Support (géostatistique)

Le support est utile dans les travaux miniers, où la question n'est pas tant de savoir quels points sont riches en minerais, mais quels panneaux de taille fixée (selon les techniques utilisées) possèdent probablement une teneur à une valeur de coupure fixée par des contraintes techniques et économiques.

La formule de Krige (également, de manière ambiguë, relation d'additivité), s'écrit : ${\displaystyle \sigma ^{2}\left(v|W\right)=\sigma ^{2}\left(v|V\right)+\sigma ^{2}\left(V|W\right)}$ pour trois supports, W multiple de V lui-même multiple de v. D'où le cas particulier ${\displaystyle \sigma ^{2}\left(v|V\right)=\sigma ^{2}\left(0|V\right)-\sigma ^{2}\left(0|v\right)}$

Le passage à un support plus grand (la régularisation) se fait donc au prix d'une diminution de la variance de dispersion.

Le support v est défini comme le voisinage (taille, géométrie, orientation) sur lequel est mesurée la variable régionalisée z. Celle-ci est dénommée additive si pour toute partition d'un volume V en volumes v_i de même support v, la valeur sur le multiple V est la moyenne des valeurs sur les v_i.

Sur un champ D divisé en volumes v_i de même support v, la variance de dispersion empirique de la variable régionalisée z de v dans D s'écrit : ${\displaystyle s^{2}\left(v|D\right)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left(z\left(v_{i}\right)-z\left(D\right)\right)^{2}}$

On définit également les courbes de sélectivité :

• courbe de sélectivité inverse à coupure z : ${\displaystyle \scriptstyle T\left(z\right)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\operatorname {1} _{z\left(v_{i}\right)\geq z}}$
• courbe d'abondance à coupure z : ${\displaystyle \scriptstyle Q\left(z\right)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}z\left(v_{i}\right)\operatorname {1} _{z\left(v_{i}\right)\geq z}}$
• rapport ${\displaystyle \scriptstyle m\left(z\right)={\frac {Q\left(z\right)}{T\left(z\right)}}}$
• courbe métal/minerai : ${\displaystyle \scriptstyle Q\left(T\right)}$
• bénéfice conventionnel : ${\displaystyle \scriptstyle B\left(z\right)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left(z\left(v_{i}\right)-z\right)\operatorname {1} _{z\left(v_{i}\right)\geq z}}$

Soit v un support quelconque, v_x sont translatés d'un vecteur x : ${\displaystyle {\bar {Z}}\left(v_{x}\right)={\frac {1}{[v]}}\int _{v}Z\left(x+t\right)\mathrm {d} t}$. Le variogramme de Z(v_x) vaut : ${\displaystyle \gamma _{v}\left(h\right)={\frac {1}{2}}\mathbf {Var} \left[{\bar {Z}}\left(v_{x+h}\right)-{\bar {Z}}\left(v_{x}\right)\right]}$ ${\displaystyle ={\frac {1}{2}}\left({\bar {\gamma }}\left(v_{x},v_{x+h}\right)-{\bar {\gamma }}\left(v_{x},v_{x}\right)-{\bar {\gamma }}\left(v_{x+h},v_{x+h}\right)\right)}$ car on reconnaît une variance d'extension ${\displaystyle ={\bar {\gamma }}\left(v_{0},v_{h}\right)-{\bar {\gamma }}\left(v_{0},v_{0}\right)}$ (les deux derniers termes sont égaux, le premier indépendant de x) ${\displaystyle \gamma _{v}\left(h\right)={\bar {\gamma }}\left(v_{0},v_{h}\right)-{\bar {\gamma }}\left(v_{0},v_{0}\right)}$ Dans l'hypothèse stationnaire d'ordre 2, avec des notations similaires, ${\displaystyle C_{v}\left(h\right)={\bar {C}}\left(v_{0},v_{h}\right)}$

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