eurocrypt, lNCS, vol. 3027,‎ 2004
• [Rivest, Shamir et Tauman 2001] (en) Ronald Rivest, Adi Shamir et Yael Tauman, « How to Leak a Secret », Asiacrypt, lNCS,‎ 2001, p. 552−565 (lire en ligne [PDF])
• (en) Rynomster et Tecnovert, « Shadow: Zero-knowledge Anonymous Distributed Electronic Cash via Traceable Ring Signatures » [PDF]

• Pierre-Louis Cayrel, Optimisation des cryptosystèmes basés sur les codes correcteurs d’erreurs (Thèse de Doctorat) (lire en ligne), chap. 6 (« signature de cercle à seuil, présentation de la signature de cercle »).

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