Sous-groupe de Hall

En théorie des groupes (une branche des mathématiques), les sous-groupes de Hall d'un groupe fini sont les sous-groupes dont l'ordre et l'indice sont premiers entre eux. Ils portent le nom du mathématicien Philip Hall.

Définition

Soit $G$ un groupe fini. Un sous-groupe de $G$ est appelé un sous-groupe de Hall de $G$ si son ordre est premier avec son indice dans $G$ . Autrement dit, un sous-groupe $H$ de $G$ est dit sous-groupe de Hall si $|H|$ est premier avec ${\frac {|G|}{|H|}}$ . Cela revient encore à dire que pour tout diviseur premier p de $|H|$ , la puissance à laquelle p figure dans $|H|$ est la même que celle à laquelle il figure dans $|G|$ .

Propriétés

Si $H$ est un sous-groupe de Hall normal de $G$ alors il est seul de son ordre parmi les sous-groupes de $G$ et est donc caractéristique dans $G$ [1].

Démonstration

Soient $r$ l'ordre de $H$ et $s$ son indice dans $G$ . Pour tout élément $x$ de $G$ tel que $x^{r}=1$ , l'image canonique $y$ de $x$ dans le groupe quotient $G/H$ vérifie $y^{r}=1$ . Comme ce quotient est un groupe d'ordre $s$ premier avec $r$ , ceci entraîne que $y=1$ , c'est-à-dire que $x$ appartient à $H$ . Ainsi, $H$ comprend tout élément x de $G$ tel que $x^{r}=1$ , donc $H$ contient tout sous-groupe d'ordre r de $G$ . Puisque $H$ est lui-même d'ordre r, il est donc le seul sous-groupe d'ordre r de $G$ et est donc caractéristique dans $G$ .

Le fait ci-dessus a par exemple pour conséquence importante que le complément normal dont le théorème du complément normal de Burnside assure l'existence est non seulement normal mais caractéristique.
P. Hall a prouvé[2] que pour tout groupe fini $G$ $\text{[math]}$ :
- si $G$ $\text{[math]}$ est résoluble alors, pour tous $m$ $\text{[math]}$ et $n$ $\text{[math]}$ premiers entre eux tels que $|G|=mn$ $\text{[math]}$ [3]^,[4]^,[5] :
  1. il existe au moins un sous-groupe d'ordre $m$ ,
  2. les sous-groupes d'ordre $m$ sont conjugués deux à deux,
  3. tout sous-groupe dont l'ordre divise $m$ est inclus dans l'un d'entre eux ;
- une réciproque forte du point 1[6]^,[7] : pour que $G$ soit résoluble, il suffit qu'il possède un sous-groupe d'indice $p_{i}^{\alpha _{i}}$ pour chaque valeur de $i$ , où $p_{1}^{\alpha _{1}}\dots p_{r}^{\alpha _{r}}$ désigne la décomposition en facteurs premiers de $|G|$ .

Exemple

Parmi les diviseurs d de |G| tels que d soit premier avec |G|/d figurent en particulier les d = pⁿ, où p est un nombre premier et n l'entier maximum tel que pⁿ divise |G|. Les sous-groupes de Hall correspondants sont exactement les p-sous-groupes de Sylow de G. Hall étend donc à tous les diviseurs d de |G| tels que d soit premier avec |G|/d le théorème classique sur l'existence des p-sous-groupes de Sylow d'un groupe fini, mais seulement sous l'hypothèse supplémentaire que G est résoluble.

Notes et références

(en) Joseph J. Rotman (en), An Introduction to the Theory of Groups [détail des éditions], 4^e éd., tirage de 1999, exerc. 5.26, p. 107 ; exerc. 5.31, p. 111. Le fait que si G est un groupe fini et H un sous-groupe de Hall normal d'ordre r de G, alors H est l'ensemble des éléments x de G tels que x^r = 1 a été énoncé et démontré par (de) G. Frobenius, « Über endliche Gruppen », Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, janvier à mai 1895, p. 170, consultable sur le site Internet Archive. (Référence à Frobenius donnée par (en) W. Burnside, Theory of Groups of Finite Order, 2^e éd., 1911, réimpr. Dover, 2004, p. 53.)
Ne pas confondre avec un autre théorème de Hall, résultat combinatoire plus connu sous le nom de « lemme des mariages ».
(en) P. Hall, « A note on soluble groups », J. London Math. Soc., vol. 3,‎ 1928, p. 98-105 (zbMATH 54.0145.01). Hall démontre de plus un analogue du 3^e théorème de Sylow (sur le nombre des sous-groupes d'ordre $m$ ).
(en) Harry Goheen, « Proof of a theorem of Hall », Bull. Amer. Math. Soc., vol. 47, n^o 2,‎ 1941, p. 143-144 (lire en ligne).
Rotman 1999, theor. 5.28, p. 108.
(en) P. Hall, « A characteristic property of soluble groups », J. London Math. Soc., vol. s1-12, n^o 3,‎ 1937, p. 198-200 (zbMATH 0016.39204).
Rotman 1999, theor. 5.29, p. 110.

Voir aussi

Base de Sylow

Portail de l’algèbre

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[1] (en) Joseph J. Rotman (en), An Introduction to the Theory of Groups [détail des éditions], 4^e éd., tirage de 1999, exerc. 5.26, p. 107 ; exerc. 5.31, p. 111. Le fait que si G est un groupe fini et H un sous-groupe de Hall normal d'ordre r de G, alors H est l'ensemble des éléments x de G tels que x^r = 1 a été énoncé et démontré par (de) G. Frobenius, « Über endliche Gruppen », Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, janvier à mai 1895, p. 170, consultable sur le site Internet Archive. (Référence à Frobenius donnée par (en) W. Burnside, Theory of Groups of Finite Order, 2^e éd., 1911, réimpr. Dover, 2004, p. 53.)

[2] Ne pas confondre avec un autre théorème de Hall, résultat combinatoire plus connu sous le nom de « lemme des mariages ».

[3] (en) P. Hall, « A note on soluble groups », J. London Math. Soc., vol. 3,‎ 1928, p. 98-105 (zbMATH 54.0145.01). Hall démontre de plus un analogue du 3^e théorème de Sylow (sur le nombre des sous-groupes d'ordre $m$ ).

[4] (en) Harry Goheen, « Proof of a theorem of Hall », Bull. Amer. Math. Soc., vol. 47, n^o 2,‎ 1941, p. 143-144 (lire en ligne).

[5] Rotman 1999, theor. 5.28, p. 108.

[6] (en) P. Hall, « A characteristic property of soluble groups », J. London Math. Soc., vol. s1-12, n^o 3,‎ 1937, p. 198-200 (zbMATH 0016.39204).

[7] Rotman 1999, theor. 5.29, p. 110.