Surface minimale de Catalan

En géométrie différentielle, une surface minimale de Catalan est une surface minimale qui a été étudiée par Eugène Charles Catalan en 1855[1].

Ne doit pas être confondu avec Surface de Catalan.

Surface minimale de Catalan.

La surface a pour équations paramétriques[2] :

${\displaystyle {\begin{aligned}x(u,v)&=a(2u-\sin(2u)\cosh(2v))\\y(u,v)&=a(1-\cos(2u)\cosh(2v))\\z(u,v)&=4a\sin(u)\sinh(v).\end{aligned}}}$

Si l'on pose ${\displaystyle r=\sinh(v)}$ dans la paramétrisation ci-dessus, on obtient :

${\displaystyle {\begin{aligned}x(u,v)&=a(2u-(1+2r^{2})\sin(2u))\\y(u,v)&=a(1-(1+2r^{2})\cos(2u))\\z(u,v)&=4ar\sin(u).\end{aligned}}}$

• Les lignes avec le paramètre ${\displaystyle r=r_{0}}$ fixé, se projettent sur le plan ${\displaystyle xOy}$ en des trochoïdes.
• Les lignes avec le paramètre ${\displaystyle u=u_{0}}$ fixé, sont des paraboles.
• La section de la surface par le plan ${\displaystyle xOy}$ (c'est-à-dire ${\displaystyle r=0}$) est une cycloïde.