Relation de dispersion

Un milieu non dispersif est caractérisé par un indice ${\displaystyle n}$ indépendant de la pulsation. La relation de dispersion s'écrit

$${\displaystyle \omega ={\frac {c}{n}}\Vert {\vec {\textbf {k}}}\Vert .}$$

avec ${\displaystyle {\vec {\textbf {k}}}}$ le vecteur d'onde. La vitesse de phase est alors constante, ${\textstyle V_{\varphi }={\dfrac {\omega }{\Vert {\vec {\textbf {k}}}\Vert }}={\dfrac {c}{n}}}$, et est égale à la vitesse de groupe:

$${\displaystyle V_{g}={\dfrac {\textrm {d}}{{\textrm {d}}\Vert {\vec {\textbf {k}}}\Vert }}\omega ={\dfrac {c}{n}}.}$$

Dans un milieu dispersif, l'indice optique ${\displaystyle n}$ dépend de la pulsation ${\displaystyle \omega }$. La relation de dispersion devient

$${\displaystyle \omega ={\frac {c}{n(\omega )}}\Vert {\vec {\textbf {k}}}\Vert }$$

avec ${\displaystyle {\vec {\textbf {k}}}}$ le vecteur d'onde. La vitesse de phase dépend alors explicitement de la pulsation, soit:

$${\displaystyle V_{\varphi }={\dfrac {\omega }{\Vert {\vec {\textbf {k}}}\Vert }}={\dfrac {c}{n(\omega )}}}$$

La vitesse de groupe n'est en général plus égale à la vitesse de phase, mais lui est reliée par la relation de Rayleigh :

$${\displaystyle V_{g}={\dfrac {\textrm {d}}{{\textrm {d}}\Vert {\vec {\textbf {k}}}\Vert }}\omega ={\dfrac {\textrm {d}}{{\textrm {d}}\Vert {\vec {\textbf {k}}}\Vert }}(\Vert {\vec {\textbf {k}}}\Vert V_{\varphi })=V_{\varphi }+\Vert {\vec {\textbf {k}}}\Vert {\frac {\textrm {d}}{{\textrm {d}}\Vert {\vec {\textbf {k}}}\Vert }}V_{\varphi }}$$

En notant : ${\displaystyle p=||{\vec {p}}||}$, la relation de dispersion s'écrit :

${\displaystyle E\ =\ {\frac {p^{2}}{2m}}}$