Suite de Mayer-Vietoris

En topologie algébrique et dans diverses branches voisines des mathématiques, la suite de Mayer-Vietoris est un outil permettant de calculer certains invariants importants d'espaces topologiques en les partageant en morceaux plus simples. La suite relie les groupes d'homologie ou les groupes de cohomologie de l'espace aux groupes de (co)homologie d'une paire de sous-espaces qui le couvrent par une suite exacte.

Énoncé

Soit X un espace topologique et A et B deux sous-espaces dont les intérieurs recouvrent X. Alors la suite suivante est exacte :

$\cdots \rightarrow H_{n+1}(X){\xrightarrow {\partial _{*}}}\,H_{n}(A\cap B){\xrightarrow {(i_{*},j_{*})}}\,H_{n}(A)\oplus H_{n}(B){\xrightarrow {k_{*}-l_{*}}}\,H_{n}(X){\xrightarrow {\partial _{*}}}\,H_{n-1}(A\cap B)\rightarrow \cdots \!$

où i, j, k et l sont les inclusions appropriées, et $\partial _{*}$ est défini à partir de l'opérateur bord ; ⊕ dénote la somme directe

Histoire

Leopold Vietoris lors de son 110^e anniversaire (2001).

Walther Mayer a été initié à la topologie par son collègue Leopold Vietoris en 1926 et 1927 à l'université de Vienne[1]. On l'a informé du résultat conjecturé, et d'une voie permettant de le démontrer. Il a résolu le problème pour les nombres de Betti en 1929[2]. Par la suite, Vietoris a prouvé le résultat global pour les groupes d'homologie en 1930[3].

Notes et références

(en) Friedrich Hirzebruch, « Emmy Noether and Topology », dans Mina Teicher, The Heritage of Emmy Noether, Université Bar-Ilan/American Mathematical Society/Oxford University Press, coll. « Israel Mathematical Conference Proceedings » (n^o 12), 1999, p. 61-63
(de) Walther Mayer, « Über abstrakte Topologie », Monatsh. Math., vol. 36, n^o 1,‎ 1929, p. 1-42 (DOI 10.1007/BF02307601)
(de) Leopold Vietoris, « Über die Homologiegruppen der Vereinigung zweier Komplexe », Monatsh. Math., vol. 37,‎ 1930, p. 159-162 (DOI 10.1007/BF01696765)

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Mayer–Vietoris sequence » (voir la liste des auteurs).

Bibliographie

Alexandru Dimca, Sheaves in topology, Berlin, Springer-Verlag, coll. « Universitext », 2004, 240 p. (ISBN 978-3-540-20665-1, Math Reviews 2050072, lire en ligne)

Article connexe

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[1] (en) Friedrich Hirzebruch, « Emmy Noether and Topology », dans Mina Teicher, The Heritage of Emmy Noether, Université Bar-Ilan/American Mathematical Society/Oxford University Press, coll. « Israel Mathematical Conference Proceedings » (n^o 12), 1999, p. 61-63

[2] (de) Walther Mayer, « Über abstrakte Topologie », Monatsh. Math., vol. 36, n^o 1,‎ 1929, p. 1-42 (DOI 10.1007/BF02307601)

[3] (de) Leopold Vietoris, « Über die Homologiegruppen der Vereinigung zweier Komplexe », Monatsh. Math., vol. 37,‎ 1930, p. 159-162 (DOI 10.1007/BF01696765)