Sous-groupe maximal d'un groupe

En théorie des groupes, on appelle sous-groupe maximal d'un groupe G tout élément maximal de l'ensemble des sous-groupes propres de G, cet ensemble étant ordonné par inclusion[1]. (On entendra ici par « sous-groupe propre de G » un sous-groupe de G distinct de G.) Autrement dit, un sous-groupe maximal de G est un sous-groupe propre H de G tel qu'aucun sous-groupe de G ne soit strictement compris entre H et G.

L'ensemble des éléments d'un groupe G qui appartiennent à tout sous-groupe maximal de G est évidemment un sous-groupe de G. On l'appelle le sous-groupe de Frattini de G.

Exemples de sous-groupes maximaux
  • D'après la formule des indices, tout sous-groupe d'indice fini premier est un sous-groupe maximal.
  • On sait que le groupe alterné A4 est un groupe d'ordre 12 qui n'a pas de sous-groupe d'ordre 6[2] ; un sous-groupe d'ordre 3 de A4 (il en existe évidemment) est donc un sous-groupe maximal d'indice 4 (non premier).

Quelques faits
  • Un groupe réduit à l'élément neutre n'a pas de sous-groupes propres et n'a donc pas de sous-groupes maximaux.
  • Tout sous-groupe propre d'un groupe fini (ou plus généralement : tout sous-groupe propre H d'indice fini d'un groupe G) est contenu dans au moins un sous-groupe maximal.
    (Parmi les sous-groupes propres d'indice fini de G qui contiennent H, en considérer un dont l'indice est le plus petit possible.)
  • En particulier, tout groupe fini non réduit à l'élément neutre admet au moins un sous-groupe maximal.
    (Dans ce qui précède, faire H = 1.)
  • Plus généralement, dans tout groupe de type fini, tout sous-groupe propre est contenu dans au moins un sous-groupe maximal[3].
    Justification. Soit G un groupe de type fini et H un sous-groupe propre de G. Désignons par E l'ensemble des sous-groupes propres de G contenant H et prouvons que E, ordonné par inclusion, est inductif. Il comprend H et n'est donc pas vide. Il suffit donc de prouver que la réunion U d'un ensemble non vide X, totalement ordonné par inclusion, de sous-groupes propres de G contenant H est elle-même un sous-groupe propre de G contenant H. On montre facilement que cette réunion est un sous-groupe de G contenant H. L'essentiel est donc de prouver que cette réunion n'est pas égale à G tout entier. Choisissons une partie finie {x1, ... , xn} de G engendrant G. Il suffit de prouver que U ne comprend pas tous les xi. Dans le cas contraire, il existerait dans X un sous-groupe H1 comprenant x1, ... , un sous-groupe Hn comprenant xn. Puisque l'ensemble X est totalement ordonné par inclusion, un de ces n sous-groupes contiendrait à la fois x1, ... et xn, donc serait égal à G tout entier, contradiction. Nous avons donc prouvé, comme annoncé, que l'ensemble E des sous-groupes propres de G contenant H, ordonné par inclusion, est inductif. D'après le lemme de Zorn, il admet donc un élément maximal et il est clair qu'un tel élément maximal est un sous-groupe maximal de G qui contient H.
  • Si un sous-groupe maximal est normal, son indice est fini et premier[4].
    En effet, si un sous-groupe normal M de G est sous-groupe maximal de G, alors, d'après le théorème de correspondance, le groupe G/M est non trivial (par « trivial », on entend ici réduit à l'élément neutre) et ne possède pas de sous-groupe autre que lui-même et son sous-groupe trivial, donc G/M est d'ordre fini et premier.
  • Puisque tout sous-groupe d'un groupe abélien est normal, il résulte du fait précédent que tout sous-groupe maximal d'un groupe abélien est d'indice fini et premier.

On montre facilement que le seul sous-groupe d'indice fini du groupe additif Q des nombres rationnels est Q lui-même. (Soit G un sous-groupe d'indice fini de Q, soit n l'indice de G dans Q. Alors, pour tout x dans Q, nx appartient à G. Mais tout nombre rationnel est de la forme nx pour un certain nombre rationnel x, donc G = Q.) Donc, d'après ce qui précède,

  • Q n'a pas de sous-groupes maximaux[5].
  • Plus généralement, un groupe abélien est divisible si et seulement s'il n'a pas de sous-groupe maximal ou encore (d'après ce qui précède) pas de sous-groupe propre d'indice fini.
  • On voit ainsi qu'un groupe infini peut ne pas avoir de sous-groupe maximal.


Un sous-groupe maximal n'est pas forcément normal (on a vu qu'un sous-groupe d'ordre 3 du groupe alterné A4 est maximal, or un tel sous-groupe n'est pas normal), mais on prouve que dans tout groupe nilpotent, tout sous-groupe maximal est normal[6].

Un exemple d'usage de la notion de sous-groupe maximal est le théorème suivant : une opération transitive d'un groupe G sur un ensemble X d'au moins deux éléments est primitive si et seulement si, pour tout élément x de X, le stabilisateur de x est un sous-groupe maximal de G[7].

Notes et références
  1. Définition conforme à Josette Calais, Éléments de théorie des groupes, Paris, P.U.F., , p. 159.
  2. Voir par exemple (en) Joseph J. Rotman (en), An Introduction to the Theory of Groups [détail des éditions], 4e éd., tirage de 1999, p. 48.
  3. Voir par exemple Calais 1984, p. 163.
  4. Voir par exemple Calais 1984, p. 161, ou encore Rotman 1999, p. 117.
  5. Voir par exemple Calais 1984, ch. IV, exerc. 36, c), p. 174.
  6. Voir par exemple (en) W. R. Scott, Group Theory, réimpr. Dover, (lire en ligne), p. 143, énoncé 6.4.9.
  7. Pour une démonstration, voir par exemple Rotman 1999, p. 258.

Article connexe

Groupe super-résoluble

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