Singularité isolée

En analyse complexe, une singularité isolée (appelée aussi point singulier isolé) d'une fonction holomorphe f est un point a du plan complexe, tel qu'il existe un voisinage ouvert U de a tel que f soit holomorphe sur U \ {a}.

L'étude des singularités isolées d'une fonction holomorphe est fondamentale dans le calcul des résidus, notamment pour le théorème des résidus.

Les singularités isolées sont à distinguer d'autres singularités apparaissant en analyse complexe, comme les points de branchement et les coupures qui sont associées, comme c'est le cas pour les logarithmes complexes et les racines n-ièmes.

Les singularités isolées se classent en trois types : singularités effaçables (parfois appelées singularités apparentes), pôles et singularités essentielles.

Classification

Considérons un ouvert du plan complexe, un point de et une fonction holomorphe. Le point est par définition une singularité isolée (ou point singulier isolé). Trois cas peuvent alors se produire.

Singularité effaçable

La singularité de est dite effaçable (ou apparente) si se prolonge au voisinage de en une fonction holomorphe. Autrement dit, on peut « effacer » la singularité et étendre en une fonction holomorphe définie au voisinage de , que l'on note toujours en général, et de manière abusive, .

Théorème de prolongement de Riemann  Les conditions suivantes sont équivalentes :

  1. La singularité de est effaçable.
  2. possède un prolongement continu en .
  3. Il existe un voisinage épointé de sur lequel est bornée.
  4. .

Par exemple, la fonction

admet une singularité effaçable en , puisqu'au voisinage de , donc , la fonction reste bornée au voisinage de l'origine.

Si est une singularité effaçable, alors le résidu de en est nul (la réciproque est fausse).

Pôle

La singularité est appelée un pôle de si d'une part la singularité est non effaçable et d'autre part pour entier suffisamment grand, la fonction se prolonge en une fonction holomorphe en . Le plus petit entier possible est appelé l'ordre du pôle . Il est donc strictement positif et caractérisé, d'après le théorème précédent, par le fait que lorsque tend vers , tend vers une limite finie non nulle.

De manière équivalente, est un pôle si et seulement si tend vers l'infini en .

Les fractions rationnelles sont des exemples typiques de fonctions présentant des pôles. On peut aussi citer les célèbres fonctions gamma d'Euler et zêta de Riemann qui présentent toutes les deux des pôles.

Une fonction holomorphe n'admettant que des pôles comme singularités isolées est appelée une fonction méromorphe.

Singularité essentielle

Si la singularité n'est ni une singularité effaçable, ni un pôle, on dit que c'est une singularité essentielle. Si c'est le cas, le comportement de au voisinage de est très compliqué. En particulier, on peut citer le théorème de Weierstrass-Casorati et les deux théorèmes de Picard.

Par exemple, la fonction

a une singularité essentielle à l'origine.

Série de Laurent

Si f est une fonction holomorphe sur un disque épointé D de centre et de rayon r (c'est-à-dire le disque de centre et de rayon r privé du point ), il existe une unique suite de complexes telle que sur D:

où la série converge normalement sur tout compact du disque épointé D.

On peut lire la nature de la singularité sur la suite des coefficients d'indice strictement négatif:

Relation série de Laurent/singularité
Nature de la singularité Information sur les coefficients de la série de Laurent
Singularité effaçable Les coefficients an sont nuls pour les indices n<0
Pôle d'ordre k Les coefficients an sont nuls pour les indices n < -k et a-k ≠ 0
Singularité essentielle Il existe une infinité d'indices négatifs n pour lesquels an est non nul

Voir aussi

Liens externes


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